From d9a24e13322ba877475300514412d74ad2e3a238 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 3 Aug 2022 20:07:27 +0200
Subject: Simulation: weitergeschrieben

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 buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 23 +++++++++++++++++------
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diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index c124354..62a34c5 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -5,12 +5,23 @@
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 \section{Lösungsmethode 3: Simulation 
 	\label{kreismembran:section:teil4}}
-\paragraph{TODO Einleitung}
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
-Die Membran wird hier in Form der Matrix $  A $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
+Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
+Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
 
-\paragraph{title}
\ No newline at end of file
+\subsection{Propagation}
+Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. 
+Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster.
+Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie
+\begin{equation*}
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+\end{equation*}
+erfüllen.
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cgit v1.2.1

