From e0fb3e7b5861b9199eb2d361311cd1b768f8bed4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Thu, 9 Jun 2022 15:53:28 +0200 Subject: Korrektur Feedback --- buch/papers/kreismembran/main.tex | 4 +- buch/papers/kreismembran/references.bib | 24 ++++++- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 95 +++++++++++++++++----------- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 107 ++++++++++++++++---------------- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 40 +++++++----- 5 files changed, 161 insertions(+), 109 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index e63a118..e19c64a 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -3,8 +3,8 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}} -\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran} +\chapter{Schwingungen einer kreisförmigen Membran\label{chapter:kreismembran}} +\lhead{Schwingungen einer kreisförmigen Membran} \begin{refsection} \chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz} diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib index 0b6a683..1aef90b 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/references.bib +++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib @@ -24,7 +24,7 @@ } @article{kreismembran:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, + author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, year = 2019, @@ -33,3 +33,25 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@book{lokenath_debnath_integral_2015, + edition = {Third Edition}, + title = {Integral Tansforms and Their Applications}, + publisher = {{CRC} Press}, + author = {{Lokenath Debnath} and Dambaru Bhatta}, + date = {2015}, +} + +@thesis{nishanth_p_vibrations_2018, + title = {Vibrations of a Circular Membrane - Some Undergraduadte Exercises}, + type = {phdthesis}, + author = {{Nishanth P.} and {Udayanandan K. M.}}, + date = {2018}, +} + +@thesis{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013, + title = {Kreisförmige Membranen}, + institution = {{ETHZ}}, + type = {phdthesis}, + author = {{Prof. Dr. Horst Knörrer}}, + date = {2013}, +} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index aef5b79..38bcfe4 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -7,13 +7,14 @@ \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode  \label{kreismembran:section:teil1}} \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode} -An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst. +An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. +\subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}} Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. \end{equation*} -Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: +Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator \begin{equation*} \Delta = @@ -23,78 +24,98 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r 2} - \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. + \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \label{buch:pde:kreis:laplace} \end{equation*} +ergibt. -Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. +Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. -Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. +Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran. Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ (r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t) \end{align*} -Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: +Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} \cite{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013} \begin{equation*} - u\big|_{\Gamma} = 0 + u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0 \end{equation*} +gilt. + Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: \begin{align*} u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ - \frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi) + u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi). \end{align*} + +\subsection{Lösung\label{sub:lösung1}} +\subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}} Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: \begin{equation*} u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) \end{equation*} -Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt: +Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} + \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. \end{equation*} -Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: -\begin{gather*} - T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\ - r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} -\end{gather*} +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +\begin{align*} + T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\ + r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. +\end{align*} In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das: -\begin{gather*} - r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\ - G''(\varphi) = \nu G(\varphi) -\end{gather*} -$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also: +\begin{align*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) &= 0 \\ + G''(\varphi) &= \nu G(\varphi). +\end{align*} + +\subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}} +Da für die Zweite Gelichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt die gemeinsame Konstante als $-\nu^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also: \begin{equation*} G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) + \label{eq:cos_sin_überlagerung} \end{equation*} -Die Gleichung $F$ hat die Gestalt -\begin{equation*} - r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*) -\end{equation*} -Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen + +\subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}} +Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt +\begin{align} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 + \label{eq:2nd_degree_PDE} +\end{align} +Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Besselfunktionen \begin{equation*} J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} \end{equation*} -Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung" +Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung \begin{equation*} x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0 \end{equation*} -Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die +Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. Die Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion $J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich viele Nullstellen \begin{equation*} \alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ... \end{equation*} -haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass +haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergibt sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass \begin{equation*} - F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} + F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad \text{mit} \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} \end{equation*} -Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung -\begin{equation} - u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] -\end{equation} -Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n -für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. -An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. +\subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}} +Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. + +\subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}} +Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung +\begin{align} + u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)[a_{mn}\cos(n\varphi) + b_{mn}\sin(n\varphi)](n\varphi)[c_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+d_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] + \label{eq:lösung_endliche_generelle} +\end{align} + +Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$ +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. + + +An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 8afe817..6efda49 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -5,95 +5,98 @@ \section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}} \rhead{Die Hankel Transformation} -Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. -Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. -Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. -Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. -In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. - - -Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + +\subsubsection{Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}} +Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: \begin{align} - \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ - \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) \; dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} \end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problemen am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: \begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi. \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} \end{align} Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: \begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha, \label{equation:F_ohne_bessel} \end{align} wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. -Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n -\begin{align} - J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha +Unter Verwendung der Integraldarstellung der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} +\begin{equation*} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha \label{equation:bessel_n_ordnung} -\end{align} +\end{equation*} \eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: \begin{align} - F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr \nonumber \\ &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), \label{equation:F_mit_bessel_step_2} \end{align} -wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: \begin{align} - \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr. \label{equation:hankel} \end{align} +\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}} Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: -\begin{align} - e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, -\end{align} +\begin{align*} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) \; d\phi \\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} \; d\phi, +\end{align*} was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, -\begin{align} - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ - &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} -\end{align} +\begin{align*} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} \; d\alpha \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa, +\end{align*} -Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +von \eqref{equation:bessel_n_ordnung} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert: \begin{align} - \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa. \label{equation:inv_hankel} \end{align} -Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. -Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, +Alternativ kann auch die berühmte Hankel-Transformationsformel verwendet werden, -\begin{align} - f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, +\begin{align*} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp, \label{equation:hankel_integral_formula} -\end{align} -um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. -Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. - -\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. +\end{align*} +um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. -\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}} -Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel-Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. -\begin{equation*} - \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. -\end{equation*} +\begin{satz}{Skalierung:} + Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + + \begin{equation*} + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. + \end{equation*} +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +\begin{satz}{Persevalsche Relation (Skalarprodukt bleibt erhalten):} Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: \begin{equation*} - \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. + \int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa. \end{equation*} +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +\begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:} Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: \begin{align*} @@ -101,13 +104,13 @@ Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. +\end{satz} -\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}} +\begin{satz} Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: \begin{equation*} \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), \end{equation*} -bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$. - - +bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. +\end{satz} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index bef8b5f..10338e7 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -6,7 +6,10 @@ \section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode \label{kreismembran:section:teil3}} \rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode} -Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: +Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. + +\subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}} +Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: \begin{equation*} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = @@ -18,16 +21,15 @@ Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwen \end{equation*} \begin{align} - u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0 Date: Wed, 20 Jul 2022 17:52:10 +0200 Subject: Write citations --- buch/papers/kreismembran/references.bib | 19 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 19 insertions(+) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib index 1aef90b..f642aa8 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/references.bib +++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib @@ -4,6 +4,25 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@online{kreismembran:Duden:Membrane, + title = {Duden:Membrane}, + url = {https://www.duden.de/rechtschreibung/Membrane}, + date = {2022-07-20}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {20} +} + +@online{kreismembran:wellengleichung_herleitung, + title = {Derivation of the 2D Wave Equation}, + author = {Dr. Christopher Lum}, + url = {https://www.youtube.com/watch?v=KAS7JBztw8E&t=0s}, + date = {2022-07-20}, + year = {2022}, + month = {7}, + day = {20} +} + @online{kreismembran:bibtex, title = {BibTeX}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, -- cgit v1.2.1 From 8e792d7a9df5de84e24147758a4875e280426d3c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Wed, 20 Jul 2022 18:23:51 +0200 Subject: Begin writing intro, Einleitung & Annahmen --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 19 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 18 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 1552259..804640e 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -5,6 +5,23 @@ % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} \rhead{Einleitung} +Eine naheliegende kreisförmige Membrane ist eine Runde Trommel. +Der Zusammenhang zwischen rund und kreisförmig wird hier nicht erläutert, was in diesem Kapitel als Membrane verstanden wird sollte jedoch erwähnt sein. +Eine Membrane, Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membrane} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen". +Um zu verstehen wie sich eine Kreisförmige Membrane oder eben eine Trommel verhaltet, wird das Verhalten eines infinitesimal kleines Stück einer Membrane untersucht. - +\paragraph{Annahmen} Für die Herleitung einer Differentialgleichung mit überschaubarer Komplexität werden gebräuchliche Annahmen zur Modellierung einer Membrane \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung} getroffen: +\begin{enumerate}[i] + \item Die Membrane ist homogen. + Dies bedeutet, dass die Membrane über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membrane unter gleichmässiger Spannung $ T $. + \item Die Membrane ist perfekt flexibel. + Daraus folgt, dass die Membrane ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membrane ist dadurch nicht alleine schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit der Kraft $ T $. + \item Die Membrane kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken. + Auslenkungen in der ebene der Membrane sind nicht möglich. + \item Die Membrane erfährt keine Art von Dämpfung. + Neben der perfekten Flexibilität wird die Membrane auch nicht durch ihr umliegendes Medium aus gebremst. + Dadurch entsteht kein dämpfender Term abhängig von der Geschwindigkeit der Membrane in der Differenzialgleichung. +\end{enumerate} -- cgit v1.2.1 From 741a16165ff886bd411445a23b5963750c636a30 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Wed, 20 Jul 2022 18:58:36 +0200 Subject: Einleitung verbesserungen schreiben --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 804640e..6f5e907 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -4,11 +4,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} -Eine naheliegende kreisförmige Membrane ist eine Runde Trommel. +\rhead{Membrane} +Eine naheliegendes Beispiel einer kreisförmigen Membrane ist eine Runde Trommel. Der Zusammenhang zwischen rund und kreisförmig wird hier nicht erläutert, was in diesem Kapitel als Membrane verstanden wird sollte jedoch erwähnt sein. -Eine Membrane, Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membrane} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen". -Um zu verstehen wie sich eine Kreisförmige Membrane oder eben eine Trommel verhaltet, wird das Verhalten eines infinitesimal kleines Stück einer Membrane untersucht. +Eine Membrane, Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membrane} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., ...". +Um zu verstehen wie sich eine Kreisförmige Membrane oder eben eine Trommel verhaltet, wird vorerst das Verhalten eines infinitesimal kleines Stück einer Membrane untersucht. \paragraph{Annahmen} Für die Herleitung einer Differentialgleichung mit überschaubarer Komplexität werden gebräuchliche Annahmen zur Modellierung einer Membrane \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung} getroffen: \begin{enumerate}[i] -- cgit v1.2.1 From 795f274fd1343ad7ba7f24f2988cb9d22b60f85c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 17:57:14 +0200 Subject: =?UTF-8?q?quelle=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/references.bib | 14 +++++++++++--- 1 file changed, 11 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib index f642aa8..acf8f90 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/references.bib +++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib @@ -4,9 +4,9 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{kreismembran:Duden:Membrane, - title = {Duden:Membrane}, - url = {https://www.duden.de/rechtschreibung/Membrane}, +@online{kreismembran:Duden:Membran, + title = {Duden:Membran}, + url = {https://www.duden.de/rechtschreibung/Membran}, date = {2022-07-20}, year = {2022}, month = {7}, @@ -73,4 +73,12 @@ type = {phdthesis}, author = {{Prof. Dr. Horst Knörrer}}, date = {2013}, +} + +@thesis{kreismembran:membrane_vs_thin_plate, + title = {Modeling and Control of SPIDER Satellite Components}, + institution = {{faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University}}, + type = {Dissertation}, + author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}}, + date = {2005}, } \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 74763d677a4612d8844332f21026e5d1306333ac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 17:57:37 +0200 Subject: einleitung und herleitung DGL erste version fertig --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 89 ++++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 72 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 6f5e907..bb8188d 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -4,24 +4,79 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Membrane} -Eine naheliegendes Beispiel einer kreisförmigen Membrane ist eine Runde Trommel. -Der Zusammenhang zwischen rund