From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200
Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion
 of gamma-func

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 22 +++++++++++-----------
 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index d111f6f..f1f0d00 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -118,6 +118,17 @@ L_n^\nu(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
 \label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}}
+% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
+%     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
+% }
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
 Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
@@ -142,16 +153,5 @@ L_n(x) \ln(x)
 \end{align*}
 wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
 $\forall k \in \mathbb{N}$.
-Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
-Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
-    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
-}
-\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
-\label{laguerre:fig:polyeval}
-\end{figure}
-
 % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
 % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
-- 
cgit v1.2.1


From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200
Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration
 SLP<->LP

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index f1f0d00..3e5d423 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -22,7 +22,7 @@ Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
 aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
-Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
 Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
 erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-- 
cgit v1.2.1


From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200
Subject: Add presentation

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 3 +++
 1 file changed, 3 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 3e5d423..e511f43 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -18,6 +18,9 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
+Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
+zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
+aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-- 
cgit v1.2.1


From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200
Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for
 each image

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index e511f43..9ebc288 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -125,7 +125,7 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
 Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}}
+\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
 % \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
 %     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
 % }
-- 
cgit v1.2.1


From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200
Subject: First complete draft of Laguerre chapter

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 6 ++----
 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 9ebc288..42cd6f6 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -125,10 +125,8 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
 Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
-% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
-%     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
-% }
+% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf}
 \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
 \label{laguerre:fig:polyeval}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200
Subject: Correct typos, improve grammar

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 14 ++++++++------
 1 file changed, 8 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 42cd6f6..4729a93 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 n \in \mathbb{N}_0
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
-.
 \label{laguerre:dgl}
+.
 \end{align}
 Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
-aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
 Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
 Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
@@ -47,7 +47,7 @@ y''(x)
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+in die Differentialgleichung ein, erhält man
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form
 \Xi_n(x)
 =
 L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
 \end{align*}
-Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
 die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200
Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more
 citations and references, small changes to plots

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 86 ++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 61 insertions(+), 25 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 4729a93..e2062d2 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -3,51 +3,80 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Definition
-  \label{laguerre:section:definition}}
-\rhead{Definition}
-Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+\section{Herleitung%
+% \section{Einleitung
+% \section{Definition
+\label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}%
+In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
+aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
+Zudem möchten wir die Lösung auch auf 
+die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen.
+
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
 x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
-n \in \mathbb{N}_0
+n \in \mathbb{N}
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
 \label{laguerre:dgl}
 .
 \end{align}
-Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
+Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
 aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
-Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+
+{\subsection{Potenzreihenansatz}
+\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
+Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
 Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
-Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
-Potenzreihenansatz.
-Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
-erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-Setzt man nun den Ansatz
+Wir stellen die Vermutung auf,
+dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im 
+Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
+der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
+Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
+% Da wir bereits wissen, 
+% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
 \begin{align*}
 y(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
-\\
+% \\
+.
+\end{align*}
+Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
+\begin{align*}
 y'(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
 =
 \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
 \\
 y''(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+.
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man
+
+\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in 
+\eqref{laguerre:dgl}
+%die Differentialgleichung 
+ein,
+% erhält man
+resultiert
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -64,16 +93,18 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
-\begin{align*}
+\begin{align}
 a_{k+1}
  & =
 \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
-\end{align*}
+\label{laguerre:rekursion}
+\end{align}
 ableiten.
 Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
 $n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
+Aus %der Rekursionsbeziehung 
+\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
 Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
@@ -114,7 +145,7 @@ L_n(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n^\nu(x)
 =
@@ -132,14 +163,19 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
-Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
-Differentialgleichung mit der Form
+Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung erhalten.
+Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
+die Form
 \begin{align*}
 \Xi_n(x)
 =
-L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
 .
 \end{align*}
+Eine Herleitung dazu lässt sich im
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} 
+im ersten Teil des Buches finden.
 Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
 % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
 die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
@@ -147,7 +183,7 @@ erhalten wir
 \begin{align*}
 \Xi_n
 =
-L_n(x) \ln(x)
+L_n(x) \log(x)
 +
 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
 (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
-- 
cgit v1.2.1


From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200
Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP
 earlier

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 36 +++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index e2062d2..61549e0 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -4,15 +4,14 @@
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
 \section{Herleitung%
-% \section{Einleitung
-% \section{Definition
-\label{laguerre:section:definition}}
+  % \section{Einleitung
+  % \section{Definition
+  \label{laguerre:section:definition}}
 \rhead{Definition}%
 In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
 aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
-Zudem möchten wir die Lösung auch auf 
-die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
-Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen.
+Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden.
 
 \subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
 Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
@@ -32,14 +31,14 @@ zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
 aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 
-{\subsection{Potenzreihenansatz}
+\subsection{Potenzreihenansatz%
 \label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
 Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
 Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
 Wir stellen die Vermutung auf,
 dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
-Die Orthogonalität der Lösung werden wir im 
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im
 Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
 Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
 der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
@@ -49,7 +48,7 @@ Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
 % erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
 \begin{align*}
 y(x)
-& =
+ & =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 % \\
 .
@@ -57,13 +56,13 @@ y(x)
 Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
 \begin{align*}
 y'(x)
-& =
+ & =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
 =
 \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
 \\
 y''(x)
-& =
+ & =
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
@@ -71,7 +70,7 @@ y''(x)
 \end{align*}
 
 \subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
-Setzt man nun den Potenzreihenansatz in 
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in
 \eqref{laguerre:dgl}
 %die Differentialgleichung 
 ein,
@@ -106,7 +105,8 @@ denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
 Aus %der Rekursionsbeziehung 
 \eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
-Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten
+% $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
 a_1
 =
@@ -136,8 +136,10 @@ k & >n:
   &
 a_k
   & =
-0.
+0
+.
 \end{align*}
+Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen.
 Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n(x)
@@ -174,11 +176,11 @@ L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
 .
 \end{align*}
 Eine Herleitung dazu lässt sich im
-Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} 
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
 im ersten Teil des Buches finden.
-Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
 % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
-die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
 \Xi_n
-- 
cgit v1.2.1

