From d9a24e13322ba877475300514412d74ad2e3a238 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Wed, 3 Aug 2022 20:07:27 +0200 Subject: Simulation: weitergeschrieben --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 23 +++++++++++++++++------ 1 file changed, 17 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran/teil4.tex') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index c124354..62a34c5 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -5,12 +5,23 @@ % \section{Lösungsmethode 3: Simulation \label{kreismembran:section:teil4}} -\paragraph{TODO Einleitung} Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. -Die Membran wird hier in Form der Matrix $ A $ digitalisiert. -Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. -Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt. -Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $. +Die Membran wird hier in Form der Matrix $ U $ digitalisiert. +Jedes Element $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. +Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht. +Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $. +Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. +Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. +Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. +$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. +Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet. -\paragraph{title} \ No newline at end of file +\subsection{Propagation} +Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. +Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster. +Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\end{equation*} +erfüllen. -- cgit v1.2.1