From 403b8888ab0702f4d4cf4c7df24adc8c3fa45ab0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 7 Mar 2022 17:19:47 +0100
Subject: Start paper about Laguerre polynomials

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 48 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 48 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/laguerre/definition.tex

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
new file mode 100644
index 0000000..5f6d8bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% definition.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Definition
+\label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}
+
+\begin{align}
+    x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+    =
+    0 
+    \label{laguerre:dgl}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    L_n(x)
+    =
+    \sum_{k=0}^{n} 
+    \frac{(-1)^k}{k!}
+    \begin{pmatrix}
+        n \\
+        k
+    \end{pmatrix}
+    x^k
+    \label{laguerre:polynom}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+    =
+    0 
+    \label{laguerre:generell_dgl}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    L_n^\alpha (x)
+    =
+    \sum_{k=0}^{n} 
+    \frac{(-1)^k}{k!}
+    \begin{pmatrix}
+        n + \alpha \\
+        n - k
+    \end{pmatrix}
+    x^k
+    \label{laguerre:polynom}
+\end{align}
-- 
cgit v1.2.1


From 670555039265d83945b0d3e205aefb020425585b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 6 Apr 2022 08:00:09 +0200
Subject: Start definition.tex

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 150 ++++++++++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 120 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 5f6d8bd..84a26cf 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -6,43 +6,133 @@
 \section{Definition
 \label{laguerre:section:definition}}
 \rhead{Definition}
-
+Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
-    x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
-    =
-    0 
-    \label{laguerre:dgl}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+.
+\label{laguerre:dgl}
 \end{align}
-
+Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl}
+verwenden wir einen Potenzreihenansatz.
+Setzt man nun den Ansatz
+\begin{align*}
+y(x) 
+&= 
+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+\\
+y'(x)
+& = 
+\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
+=
+\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+\\
+y''(x)
+&=
+\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
+=
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+\end{align*}
+in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+\begin{align*}
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
++ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 
+&= 
+0\\
+\sum_{k=0}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+&=
+0.
+\end{align*}
+Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
+\begin{align*}
+a_{k+1}
+&= 
+\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k
+\end{align*}
+ableiten.
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$,
+denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
+Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, 
+dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
+Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+\begin{align*}
+a_1 
+= 
+-\frac{n}{1^2}
+,&&
+a_2 
+= 
+\frac{(n-1)n}{1^2 2^2}
+,&&
+a_3
+=
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2}
+\end{align*}
+und allgemein
+\begin{align*}
+k&\leq n:
+&
+a_k 
+&=
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} 
+= 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n
+\\
+k
+\end{pmatrix}
+\\
+k&>n:
+&
+a_k
+&=
+0.
+\end{align*}
+Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten:
 \begin{align}
-    L_n(x)
-    =
-    \sum_{k=0}^{n} 
-    \frac{(-1)^k}{k!}
-    \begin{pmatrix}
-        n \\
-        k
-    \end{pmatrix}
-    x^k
-    \label{laguerre:polynom}
+L_n(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n \\
+k
+\end{pmatrix}
+x^k
+\label{laguerre:polynom}
 \end{align}
 
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome
+\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre}
+}
 \begin{align}
-    x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
-    =
-    0 
-    \label{laguerre:generell_dgl}
+x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0 
+\label{laguerre:generell_dgl}
 \end{align}
 
 \begin{align}
-    L_n^\alpha (x)
-    =
-    \sum_{k=0}^{n} 
-    \frac{(-1)^k}{k!}
-    \begin{pmatrix}
-        n + \alpha \\
-        n - k
-    \end{pmatrix}
-    x^k
-    \label{laguerre:polynom}
+L_n^\alpha (x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} 
+\frac{(-1)^k}{k!}
+\begin{pmatrix}
+n + \alpha \\
+n - k
+\end{pmatrix}
+x^k
+\label{laguerre:polynom}
 \end{align}
+
+% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
+% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
-- 
cgit v1.2.1


From b7ee1c1a6836f30d2267cfc9e6dbfa206b2cb737 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 12 May 2022 18:19:49 +0200
Subject: Derive Laguerre-Polynomials from Laguerre-ODE, proof orthogonality
 with Sturm-Liouville