und kreisförmig wird hier nicht erläutert, was in diesem Kapitel als Membrane verstanden wird sollte jedoch erwähnt sein. -Eine Membrane, Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membrane} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., ...". -Um zu verstehen wie sich eine Kreisförmige Membrane oder eben eine Trommel verhaltet, wird vorerst das Verhalten eines infinitesimal kleines Stück einer Membrane untersucht. +\rhead{Membran} +Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...". +Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften auf, wie ein gespanntes Stück Papier. +Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. +Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. +Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. -\paragraph{Annahmen} Für die Herleitung einer Differentialgleichung mit überschaubarer Komplexität werden gebräuchliche Annahmen zur Modellierung einer Membrane \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung} getroffen: +Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. +Sie besteht herkömmlicher weise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. +Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. +Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. +Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der Folgenden Arbeit Diskutiert. + + +\paragraph{Annahmen} +Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. +Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften: \begin{enumerate}[i] - \item Die Membrane ist homogen. - Dies bedeutet, dass die Membrane über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. - Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membrane unter gleichmässiger Spannung $ T $. - \item Die Membrane ist perfekt flexibel. - Daraus folgt, dass die Membrane ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. - Die Membrane ist dadurch nicht alleine schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit der Kraft $ T $. - \item Die Membrane kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken. - Auslenkungen in der ebene der Membrane sind nicht möglich. - \item Die Membrane erfährt keine Art von Dämpfung. - Neben der perfekten Flexibilität wird die Membrane auch nicht durch ihr umliegendes Medium aus gebremst. - Dadurch entsteht kein dämpfender Term abhängig von der Geschwindigkeit der Membrane in der Differenzialgleichung. + \item Die Membran ist homogen. + Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. + \item Die Membran ist perfekt flexibel. + Daraus folgt, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken. + Auslenkungen in der ebene der Membran sind nicht möglich. + \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. + Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. + Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. + \end{enumerate} +\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. +Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. +%Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. + +Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. +Wie für die Membran ist die Annahme iii gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. +Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte +\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} + T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T +\end{equation} +gleichgesetzt werden. +Das dynamische verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz +\begin{equation*} + \sum F = m \cdot a +\end{equation*} +befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als +\begin{equation*} + T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} . +\end{equation*} +Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann +\begin{equation*} + \frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +vereinfacht als +\begin{equation*} + \tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +geschrieben werden. +Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $. +Die Gleichung wird dadurch zu +\begin{equation*} + \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Durch die Division mit $ dx $ entsteht +\begin{equation*} + \frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Auf der Linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervall-Länge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird mit $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die, in der Literatur gebräuchliche Form +\begin{equation} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. +\end{equation} +In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. Für den Fall einer Membran muss lediglich die Ableitung in zwei Dimensionen gerechnet werden. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 7aef721d37d440a7ac22b93aa3b998b8f15dbade Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 17:58:37 +0200 Subject: kapitel -> abschnitt --- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index 38bcfe4..39ca598 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -10,7 +10,7 @@ An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. \subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}} -Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: +Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: \begin{equation*} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. \end{equation*} -- cgit v1.2.1 From 79731c7db599b675b38cdb637c1b00d323c1ccde Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 18:06:43 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Struktur=20Anpassung=20f=C3=BCr=20Simulations-Teil?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/main.tex | 1 + buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 2 +- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 ++++++++ 3 files changed, 10 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/papers/kreismembran/teil4.tex (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index e19c64a..f6000a1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -12,6 +12,7 @@ \input{papers/kreismembran/teil1.tex} \input{papers/kreismembran/teil2.tex} \input{papers/kreismembran/teil3.tex} +\input{papers/kreismembran/teil4.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 10338e7..7d5648a 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -76,7 +76,7 @@ Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung mit Summationen, \end{align} kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen. -\subsection{Vergleich der Lösungen +\subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen \label{kreismembran:vergleich}} Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..830bce7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Lösungsmethode 3: Simulation + \label{kreismembran:section:teil4}} +Needs to be written \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c01fed1273bc5994b49a5e554e8bc60294fb9519 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 18:53:33 +0200 Subject: Anfang von numerik --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 +++++++- 1 file changed, 7 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index 830bce7..58fffc9 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -5,4 +5,10 @@ % \section{Lösungsmethode 3: Simulation \label{kreismembran:section:teil4}} -Needs to be written \ No newline at end of file +\paragraph{TODO Einleitung} + +Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. +Die Membran wird hier in Form der Matrix $ A $ digitalisiert. +Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ {x,y}={i,j} $. +Die Auslenkung ist jedoch auch von der Zeit abhängig für dies wird ein Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen erstellt. +s -- cgit v1.2.1 From 26301cab48f22b33ca56918c2787e5c67eb315a1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Thu, 28 Jul 2022 20:53:12 +0200 Subject: numerik continues --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 8 +++++--- 1 file changed, 5 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index 58fffc9..c124354 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -9,6 +9,8 @@ Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. Die Membran wird hier in Form der Matrix $ A $ digitalisiert. -Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ {x,y}={i,j} $. -Die Auslenkung ist jedoch auch von der Zeit abhängig für dies wird ein Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen erstellt. -s +Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. +Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt. +Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $. + +\paragraph{title} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 3ccdc3ec4dcc7d33b16fc1469b0c95c0e8def66d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Tue, 2 Aug 2022 14:51:41 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen=2002.08.2022=20andrea?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 54 +++++++++++++++++++------------------- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 45 +++++++++++++------------------ buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 8 +++--- 3 files changed, 49 insertions(+), 58 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index 39ca598..377ba48 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -30,37 +30,33 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d ergibt. Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. -Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. -Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran. +Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran. Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ (r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t) \end{align*} -Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} \cite{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013} -\begin{equation*} - u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0 -\end{equation*} -gilt. +Um die Vergleichbarkeit der beiden nachfolgend vorgestellten Lösungsverfahren in Abschnitt \ref{kreismembran:vergleich} zu vereinfachen, werden keine Randbedingungen vorgegeben. -Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: +Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt zur zeit $t = \text{0}$: \begin{align*} u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi). \end{align*} \subsection{Lösung\label{sub:lösung1}} +Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hilfe der varibalen Trennungsmethode gelöst. \subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}} -Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: +Bezug muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: \begin{equation*} u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) \end{equation*} -Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich: +Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. + \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. \end{equation*} -Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: \begin{align*} T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\ r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. @@ -72,14 +68,14 @@ In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rec \end{align*} \subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}} -Da für die Zweite Gelichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt die gemeinsame Konstante als $-\nu^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also: +Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also: \begin{equation*} G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) \label{eq:cos_sin_überlagerung} \end{equation*} \subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}} -Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt +Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (verweis auf \ref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}) \begin{align} r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \label{eq:2nd_degree_PDE} @@ -90,19 +86,9 @@ Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, \end{equation*} Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung \begin{equation*} - x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0 -\end{equation*} -Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. Die -Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion -$J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich -viele Nullstellen -\begin{equation*} - \alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ... -\end{equation*} -haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergibt sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass -\begin{equation*} - F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad \text{mit} \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} + x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0 \end{equation*} +Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. \subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}} Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. @@ -115,7 +101,21 @@ Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung \end{align} Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$ -für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie; siehe Abbildung \ref{buch:pde:kreis:fig:pauke}. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf} + %\includegraphics{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf} + \caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien + für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$. + Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist + rot dargestellt, die negativen Bereiche blau. + In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien. + Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen + der Besselfunktionen berechnet werden. + \label{buch:pde:kreis:fig:pauke}} +\end{figure} An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 6efda49..4fb139c 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -11,30 +11,30 @@ Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. -\subsubsection{Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}} +\subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}} Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: \begin{align} - \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ - \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) \; dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform} \end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problemen am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi. \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} \end{align} -Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha, \label{equation:F_ohne_bessel} \end{align} wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. -Unter Verwendung der Integraldarstellung der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} +Unter Verwendung der Integraldarstellung \begin{equation*} J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha \label{equation:bessel_n_ordnung} \end{equation*} -\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: + der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu: \begin{align} F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr \nonumber \\ &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), @@ -47,37 +47,28 @@ wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und i \end{align} \subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}} -Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: +Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten. -\begin{align*} - e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) \; d\phi \\ - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} \; d\phi, -\end{align*} -was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, - -\begin{align*} - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} \; d\alpha \\ - &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa, -\end{align*} - -von \eqref{equation:bessel_n_ordnung} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert: +Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert: \begin{align} \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa. \label{equation:inv_hankel} \end{align} -Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. -\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. -Alternativ kann auch die berühmte Hankel-Transformationsformel verwendet werden, +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen. + +Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel \begin{align*} f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp, \label{equation:hankel_integral_formula} \end{align*} -um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Umkehrung \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. + Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. -\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel-Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +\subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}} In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. \begin{satz}{Skalierung:} @@ -88,7 +79,7 @@ In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation \end{equation*} \end{satz} -\begin{satz}{Persevalsche Relation (Skalarprodukt bleibt erhalten):} +\begin{satz}{Parsevalsche Relation:} Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: \begin{equation*} @@ -103,7 +94,7 @@ Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} -bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. +vorausgesetzt dass $[rf(r)]$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$. \end{satz} \begin{satz} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 7d5648a..014b6e6 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -40,7 +40,7 @@ bekommt man: \tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad \tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa). \end{equation*} -Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie in Gleighung \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt +Die allgemeine Lösung für diese Gleichung lautet, wie in Abschnitt \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt \begin{equation*} \tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t). @@ -60,7 +60,7 @@ Es wird in Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Z \end{equation*} so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und \begin{equation*} - \tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa} + \tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}. \end{equation*} Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also \begin{align*} @@ -68,7 +68,7 @@ Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also &=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}} \end{align*} -Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung mit Summationen, +Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, \begin{align} u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)] @@ -78,7 +78,7 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen. \subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen \label{kreismembran:vergleich}} -Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. +Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine, dato che abbiamo assunto che la soluzione è rotationssymmetrisch. