From c5a26d2d7bde694d08bff948c48b2615a7e2e973 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 12:16:02 +0200 Subject: add current work --- buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/main.tex | 32 ++----- buch/papers/kra/references.bib | 41 ++++----- buch/papers/kra/riccati.tex | 93 +++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/teil0.tex | 22 ----- buch/papers/kra/teil1.tex | 55 ------------ buch/papers/kra/teil2.tex | 40 --------- buch/papers/kra/teil3.tex | 40 --------- buch/papers/kra/test.tex | 12 +++ 9 files changed, 313 insertions(+), 207 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex create mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil3.tex create mode 100644 buch/papers/kra/test.tex (limited to 'buch/papers/kra') diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex new file mode 100644 index 0000000..14a5e8c --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/hamilton.tex @@ -0,0 +1,185 @@ +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}} +\rhead{Teil abc} + +\subsection{Hamilton-Funktion} +Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, +wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass}, +setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. + +\begin{equation} + \label{hamilton} + \begin{split} + \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + \end{split} +\end{equation} + +Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} +\end{equation} + +daraus folgt + +\[ + \dot{q} = \frac{p}{m} + \qquad + \dot{p} = -kq +\] + +in Matrixschreibweise erhalten wir also + +\[ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} +\] + +Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen. +Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. +Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. + +\begin{align*} + \begin{split} + T &= T_1 + T_2 \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \end{split} + \\ + \begin{split} + V &= V_1 + V_c + V_2 \\ + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Hamilton-Funktion ist also + +\begin{align*} + \begin{split} + \mathcal{H} &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +\begin{align*} + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ + \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} + \end{alignedat} + \right. + \\ + -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \end{alignedat} + \right. +\end{align*} + +In Matrixschreibweise erhalten wir + +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:multispringmass} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{G} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} +\end{equation} + + +Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. + +Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +\begin{equation} + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\tilde{G}} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} +\end{equation} + +Mit einsetzten folgt + +\begin{align*} + \dot{Q} = AQ + BP \\ + \dot{P} = CQ + DP +\end{align*} +\begin{equation} + \begin{split} + \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ + &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C + DU - UA - UBU + \end{split} +\end{equation} + +was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt. + diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex index fcee25b..456b6ee 100644 --- a/buch/papers/kra/main.tex +++ b/buch/papers/kra/main.tex @@ -6,31 +6,9 @@ \chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}} \lhead{Kalman, Riccati und Abel} \begin{refsection} - \chapterauthor{Samuel Niederer} - - Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes - \begin{itemize} - \item - Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. - Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. - \item - Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende - Optionen werden gelöscht. - Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. - \item - Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. - Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen - in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt - anzuwenden. - \item - Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren - Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. - \end{itemize} - - \input{papers/kra/teil0.tex} - \input{papers/kra/teil1.tex} - \input{papers/kra/teil2.tex} - \input{papers/kra/teil3.tex} - - \printbibliography[heading=subbibliography] + \chapterauthor{Samuel Niederer} + \input{papers/kra/hamilton.tex} + \newpage + \input{papers/kra/riccati.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib index f13c3d8..7f972ec 100644 --- a/buch/papers/kra/references.bib +++ b/buch/papers/kra/references.bib @@ -4,32 +4,27 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{kra:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} +@online{kra:hamilton, + title = {Hamilton-Funktion}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion}, + date = {2022-05-26} } -@book{kra:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} +@misc{kra:kanonischegleichungen, + title = {Kanonische Gleichungen}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kanonische_Gleichungen}, + date = {2022-05-26} } -@article{kra:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@misc{kra:newton, + title = {Newtonsche Gesetze}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze}, + date = {2022-05-26} } +@misc{kra:kalmanisae, + author = {D.Alazard}, + title = {Introduction to Kalman filtering}, + url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf}, + date = {2022-05-26} +} diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex new file mode 100644 index 0000000..df2921d --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/riccati.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +\section{Riccati + \label{kra:section:riccati}} +\rhead{Riccati} + +\begin{equation} + y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) +\end{equation} +% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung) +% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?) +% matrix riccati gleichung + + +Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form +\begin{equation} + \label{kra:riccati:riccatiequation} + \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) +\end{equation} + +Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation} + +\begin{equation} + \label{kra:riccati:derivation} + \dt + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} +\end{equation} + +interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten + +\begin{align*} + \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ + & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\ + & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\ + & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\ + & = C + DU - UA - UBU +\end{align*} + +was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt. +Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\begin{equation} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\begin{equation} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) + \end{pmatrix} + ^{-1} +\end{equation} + +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + +\begin{equation} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} +\end{equation} + + + diff --git a/buch/papers/kra/teil0.tex b/buch/papers/kra/teil0.tex deleted file mode 100644 index d06a055..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{kra:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{kra:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil1.tex b/buch/papers/kra/teil1.tex deleted file mode 100644 index 0c0977d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{kra:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{kra:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{kra:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{kra:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil2.tex b/buch/papers/kra/teil2.tex deleted file mode 100644 index 249f078..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{kra:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil3.tex b/buch/papers/kra/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2515c7d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{kra:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/test.tex b/buch/papers/kra/test.tex new file mode 100644 index 0000000..ebe0aa0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/test.tex @@ -0,0 +1,12 @@ +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/phase_space.tex} + % \begin{minipage}{.45\textwidth} + % \input{papers/kra/images/phase_space_small_omega.tex} + % \end{minipage} + % \begin{minipage}{.45\textwidth} + % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} + % \end{minipage} + % \begin{minipage}[.5\textwidth] + % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} + % \end{minipage} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1