From 617271699ec4a2ad9a0b8ca9940cc19a21901382 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 15:00:32 +0200
Subject: referenzen und equation fix

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 buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 28 +++++++++++++++++-----------
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index ad41406..6f55358 100644
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+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -19,30 +19,36 @@ Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschi
 Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert.
 	
 
-\subsection{Annahmen} 
+\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen}
 Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. 
 Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
 \begin{enumerate}[i)]
 	\item Die Membran ist homogen. 
-	%Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
-	%Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
+	Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
+	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
 	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
-	%Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
-	%Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
 	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
-	%Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
+	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
 	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
-	%Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
-	%Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein.
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
 	
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet.
 Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
 Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor.
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}		
+		\includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		\caption{Infinitesimales Stück einer Saite}
+		\label{kreismembran:im:Saite}
+	\end{center}	
+\end{figure}
 
-
-Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
+Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
 Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $.
 Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte 
 \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation}
@@ -73,7 +79,7 @@ Die Gleichung wird dadurch zu
 \end{equation*} 
 Durch die Division mit $ dx $ entsteht 
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+	\frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
 \end{equation*}
 Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. 
 Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. 
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cgit v1.2.1

