From 79731c7db599b675b38cdb637c1b00d323c1ccde Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 18:06:43 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Struktur=20Anpassung=20f=C3=BCr=20Simulations-Teil?=
MIME-Version: 1.0
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---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 ++++++++
 1 file changed, 8 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/kreismembran/teil4.tex

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..830bce7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Lösungsmethode 3: Simulation 
+	\label{kreismembran:section:teil4}}
+Needs to be written
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From c01fed1273bc5994b49a5e554e8bc60294fb9519 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 18:53:33 +0200
Subject: Anfang von numerik

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 +++++++-
 1 file changed, 7 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 830bce7..58fffc9 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -5,4 +5,10 @@
 %
 \section{Lösungsmethode 3: Simulation 
 	\label{kreismembran:section:teil4}}
-Needs to be written
\ No newline at end of file
+\paragraph{TODO Einleitung}
+
+Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
+Die Membran wird hier in Form der Matrix $  A $ digitalisiert.
+Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ {x,y}={i,j} $.
+Die Auslenkung ist jedoch auch von der Zeit abhängig für dies wird ein Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen erstellt.
+s
-- 
cgit v1.2.1


From 26301cab48f22b33ca56918c2787e5c67eb315a1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 20:53:12 +0200
Subject: numerik continues

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 +++++---
 1 file changed, 5 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 58fffc9..c124354 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -9,6 +9,8 @@
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
 Die Membran wird hier in Form der Matrix $  A $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ {x,y}={i,j} $.
-Die Auslenkung ist jedoch auch von der Zeit abhängig für dies wird ein Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen erstellt.
-s
+Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+
+\paragraph{title}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From d9a24e13322ba877475300514412d74ad2e3a238 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 3 Aug 2022 20:07:27 +0200
Subject: Simulation: weitergeschrieben

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 23 +++++++++++++++++------
 1 file changed, 17 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index c124354..62a34c5 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -5,12 +5,23 @@
 %
 \section{Lösungsmethode 3: Simulation 
 	\label{kreismembran:section:teil4}}
-\paragraph{TODO Einleitung}
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
-Die Membran wird hier in Form der Matrix $  A $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
+Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
+Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
 
-\paragraph{title}
\ No newline at end of file
+\subsection{Propagation}
+Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. 
+Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster.
+Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie
+\begin{equation*}
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+\end{equation*}
+erfüllen.
-- 
cgit v1.2.1


From 28fd91bc332b07b3fbde985a92d71e0262a6e6fd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Fri, 5 Aug 2022 20:54:48 +0200
Subject: Simulation fast fertig

