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Date: Thu, 12 May 2022 18:19:49 +0200
Subject: Derive Laguerre-Polynomials from Laguerre-ODE, proof orthogonality
 with Sturm-Liouville

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 buch/papers/laguerre/definition.tex | 160 ++++++++++++++++++++----------------
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index 84a26cf..edd2b7b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -4,11 +4,11 @@
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
 \section{Definition
-\label{laguerre:section:definition}}
+  \label{laguerre:section:definition}}
 \rhead{Definition}
-Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
-x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
@@ -18,22 +18,27 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
-Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl}
-verwenden wir einen Potenzreihenansatz.
+Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+weil die Lösung gleich berechnet werden kann,
+aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
+Potenzreihenansatz.
+Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
 Setzt man nun den Ansatz
 \begin{align*}
-y(x) 
-&= 
+y(x)
+ & =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 \\
 y'(x)
-& = 
+ & =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
 =
 \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
 \\
 y''(x)
-&=
+ & =
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
@@ -41,98 +46,109 @@ y''(x)
 in die Differentialgleichung ein, erhält man:
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
-+ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
-- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
-+ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 
-&= 
-0\\
-\sum_{k=0}^\infty
-\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
-&=
++
+(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+-
+\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++
+n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+ & =
+0    \\
+\sum_{k=1}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+ & =
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
 \begin{align*}
 a_{k+1}
-&= 
-\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k
+ & =
+\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
 \end{align*}
 ableiten.
-Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$,
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
+$n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, 
+Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
-Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
-a_1 
-= 
--\frac{n}{1^2}
-,&&
-a_2 
-= 
-\frac{(n-1)n}{1^2 2^2}
-,&&
+a_1
+=
+-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
+, &  &
+a_2
+=
+\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
+, &  &
 a_3
 =
--\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2}
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
 \end{align*}
 und allgemein
 \begin{align*}
-k&\leq n:
-&
-a_k 
-&=
-(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} 
-= 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n
-\\
 k
-\end{pmatrix}
+  & \leq
+n:
+  &
+a_k
+  & =
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
+=
+\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
 \\
-k&>n:
-&
+k & >n:
+  &
 a_k
-&=
+  & =
 0.
 \end{align*}
-Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten:
+Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n(x)
 =
-\sum_{k=0}^{n} 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n \\
-k
-\end{pmatrix}
-x^k
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-
-\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome
-\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre}
-}
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
-x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+L_n^\nu(x)
 =
-0 
-\label{laguerre:generell_dgl}
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+\label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
-
-\begin{align}
-L_n^\alpha (x)
+Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung mit der Form
+\begin{align*}
+\Xi_n(x)
 =
-\sum_{k=0}^{n} 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n + \alpha \\
-n - k
-\end{pmatrix}
-x^k
-\label{laguerre:polynom}
-\end{align}
+L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+\end{align*}
+Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+erhalten wir
+\begin{align*}
+\Xi_n
+=
+L_n(x) \ln(x)
++
+\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
+(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
++
+(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
+\end{align*}
+wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
+$\forall k \in \mathbb{N}$.
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
+    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
+}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
 
 % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
 % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
-- 
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