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 160 ++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 88 insertions(+), 72 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 84a26cf..edd2b7b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -4,11 +4,11 @@
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
 \section{Definition
-\label{laguerre:section:definition}}
+  \label{laguerre:section:definition}}
 \rhead{Definition}
-Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
-x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
@@ -18,22 +18,27 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
-Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl}
-verwenden wir einen Potenzreihenansatz.
+Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+weil die Lösung gleich berechnet werden kann,
+aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
+Potenzreihenansatz.
+Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
 Setzt man nun den Ansatz
 \begin{align*}
-y(x) 
-&= 
+y(x)
+ & =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 \\
 y'(x)
-& = 
+ & =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
 =
 \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
 \\
 y''(x)
-&=
+ & =
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
@@ -41,98 +46,109 @@ y''(x)
 in die Differentialgleichung ein, erhält man:
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
-+ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
-- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
-+ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 
-&= 
-0\\
-\sum_{k=0}^\infty
-\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
-&=
++
+(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+-
+\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++
+n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+ & =
+0    \\
+\sum_{k=1}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+ & =
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
 \begin{align*}
 a_{k+1}
-&= 
-\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k
+ & =
+\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
 \end{align*}
 ableiten.
-Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$,
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
+$n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, 
+Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
-Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
-a_1 
-= 
--\frac{n}{1^2}
-,&&
-a_2 
-= 
-\frac{(n-1)n}{1^2 2^2}
-,&&
+a_1
+=
+-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
+, &  &
+a_2
+=
+\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
+, &  &
 a_3
 =
--\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2}
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
 \end{align*}
 und allgemein
 \begin{align*}
-k&\leq n:
-&
-a_k 
-&=
-(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} 
-= 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n
-\\
 k
-\end{pmatrix}
+  & \leq
+n:
+  &
+a_k
+  & =
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
+=
+\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
 \\
-k&>n:
-&
+k & >n:
+  &
 a_k
-&=
+  & =
 0.
 \end{align*}
-Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten:
+Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n(x)
 =
-\sum_{k=0}^{n} 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n \\
-k
-\end{pmatrix}
-x^k
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-
-\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome
-\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre}
-}
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
-x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+L_n^\nu(x)
 =
-0 
-\label{laguerre:generell_dgl}
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+\label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
-
-\begin{align}
-L_n^\alpha (x)
+Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung mit der Form
+\begin{align*}
+\Xi_n(x)
 =
-\sum_{k=0}^{n} 
-\frac{(-1)^k}{k!}
-\begin{pmatrix}
-n + \alpha \\
-n - k
-\end{pmatrix}
-x^k
-\label{laguerre:polynom}
-\end{align}
+L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+\end{align*}
+Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
+erhalten wir
+\begin{align*}
+\Xi_n
+=
+L_n(x) \ln(x)
++
+\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
+(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
++
+(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
+\end{align*}
+wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
+$\forall k \in \mathbb{N}$.
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
+    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
+}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
 
 % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
 % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
-- 
cgit v1.2.1


From 155989e49b70a4598dbf3ff3277d9e320f226a83 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 13 May 2022 12:38:18 +0200
Subject: Add some information about Gauss Quadrature and application to Gamma
 integral

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index edd2b7b..d111f6f 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -18,8 +18,9 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
+Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung gleich berechnet werden kann,
+weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
 aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
 Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
@@ -117,6 +118,8 @@ L_n^\nu(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
 \label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
+
+\subsection{Analytische Fortsetzung}
 Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
 Differentialgleichung mit der Form
 \begin{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200
Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion
 of gamma-func

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 22 +++++++++++-----------
 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index d111f6f..f1f0d00 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -118,6 +118,17 @@ L_n^\nu(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
 \label{laguerre:allg_polynom}
 \end{align}
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}}
+% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
+%     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
+% }
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
 Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
@@ -142,16 +153,5 @@ L_n(x) \ln(x)
 \end{align*}
 wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
 $\forall k \in \mathbb{N}$.
-Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
-Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
-    papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf%
-}
-\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
-\label{laguerre:fig:polyeval}
-\end{figure}
-
 % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
 % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
-- 
cgit v1.2.1


From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200
Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration
 SLP<->LP