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 120 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 62a34c5..f660439 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -9,6 +9,7 @@
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
 Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
 Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
 Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
 Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
 Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
@@ -20,8 +21,124 @@ Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was
 \subsection{Propagation}
 Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. 
 Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster.
-Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie
+Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als 
+\begin{equation}
+	U[w+1] =  U[w] + dt \cdot V[w],
+\end{equation} 
+also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
+Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
+Analog zur Folgeposition wird
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \frac{\partial^2u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}    
+Die Beschleunigung $ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $  eines Elementes ist durch die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} gegeben als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u \cdot c^2.
+\end{equation*}
+Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
+\begin{equation}
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
+\end{equation}
+berechnet werden.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+
+\subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
+Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+dx)-2f(x)+f(x-dx)}{dx^2}
+\end{equation*}
+approximiert werden \cite{kreismembran:Digital_Image_processing}.
+Dank der Linearität der Ableitung kann die Ableitung einer weiteren Dimension addiert werden.
+Daraus folgt für den zweidimensionalen Fall 
+\begin{equation*}
+	\Delta_h u= \frac{u(x+dh,y,t)+u(x,y+dh,t)-4f(x)+u(x-dh,y,t)+u(x,y-dh,t)}{dh^2}.
 \end{equation*}
-erfüllen.
+Um $ \Delta_h $ auf eine Matrix anwenden zu können wird die Gleichung in Form einer Filtermaske 
+ \begin{equation}
+ 	\Delta_h u= \frac{1}{dh^2}
+ 	\left[ {\begin{array}{ccc}
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 			1 & -4 & 1\\
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 	\end{array} } \right]
+ \end{equation}
+formuliert.
+Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer Matrizen-Faltung um $ \Delta_h U[] $ zu berechnen.
+
+\subsection{Simulation: Kreisförmige Membran}
+Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden.
+\paragraph{Initialisierung}
+Die Anzahl der simulierten Elementen soll $ m \times n $ was dementsprechend die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt.
+Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird.
+Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert.
+Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. 
+Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet.
+Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einm Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht.
+
+\paragraph{Rand}
+Bislang ist die definierte Matrix rechteckig.
+Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden.
+Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert.
+Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
+Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente welche nicht auf der definierten Membran sind müssen zu beliebiger Zeit $0$ entsprechen.
+Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. 
+Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. 
+Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
+In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix.
+Die Maske wird angewendet indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
+Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
+\begin{align}
+	\label{kreismembran:eq:folge_U} 
+	U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])*M\\
+	\label{kreismembran:eq:folge_V}
+	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)*M
+\end{align}
+berechnet werden.
+\paragraph{Simulation}
+Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
+Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
+Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
+Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\label{kreismembran:im:simres_rund}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\subsection{Simulation: Unendliche Kreisförmige Membran}
+
+Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
+Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben.
+Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
+
+\paragraph{Absorber}
+Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte.
+Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion.
+In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben.
+Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. 
+Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
+Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
+Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 40c2d617a90a81c57489a5c9e220ef577f6882a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Fri, 5 Aug 2022 23:34:04 +0200
Subject: simulation fertig

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 61 ++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 55 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index f660439..b67e9e7 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -101,8 +101,9 @@ Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils
 Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
 Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
 \begin{figure}
+	
 	\begin{center}
-		\label{kreismembran:im:simres_rund}
+		
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png}
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png}
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png}
@@ -110,10 +111,11 @@ Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png}
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png}
 		\caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_rund}
 		
 	\end{center}	
 \end{figure} 
-\subsection{Simulation: Unendliche Kreisförmige Membran}
+\subsection{Simulation: Unendliche Membran}
 
 Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
 Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben.
@@ -129,12 +131,59 @@ Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand
 Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
 Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
 Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
+Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
+Der Abstand entspricht 
+\begin{equation*}
+	r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
+\end{equation*} 
+wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
+Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
 
+\begin{align}
+	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+		0 & \text{sonst} \end{cases}
+\end{align}
+gesetzt.
+Der Parameter $a > 0$ bestimmt wie Steil der Übergang sein soll, $b$ bestimmt  wie weit weg vom Zentrum sich der Übergang befindet.
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Masken zu sehen. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_disk.png}
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_absorber.png}
+		\caption{Vergleich von Masken: Links Binär für eine endliche Membran, rechts mit Absorber für eine unendliche Membran}
+		\label{kreismembran:im:masks}
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\paragraph{Simulation}
+Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden.
+Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. 
+Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich}
 
-
-
-
-
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer unendlichen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_unendlich}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure}
+zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft.
+Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt.
+Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind.
+
+\section{Schlusswort}
+Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
+Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
+Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 617271699ec4a2ad9a0b8ca9940cc19a21901382 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 15:00:32 +0200
Subject: referenzen und equation fix

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 2 ++
 1 file changed, 2 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index b67e9e7..74bb87d 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -179,6 +179,8 @@ Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich}
 zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft.
 Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt.
 Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind.
+Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein, dass der Übergangsbereich eine sanft ansteigende Dämpfung in das System bringt.
+Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt.
 
