From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200 Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion of gamma-func --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index d111f6f..f1f0d00 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -118,6 +118,17 @@ L_n^\nu(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. \label{laguerre:allg_polynom} \end{align} +Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. +\begin{figure} +\centering +\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}} +% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% +% papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% +% } +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\label{laguerre:fig:polyeval} +\end{figure} \subsection{Analytische Fortsetzung} Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der @@ -142,16 +153,5 @@ L_n(x) \ln(x) \end{align*} wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$, $\forall k \in \mathbb{N}$. -Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in -Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.7\textwidth]{% - papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf% -} -\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} -\label{laguerre:fig:polyeval} -\end{figure} - % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf -- cgit v1.2.1 From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200 Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration SLP<->LP --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index f1f0d00..3e5d423 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. -Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen +Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, erscheint dieser Ansatz sinnvoll. -- cgit v1.2.1 From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200 Subject: Add presentation --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 3 +++ 1 file changed, 3 insertions(+) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 3e5d423..e511f43 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -18,6 +18,9 @@ x \in \mathbb{R} . \label{laguerre:dgl} \end{align} +Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung +zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, +aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -- cgit v1.2.1 From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200 Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for each image --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index e511f43..9ebc288 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -125,7 +125,7 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \begin{figure} \centering -\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}} +\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} % \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% % papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% % } -- cgit v1.2.1 From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200 Subject: First complete draft of Laguerre chapter --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 6 ++---- 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 9ebc288..42cd6f6 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -125,10 +125,8 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \begin{figure} \centering -\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} -% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% -% papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% -% } +% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf} \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} \label{laguerre:fig:polyeval} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200 Subject: Correct typos, improve grammar --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 14 ++++++++------ 1 file changed, 8 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 42cd6f6..4729a93 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) n \in \mathbb{N}_0 , \quad x \in \mathbb{R} -. \label{laguerre:dgl} +. \end{align} Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, -aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt. +aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. +weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. +Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, @@ -47,7 +47,7 @@ y''(x) = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man: +in die Differentialgleichung ein, erhält man \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form \Xi_n(x) = L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +. \end{align*} -Nach einigen mühsamen Rechnungen, +Nach einigen aufwändigen Rechnungen, +% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, erhalten wir \begin{align*} -- cgit v1.2.1