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index f1f0d00..3e5d423 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -22,7 +22,7 @@ Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
 aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
-Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
 Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
 erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-- 
cgit v1.2.1


From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200
Subject: Add presentation

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 3 +++
 1 file changed, 3 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 3e5d423..e511f43 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -18,6 +18,9 @@ x \in \mathbb{R}
 .
 \label{laguerre:dgl}
 \end{align}
+Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
+zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
+aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-- 
cgit v1.2.1


From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200
Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for
 each image

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index e511f43..9ebc288 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -125,7 +125,7 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
 Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}}
+\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
 % \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
 %     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
 % }
-- 
cgit v1.2.1


From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200
Subject: First complete draft of Laguerre chapter

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 6 ++----
 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 9ebc288..42cd6f6 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -125,10 +125,8 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
 Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
-% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{%
-%     papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps%
-% }
+% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf}
 \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
 \label{laguerre:fig:polyeval}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200
Subject: Correct typos, improve grammar

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 14 ++++++++------
 1 file changed, 8 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 42cd6f6..4729a93 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 n \in \mathbb{N}_0
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
-.
 \label{laguerre:dgl}
+.
 \end{align}
 Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
-aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
 Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
 Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
 Potenzreihenansatz.
 Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
@@ -47,7 +47,7 @@ y''(x)
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+in die Differentialgleichung ein, erhält man
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form
 \Xi_n(x)
 =
 L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
 \end{align*}
-Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
 die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
 erhalten wir
 \begin{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200
Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more
 citations and references, small changes to plots

---
 buch/papers/laguerre/definition.tex | 86 ++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 61 insertions(+), 25 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 4729a93..e2062d2 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -3,51 +3,80 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Definition
-  \label{laguerre:section:definition}}
-\rhead{Definition}
-Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
+\section{Herleitung%
+% \section{Einleitung
+% \section{Definition
+\label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}%
+In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
+aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
+Zudem möchten wir die Lösung auch auf 
+die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen.
+
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
 \begin{align}
 x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
 =
 0
 , \quad
-n \in \mathbb{N}_0
+n \in \mathbb{N}
 , \quad
 x \in \mathbb{R}
 \label{laguerre:dgl}
 .
 \end{align}
-Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
+Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
 zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
 aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
 Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
-Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+
+{\subsection{Potenzreihenansatz}
+\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
+Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
 weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
 Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
-Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
-Potenzreihenansatz.
-Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
-erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
-Setzt man nun den Ansatz
+Wir stellen die Vermutung auf,
+dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im 
+Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
+der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
+Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
+% Da wir bereits wissen, 
+% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
 \begin{align*}
 y(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
-\\
+% \\
+.
+\end{align*}
+Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
+\begin{align*}
 y'(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
 =
 \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
 \\
 y''(x)
- & =
+& =
 \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+.
 \end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man
+
+\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in 
+\eqref{laguerre:dgl}
+%die Differentialgleichung 
+ein,
+% erhält man
+resultiert
 \begin{align*}
 \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
 +
@@ -64,16 +93,18 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 0.
 \end{align*}
 Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
-\begin{align*}
+\begin{align}
 a_{k+1}
  & =
 \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
-\end{align*}
+\label{laguerre:rekursion}
+\end{align}
 ableiten.
 Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
 $n$,
 denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
-Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich,
+Aus %der Rekursionsbeziehung 
+\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
 dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
 Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$
 \begin{align*}
@@ -114,7 +145,7 @@ L_n(x)
 \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
 \label{laguerre:polynom}
 \end{align}
-und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
 \begin{align}
 L_n^\nu(x)
 =
@@ -132,14 +163,19 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
 \end{figure}
 
 \subsection{Analytische Fortsetzung}
-Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der
-Differentialgleichung mit der Form
+Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung erhalten.
+Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
+die Form
 \begin{align*}
 \Xi_n(x)
 =
-L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
 .
 \end{align*}
+Eine Herleitung dazu lässt sich im
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} 
+im ersten Teil des Buches finden.
 Nach einigen aufwändigen Rechnungen, 
 % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
 die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
@@ -147,7 +183,7 @@ erhalten wir
 \begin{align*}
 \Xi_n
 =
-L_n(x) \ln(x)
+L_n(x) \log(x)
 +
 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
 (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
-- 
cgit v1.2.1

