From a37eaf082bc34c696c40efe33cf868c41dd765a0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Mon, 8 Aug 2022 19:00:45 +0200 Subject: last commit --- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 16 ++++++++-------- 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 4fb139c..133ee31 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -34,7 +34,7 @@ Unter Verwendung der Integraldarstellung J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha \label{equation:bessel_n_ordnung} \end{equation*} - der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu: + der Bessel-Funktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu: \begin{align} F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr \nonumber \\ &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), @@ -69,10 +69,10 @@ verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. \subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, dies ist in Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. \begin{satz}{Skalierung:} - Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: \begin{equation*} \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. @@ -80,7 +80,7 @@ In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation \end{satz} \begin{satz}{Parsevalsche Relation:} -Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann gilt: \begin{equation*} \int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa. @@ -88,20 +88,20 @@ Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H \end{satz} \begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:} -Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann gilt: \begin{align*} &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} -vorausgesetzt dass $[rf(r)]$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$. +vorausgesetzt, dass $rf(r)$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$. \end{satz} \begin{satz} -Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: \begin{equation*} \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), \end{equation*} -bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. +bereitgestellt, dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. \end{satz} -- cgit v1.2.1