From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200 Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more citations and references, small changes to plots --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 86 ++++++++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 61 insertions(+), 25 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 4729a93..e2062d2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -3,51 +3,80 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Definition - \label{laguerre:section:definition}} -\rhead{Definition} -Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch +\section{Herleitung% +% \section{Einleitung +% \section{Definition +\label{laguerre:section:definition}} +\rhead{Definition}% +In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome +aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten. +Zudem möchten wir die Lösung auch auf +die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten. +Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen. + +\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} +Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch \begin{align} x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) = 0 , \quad -n \in \mathbb{N}_0 +n \in \mathbb{N} , \quad x \in \mathbb{R} \label{laguerre:dgl} . \end{align} -Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung +Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. -Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, + +{\subsection{Potenzreihenansatz} +\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}} +Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. -Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen -Potenzreihenansatz. -Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, -erscheint dieser Ansatz sinnvoll. -Setzt man nun den Ansatz +Wir stellen die Vermutung auf, +dass die Lösungen orthogonale Polynome sind. +Die Orthogonalität der Lösung werden wir im +Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen. +Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund +der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz. +Der Potenzreihenansatz ist gegeben als +% Da wir bereits wissen, +% dass die Lösung orthogonale Polynome sind, +% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. \begin{align*} y(x) - & = +& = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k -\\ +% \\ +. +\end{align*} +Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir +\begin{align*} y'(x) - & = +& = \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k \\ y''(x) - & = +& = \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} +. \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man + +\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung} +Setzt man nun den Potenzreihenansatz in +\eqref{laguerre:dgl} +%die Differentialgleichung +ein, +% erhält man +resultiert \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -64,16 +93,18 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 0. \end{align*} Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung -\begin{align*} +\begin{align} a_{k+1} & = \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k -\end{align*} +\label{laguerre:rekursion} +\end{align} ableiten. Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$, denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. -Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, +Aus %der Rekursionsbeziehung +\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich, dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ \begin{align*} @@ -114,7 +145,7 @@ L_n(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k \label{laguerre:polynom} \end{align} -und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome +und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome \begin{align} L_n^\nu(x) = @@ -132,14 +163,19 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \end{figure} \subsection{Analytische Fortsetzung} -Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der -Differentialgleichung mit der Form +Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der +Differentialgleichung erhalten. +Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung +die Form \begin{align*} \Xi_n(x) = -L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k . \end{align*} +Eine Herleitung dazu lässt sich im +Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +im ersten Teil des Buches finden. Nach einigen aufwändigen Rechnungen, % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, @@ -147,7 +183,7 @@ erhalten wir \begin{align*} \Xi_n = -L_n(x) \ln(x) +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k -- cgit v1.2.1