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung. -- cgit v1.2.1 From d9a24e13322ba877475300514412d74ad2e3a238 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Wed, 3 Aug 2022 20:07:27 +0200 Subject: Simulation: weitergeschrieben --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 23 +++++++++++++++++------ 1 file changed, 17 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index c124354..62a34c5 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -5,12 +5,23 @@ % \section{Lösungsmethode 3: Simulation \label{kreismembran:section:teil4}} -\paragraph{TODO Einleitung} Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. -Die Membran wird hier in Form der Matrix $ A $ digitalisiert. -Jedes Element $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. -Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt. -Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $. +Die Membran wird hier in Form der Matrix $ U $ digitalisiert. +Jedes Element $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. +Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht. +Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $. +Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. +Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. +Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. +$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. +Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet. -\paragraph{title} \ No newline at end of file +\subsection{Propagation} +Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. +Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster. +Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\end{equation*} +erfüllen. -- cgit v1.2.1 From a5bde5f6142ac462d7c59f9d39485387c91242e2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Fri, 5 Aug 2022 20:54:19 +0200 Subject: =?UTF-8?q?ImPro=20Buch=20als=20Referenz=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/references.bib | 8 ++++++++ 1 file changed, 8 insertions(+) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib index acf8f90..3d9d0c1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/references.bib +++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib @@ -52,6 +52,14 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@book{kreismembran:Digital_Image_processing, + edition = {Fourth Edition}, + title = {Digital Image Processing}, + publisher = {Pearson}, + author = {Rafael C. Gozales and Richard E. Woods}, + date = {2018}, +} + @book{lokenath_debnath_integral_2015, edition = {Third Edition}, title = {Integral Tansforms and Their Applications}, -- cgit v1.2.1 From 28fd91bc332b07b3fbde985a92d71e0262a6e6fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Fri, 5 Aug 2022 20:54:48 +0200 Subject: Simulation fast fertig --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 120 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index 62a34c5..f660439 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -9,6 +9,7 @@ Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden. Die Membran wird hier in Form der Matrix $ U $ digitalisiert. Jedes Element $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $. +Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran. Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht. Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $. Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. @@ -20,8 +21,124 @@ Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was \subsection{Propagation} Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster. -Da die Digitale Membran sich wie die analytisch untersuchte verhalten soll, muss auch sie +Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als +\begin{equation} + U[w+1] = U[w] + dt \cdot V[w], +\end{equation} +also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. +Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden. +Analog zur Folgeposition wird \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u + V[w+1] = V[w] + dt \cdot \frac{\partial^2u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Die Beschleunigung $ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $ eines Elementes ist durch die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} gegeben als +\begin{equation*} + \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u \cdot c^2. +\end{equation*} +Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit +\begin{equation} + V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2 +\end{equation} +berechnet werden. +Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist. + +\subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$} +Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als +\begin{equation*} + \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+dx)-2f(x)+f(x-dx)}{dx^2} +\end{equation*} +approximiert werden \cite{kreismembran:Digital_Image_processing}. +Dank der Linearität der Ableitung kann die Ableitung einer weiteren Dimension addiert werden. +Daraus folgt für den zweidimensionalen Fall +\begin{equation*} + \Delta_h u= \frac{u(x+dh,y,t)+u(x,y+dh,t)-4f(x)+u(x-dh,y,t)+u(x,y-dh,t)}{dh^2}. \end{equation*} -erfüllen. +Um $ \Delta_h $ auf eine Matrix anwenden zu können wird die Gleichung in Form einer Filtermaske + \begin{equation} + \Delta_h u= \frac{1}{dh^2} + \left[ {\begin{array}{ccc} + 0 & 1 & 0\\ + 1 & -4 & 1\\ + 0 & 1 & 0\\ + \end{array} } \right] + \end{equation} +formuliert. +Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer Matrizen-Faltung um $ \Delta_h U[] $ zu berechnen. + +\subsection{Simulation: Kreisförmige Membran} +Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden. +\paragraph{Initialisierung} +Die Anzahl der simulierten Elementen soll $ m \times n $ was dementsprechend die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt. +Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird. +Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert. +Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. +Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet. +Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einm Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht. + +\paragraph{Rand} +Bislang ist die definierte Matrix rechteckig. +Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden. +Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert. +Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können. +Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente welche nicht auf der definierten Membran sind müssen zu beliebiger Zeit $0$ entsprechen. +Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. +Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. +Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran. +In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix. +Die Maske wird angewendet indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. +Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen +\begin{align} + \label{kreismembran:eq:folge_U} + U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])*M\\ + \label{kreismembran:eq:folge_V} + V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)*M +\end{align} +berechnet werden. +\paragraph{Simulation} +Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. +In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen. +Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten. +Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet. +Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. +\begin{figure} + \begin{center} + \label{kreismembran:im:simres_rund} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_4.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png} + \caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.} + + \end{center} +\end{figure} +\subsection{Simulation: Unendliche Kreisförmige Membran} + +Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen. +Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben. +Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. +Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst. +Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt. + +\paragraph{Absorber} +Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte. +Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion. +In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben. +Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. +Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges. +Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt. +Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt. + + + + + + + + + + + + + -- cgit v1.2.1 From e37397bb3b3c9cf93dff1d1aaecb186ca10fc239 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Fri, 5 Aug 2022 23:03:46 +0200 Subject: =?UTF-8?q?minikorrekturen=20m=C3=BCller?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 46 +++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 25 insertions(+), 21 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index bb8188d..10cd476 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -5,32 +5,32 @@ % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} \rhead{Membran} -Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...". -Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften auf, wie ein gespanntes Stück Papier. +Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...''. +Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. -Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. -Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. -Sie besteht herkömmlicher weise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. +Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. -Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. -Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der Folgenden Arbeit Diskutiert. +Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. +Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert. -\paragraph{Annahmen} +\subsection{Annahmen} Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. -Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften: -\begin{enumerate}[i] +Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate}[i)] \item Die Membran ist homogen. Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. \item Die Membran ist perfekt flexibel. - Daraus folgt, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. - Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. - \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken. - Auslenkungen in der ebene der Membran sind nicht möglich. + Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken. + Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. @@ -38,18 +38,18 @@ Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften: \end{enumerate} \subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. -Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. %Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. -Wie für die Membran ist die Annahme iii gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. +Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T \end{equation} gleichgesetzt werden. -Das dynamische verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz +Das dynamische Verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz \begin{equation*} \sum F = m \cdot a \end{equation*} @@ -69,14 +69,18 @@ geschrieben werden. Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $. Die Gleichung wird dadurch zu \begin{equation*} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. + \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. \end{equation*} Durch die Division mit $ dx $ entsteht \begin{equation*} - \frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. + \frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. \end{equation*} -Auf der Linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervall-Länge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird mit $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die, in der Literatur gebräuchliche Form +Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. +Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. +Somit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form \begin{equation} + \label{kreismembran:Ausgang_DGL} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. \end{equation} -In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. Für den Fall einer Membran muss lediglich die Ableitung in zwei Dimensionen gerechnet werden. \ No newline at end of file +In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. +Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 40c2d617a90a81c57489a5c9e220ef577f6882a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Fri, 5 Aug 2022 23:34:04 +0200 Subject: simulation fertig --- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 61 ++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 55 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index f660439..b67e9e7 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -101,8 +101,9 @@ Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet. Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. \begin{figure} + \begin{center} - \label{kreismembran:im:simres_rund} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png} @@ -110,10 +111,11 @@ Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png} \caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.} + \label{kreismembran:im:simres_rund} \end{center} \end{figure} -\subsection{Simulation: Unendliche Kreisförmige Membran} +\subsection{Simulation: Unendliche Membran} Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen. Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben. @@ -129,12 +131,59 @@ Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges. Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt. Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt. +Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. +Der Abstand entspricht +\begin{equation*} + r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2}, +\end{equation*} +wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen. +Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf +\begin{align} + M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\ + 0 & \text{sonst} \end{cases} +\end{align} +gesetzt. +Der Parameter $a > 0$ bestimmt wie Steil der Übergang sein soll, $b$ bestimmt wie weit weg vom Zentrum sich der Übergang befindet. +In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Masken zu sehen. +\begin{figure} + + \begin{center} + + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_disk.png} + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_absorber.png} + \caption{Vergleich von Masken: Links Binär für eine endliche Membran, rechts mit Absorber für eine unendliche Membran} + \label{kreismembran:im:masks} + \end{center} +\end{figure} +\paragraph{Simulation} +Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden. +Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. +Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich} - - - - +\begin{figure} + + \begin{center} + + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_1.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_2.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_3.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_4.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_5.png} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_6.png} + \caption{Simulations Resultate einer unendlichen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.} + \label{kreismembran:im:simres_unendlich} + + \end{center} +\end{figure} +zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft. +Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt. +Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind. + +\section{Schlusswort} +Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen. +Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik. +Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. -- cgit v1.2.1 From 152b3d55898b7aebbd4fd0182a9c45914514a7d8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Fri, 5 Aug 2022 23:34:51 +0200 Subject: beginn mit besseren referenzen auf annahmen --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 18 +++++++++--------- 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 10cd476..ad41406 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -17,30 +17,30 @@ Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offene Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert. - + \subsection{Annahmen} Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: \begin{enumerate}[i)] \item Die Membran ist homogen. - Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. - Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. + %Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + %Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. \item Die Membran ist perfekt flexibel. - Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. - Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + %Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + %Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken. - Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. + %Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. - Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. - Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. + %Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. + %Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. \end{enumerate} \subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. -%Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. + Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. -- cgit v1.2.1 From 07467478fad0ab552c794e41442a36e18c296111 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Sat, 6 Aug 2022 14:58:37 +0200 Subject: add images --- buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf | Bin 0 -> 17845 bytes buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png | Bin 0 -> 83443 bytes buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png | Bin 0 -> 15936 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png | Bin 0 -> 28449 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png | Bin 0 -> 40121 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png | Bin 0 -> 47092 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png | Bin 0 -> 50305 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png | Bin 0 -> 54324 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png | Bin 0 -> 49234 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png | Bin 0 -> 28449 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png | Bin 0 -> 36804 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png | Bin 0 -> 34959 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png | Bin 0 -> 37099 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png | Bin 0 -> 39508 bytes buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png | Bin 0 -> 44963 bytes 15 files changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf b/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf new file mode 100644 index 0000000..0f87c93 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png b/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png new file mode 100644 index 0000000..5d0cccf Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png b/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png new file mode 100644 index 0000000..4b38163 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png new file mode 100644 index 0000000..84c7c1f Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png new file mode 100644 index 0000000..ac6312a Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png new file mode 100644 index 0000000..9388074 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png new file mode 100644 index 0000000..e25b4a0 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png new file mode 100644 index 0000000..638ec92 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png new file mode 100644 index 0000000..7678da5 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png new file mode 100644 index 0000000..c3c7a03 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png new file mode 100644 index 0000000..91f3d41 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png new file mode 100644 index 0000000..e04475b Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png new file mode 100644 index 0000000..5b203c6 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png new file mode 100644 index 0000000..ec76085 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png new file mode 100644 index 0000000..9c475eb Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png differ -- cgit v1.2.1 From 05e358bb076c0680521b0a6d66b9fc8b3ea1af40 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Sat, 6 Aug 2022 14:58:59 +0200 Subject: korrekturen in andrea teil --- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 11 +++++++---- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 3 ++- 2 files changed, 9 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index 377ba48..f0d478f 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode  \label{kreismembran:section:teil1}} \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode} -An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. +An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. \subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}} Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: @@ -30,7 +30,7 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d ergibt. Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. -Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran. +Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}. Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} @@ -56,7 +56,10 @@ Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlic \begin{equation*} \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. \end{equation*} -Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. +Laut Annahme iv) in \ref{kreimembran:annahmen} erfährt die Membran keine Dämpfung. +Daher werden Lösungen gesucht, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. +Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: \begin{align*} T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\ r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. @@ -118,4 +121,4 @@ für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membr \end{figure} -An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. +An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 014b6e6..276f911 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -78,7 +78,8 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen. \subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen \label{kreismembran:vergleich}} -Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine, dato che abbiamo assunto che la soluzione è rotationssymmetrisch. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. +Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. +Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist. Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung. -- cgit v1.2.1 From 617271699ec4a2ad9a0b8ca9940cc19a21901382 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Sat, 6 Aug 2022 15:00:32 +0200 Subject: referenzen und equation fix --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 28 +++++++++++++++++----------- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 2 ++ 2 files changed, 19 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index ad41406..6f55358 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -19,30 +19,36 @@ Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschi Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert. -\subsection{Annahmen} +\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen} Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: \begin{enumerate}[i)] \item Die Membran ist homogen. - %Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. - %Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. + Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. \item Die Membran ist perfekt flexibel. - %Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. - %Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken. - %Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. + Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. - %Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. - %Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein. + Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. \end{enumerate} \subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. +\begin{figure} + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf} + \caption{Infinitesimales Stück einer Saite} + \label{kreismembran:im:Saite} + \end{center} +\end{figure} - -Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. +Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} @@ -73,7 +79,7 @@ Die Gleichung wird dadurch zu \end{equation*} Durch die Division mit $ dx $ entsteht \begin{equation*} - \frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. + \frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. \end{equation*} Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index b67e9e7..74bb87d 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -179,6 +179,8 @@ Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich} zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft. Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt. Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind. +Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein, dass der Übergangsbereich eine sanft ansteigende Dämpfung in das System bringt. +Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt. \section{Schlusswort} Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen. -- cgit v1.2.1 From a37eaf082bc34c696c40efe33cf868c41dd765a0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Mon, 8 Aug 2022 19:00:45 +0200 Subject: last commit --- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 22 +++++++++++----------- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 16 ++++++++-------- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 24 ++++++++++++++---------- 3 files changed, 33 insertions(+), 29 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index f0d478f..a872ed1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -23,7 +23,7 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d \frac1r \frac{\partial}{\partial r} + - \frac{1}{r 2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \label{buch:pde:kreis:laplace} \end{equation*} @@ -39,16 +39,16 @@ Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Ome \end{align*} Um die Vergleichbarkeit der beiden nachfolgend vorgestellten Lösungsverfahren in Abschnitt \ref{kreismembran:vergleich} zu vereinfachen, werden keine Randbedingungen vorgegeben. -Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt zur zeit $t = \text{0}$: +Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt zur Zeit $t = \text{0}$: \begin{align*} u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi). \end{align*} \subsection{Lösung\label{sub:lösung1}} -Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hilfe der varibalen Trennungsmethode gelöst. +Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hilfe der Separationsmethode gelöst. \subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}} -Bezug muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: +Hierfür wird folgenden Ansatz gemacht: \begin{equation*} u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) \end{equation*} @@ -64,26 +64,26 @@ Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^ T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\ r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}. \end{align*} -In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das: +In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also: \begin{align*} - r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) &= 0 \\ - G''(\varphi) &= \nu G(\varphi). + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \quad \text{und} \quad + G''(\varphi) = \nu G(\varphi). \end{align*} \subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}} Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also: \begin{equation*} - G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) + G(\varphi) = C_n \cos(\nu\varphi) + D_n \sin(\nu\varphi) \label{eq:cos_sin_überlagerung} \end{equation*} \subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}} -Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (verweis auf \ref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}) +Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} \begin{align} r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \label{eq:2nd_degree_PDE} \end{align} -Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Besselfunktionen +Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen \begin{equation*} J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} \end{equation*} @@ -104,7 +104,7 @@ Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung \end{align} Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$ -für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie; siehe Abbildung \ref{buch:pde:kreis:fig:pauke}. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie (siehe Abbildung \ref{buch:pde:kreis:fig:pauke}). $J_n(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. \begin{figure} \centering diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 4fb139c..133ee31 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -34,7 +34,7 @@ Unter Verwendung der Integraldarstellung J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha \label{equation:bessel_n_ordnung} \end{equation*} - der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu: + der Bessel-Funktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu: \begin{align} F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr \nonumber \\ &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), @@ -69,10 +69,10 @@ verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. \subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, dies ist in Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. \begin{satz}{Skalierung:} - Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: \begin{equation*} \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. @@ -80,7 +80,7 @@ In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation \end{satz} \begin{satz}{Parsevalsche Relation:} -Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann gilt: \begin{equation*} \int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa. @@ -88,20 +88,20 @@ Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H \end{satz} \begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:} -Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann gilt: \begin{align*} &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} -vorausgesetzt dass $[rf(r)]$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$. +vorausgesetzt, dass $rf(r)$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$. \end{satz} \begin{satz} -Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: \begin{equation*} \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), \end{equation*} -bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. +bereitgestellt, dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$. \end{satz} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 276f911..468ee24 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -6,25 +6,22 @@ \section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode \label{kreismembran:section:teil3}} \rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode} -Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. +Die Hankel-Transformation kann hier zur Lösung der Differentialgleichung verwendet werden. