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Date: Wed, 6 Apr 2022 08:00:09 +0200
Subject: Start definition.tex

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 buch/papers/laguerre/definition.tex | 150 ++++++++++++++++++++++++++++--------
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 \section{Definition
 \label{laguerre:section:definition}}
 \rhead{Definition}
-
+Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
-    x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
-    =
-    0 
-    \label{laguerre:dgl}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+.
+\label{laguerre:dgl}
 \end{align}
-
+Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl}
+verwenden wir einen Potenzreihenansatz.
+Setzt man nun den Ansatz
+\begin{align*}
+y(x) 
+&= 
+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+\\
+y'(x)
+& = 
+\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
+=
+\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+\\
+y''(x)
+&=
+\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
+=
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+\end{align*}
+in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+\begin{align*}
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
++ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 
+&= 
+0\\
+\sum_{k=0}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+&=
+0.
+\end{align*}
+Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
+\begin{align*}
+a_{k+1}
+&= 
+\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k
+\end{align*}
+ableiten.
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$,
+denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
+Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, 
+dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
+Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+\begin{align*}
+a_1 
+= 
+-\frac{n}{1^2}
+,&&
+a_2 
+= 
+\frac{(n-1)n}{1^2 2^2}
+,&&
+a_3
+=
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2}
+\end{align*}
+und allgemein
+\begin{align*}
+k&\leq n:
+&
+a_k 
+&=
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} 
+= 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n
+\\
+k
+\end{pmatrix}
+\\
+k&>n:
+&
+a_k
+&=
+0.
+\end{align*}
+Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten:
 \begin{align}
-    L_n(x)
-    =
-    \sum_{k=0}^{n} 
-    \frac{(-1)^k}{k!}
-    \begin{pmatrix}
-        n \\
-        k
-    \end{pmatrix}
-    x^k
-    \label{laguerre:polynom}
+L_n(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n \\
+k
+\end{pmatrix}
+x^k
+\label{laguerre:polynom}
 \end{align}
 
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome
+\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre}
+}
 \begin{align}
-    x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
-    =
-    0 
-    \label{laguerre:generell_dgl}
+x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0 
+\label{laguerre:generell_dgl}
 \end{align}
 
 \begin{align}
-    L_n^\alpha (x)
-    =
-    \sum_{k=0}^{n} 
-    \frac{(-1)^k}{k!}
-    \begin{pmatrix}
-        n + \alpha \\
-        n - k
-    \end{pmatrix}
-    x^k
-    \label{laguerre:polynom}
+L_n^\alpha (x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n + \alpha \\
+n - k
+\end{pmatrix}
+x^k
+\label{laguerre:polynom}
 \end{align}
+
+% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
+% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
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