 \section{Schlusswort}
 Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
-- 
cgit v1.2.1


From 2cf30b784f1cf73cd4ae8c9924435f236f351470 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 10 Aug 2022 21:51:06 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Korrekturen=20von=20M=C3=BCller=20umgesetzt?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 29 ++++++++++++++---------------
 1 file changed, 14 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 74bb87d..95cb516 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -67,37 +67,37 @@ Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer
 
 \subsection{Simulation: Kreisförmige Membran}
 Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden.
-\paragraph{Initialisierung}
-Die Anzahl der simulierten Elementen soll $ m \times n $ was dementsprechend die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt.
+\subsubsection{Initialisierung}
+Die Anzahl der simulierten Elemente soll $ m \times n $ sein, was die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt.
 Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird.
 Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert.
 Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. 
 Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet.
-Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einm Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht.
+Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einem Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht.
 
-\paragraph{Rand}
+\subsubsection{Rand}
 Bislang ist die definierte Matrix rechteckig.
 Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden.
 Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert.
 Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
-Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente welche nicht auf der definierten Membran sind müssen zu beliebiger Zeit $0$ entsprechen.
+Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente, welche nicht auf der definierten Membran sind, müssen zu beliebiger Zeit $0$ sein.
 Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. 
 Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. 
 Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
 In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix.
-Die Maske wird angewendet indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
+Die Maske wird angewendet, indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
 Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
 \begin{align}
 	\label{kreismembran:eq:folge_U} 
-	U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])*M\\
+	U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])\odot M\\
 	\label{kreismembran:eq:folge_V}
-	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)*M
+	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M
 \end{align}
 berechnet werden.
-\paragraph{Simulation}
+\subsubsection{Simulation}
 Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
 In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
-Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
+Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
 Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
 Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
 \begin{figure}
@@ -123,13 +123,13 @@ Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wir
 Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
 Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
 
-\paragraph{Absorber}
+\subsubsection{Absorber}
 Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte.
 Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion.
 In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben.
 Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. 
 Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
-Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
+Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
 Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
 Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
 Der Abstand entspricht 
@@ -156,11 +156,10 @@ In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Mask
 		\label{kreismembran:im:masks}
 	\end{center}	
 \end{figure} 
-\paragraph{Simulation}
+\subsubsection{Simulation}
 Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden.
 Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. 
 Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich}
-
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -183,7 +182,7 @@ Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein,
 Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt.
 
 \section{Schlusswort}
-Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
+Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
 Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
 Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
 
-- 
cgit v1.2.1


From a1a811ef08f16f61382f4f7eecc45fd71bd1e1d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 00:50:56 +0200
Subject: gegengelesene Fehler angepasst

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 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 16 ++++++++--------
 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 95cb516..01a6029 100644
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@@ -12,7 +12,7 @@ Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an d
 Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
 Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
 Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
-Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
+Da die DGL von zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
 Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
 Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
 $ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
@@ -77,13 +77,13 @@ Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfun
 
 \subsubsection{Rand}
 Bislang ist die definierte Matrix rechteckig.
-Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden.
+Um eine kreisförmige Membran zu simulieren, muss der Rand angepasst werden.
 Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert.
-Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
-Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente, welche nicht auf der definierten Membran sind, müssen zu beliebiger Zeit $0$ sein.
+Der Rand bedeutet, dass Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
+Die Position, sowie die Geschwindigkeit aller Elemente, welche nicht auf der definierten Membran sind, müssen zu beliebiger Zeit $0$ sein.
 Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. 
 Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. 
-Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
+Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet, so ist an jener Stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
 In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix.
 Die Maske wird angewendet, indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
 Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
@@ -99,7 +99,7 @@ Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembra
 In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
 Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
 Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
-Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
+Erreicht die Störung den Rand, wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -117,8 +117,8 @@ Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum
 \end{figure} 
 \subsection{Simulation: Unendliche Membran}
 
-Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
-Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben.
+Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren, könnte der unpraktische Weg gewählt werden, die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
+Etwas geeigneter ist es, die Matrix so gross wie möglich zu definieren, wie es die Kapazitäten erlauben.
 Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
 Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
 Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
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cgit v1.2.1