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. \subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}} Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: -\begin{equation*} +\begin{align} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} - \frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 00 - \label{eq:PDE_inf_membane} -\end{equation*} - -\begin{align} - u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 00 \label{eq:PDE_inf_membane} \\ + u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0 Date: Wed, 10 Aug 2022 21:51:06 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Korrekturen=20von=20M=C3=BCller=20umgesetzt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 16 +++++++++------- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 29 ++++++++++++++--------------- 2 files changed, 23 insertions(+), 22 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 6f55358..a0a4152 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -5,18 +5,18 @@ % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} \rhead{Membran} -Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...''. +Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. -Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. -Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert. +Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können, wird in der folgenden Arbeit diskutiert. \subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen} @@ -48,9 +48,10 @@ Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man s \end{center} \end{figure} -Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. -Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $. -Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte +In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. +Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. +Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. +Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T \end{equation} @@ -81,7 +82,8 @@ Durch die Division mit $ dx $ entsteht \begin{equation*} \frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. \end{equation*} -Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. +Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt. +Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form \begin{equation} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex index 74bb87d..95cb516 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex @@ -67,37 +67,37 @@ Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer \subsection{Simulation: Kreisförmige Membran} Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden. -\paragraph{Initialisierung} -Die Anzahl der simulierten Elementen soll $ m \times n $ was dementsprechend die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt. +\subsubsection{Initialisierung} +Die Anzahl der simulierten Elemente soll $ m \times n $ sein, was die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt. Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird. Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert. Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet. -Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einm Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht. +Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einem Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht. -\paragraph{Rand} +\subsubsection{Rand} Bislang ist die definierte Matrix rechteckig. Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden. Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert. Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können. -Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente welche nicht auf der definierten Membran sind müssen zu beliebiger Zeit $0$ entsprechen. +Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente, welche nicht auf der definierten Membran sind, müssen zu beliebiger Zeit $0$ sein. Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran. In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix. -Die Maske wird angewendet indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. +Die Maske wird angewendet, indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen \begin{align} \label{kreismembran:eq:folge_U} - U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])*M\\ + U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])\odot M\\ \label{kreismembran:eq:folge_V} - V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)*M + V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M \end{align} berechnet werden. -\paragraph{Simulation} +\subsubsection{Simulation} Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen. -Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten. +Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten. Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet. Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. \begin{figure} @@ -123,13 +123,13 @@ Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wir Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst. Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt. -\paragraph{Absorber} +\subsubsection{Absorber} Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte. Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion. In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben. Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges. -Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt. +Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt. Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt. Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. Der Abstand entspricht @@ -156,11 +156,10 @@ In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Mask \label{kreismembran:im:masks} \end{center} \end{figure} -\paragraph{Simulation} +\subsubsection{Simulation} Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden. Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich} - \begin{figure} \begin{center} @@ -183,7 +182,7 @@ Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein, Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt. \section{Schlusswort} -Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen. +Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen. Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik. Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. -- cgit v1.2.1 From a1a811ef08f16f61382f4f7eecc45fd71bd1e1d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tim30b Date: Mon, 15 Aug 2022 00:50:56 +0200 Subject: gegengelesene Fehler angepasst --- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 10 +++++----- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 2 +- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 8 ++++---- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 6 +++--- buch/papers/kreismembran/teil4.tex | 16 ++++++++-------- 5 files changed, 21 insertions(+), 21 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kreismembran') diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index a0a4152..c6dac06 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -10,7 +10,7 @@ Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigen Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. -Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. @@ -36,8 +36,8 @@ Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: \end{enumerate} -\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. -Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten, wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. +Es lohnt sich, das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite dasselbe Verhalten wie eine Membran aufweist, mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. \begin{figure} @@ -49,7 +49,7 @@ Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man s \end{figure} In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. -Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. +Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, es entsteht keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} @@ -85,7 +85,7 @@ Durch die Division mit $ dx $ entsteht Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt. Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. -Somit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form +Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form \begin{equation} \label{kreismembran:Ausgang_DGL} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index a872ed1..f6ba7d1 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -83,7 +83,7 @@ Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialglei r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \label{eq:2nd_degree_PDE} \end{align} -Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen +Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen \begin{equation*} J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} \end{equation*} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 133ee31..ec27bd3 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist. Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen. -Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. @@ -17,12 +17,12 @@ Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_inte \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\ \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform} \end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +definiert ist, wobei $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet. Mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi. \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} \end{align} -Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +Dann wird angenommen, dass $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: \begin{align} F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha, \label{equation:F_ohne_bessel} @@ -69,7 +69,7 @@ verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. \subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, dies ist in Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, diese sind im Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden. \begin{satz}{Skalierung:} Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt: diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 468ee24..a9dcd95 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -17,7 +17,7 @@ Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ei + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 00 \label{eq:PDE_inf_membane} \\ - u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0