From 403b8888ab0702f4d4cf4c7df24adc8c3fa45ab0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 7 Mar 2022 17:19:47 +0100 Subject: Start paper about Laguerre polynomials --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 48 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 48 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/laguerre/definition.tex (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..5f6d8bd --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% definition.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Definition +\label{laguerre:section:definition}} +\rhead{Definition} + +\begin{align} + x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + = + 0 + \label{laguerre:dgl} +\end{align} + +\begin{align} + L_n(x) + = + \sum_{k=0}^{n} + \frac{(-1)^k}{k!} + \begin{pmatrix} + n \\ + k + \end{pmatrix} + x^k + \label{laguerre:polynom} +\end{align} + +\begin{align} + x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x) + = + 0 + \label{laguerre:generell_dgl} +\end{align} + +\begin{align} + L_n^\alpha (x) + = + \sum_{k=0}^{n} + \frac{(-1)^k}{k!} + \begin{pmatrix} + n + \alpha \\ + n - k + \end{pmatrix} + x^k + \label{laguerre:polynom} +\end{align} -- cgit v1.2.1 From 670555039265d83945b0d3e205aefb020425585b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 6 Apr 2022 08:00:09 +0200 Subject: Start definition.tex --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 150 ++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 120 insertions(+), 30 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 5f6d8bd..84a26cf 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -6,43 +6,133 @@ \section{Definition \label{laguerre:section:definition}} \rhead{Definition} - +Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch \begin{align} - x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) - = - 0 - \label{laguerre:dgl} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) += +0 +, \quad +n \in \mathbb{N}_0 +, \quad +x \in \mathbb{R} +. +\label{laguerre:dgl} \end{align} - +Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} +verwenden wir einen Potenzreihenansatz. +Setzt man nun den Ansatz +\begin{align*} +y(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty a_k x^k +\\ +y'(x) +& = +\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} += +\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k +\\ +y''(x) +&= +\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} += +\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} +\end{align*} +in die Differentialgleichung ein, erhält man: +\begin{align*} +\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k ++ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k +- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k ++ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k +&= +0\\ +\sum_{k=0}^\infty +\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k +&= +0. +\end{align*} +Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung +\begin{align*} +a_{k+1} +&= +\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k +\end{align*} +ableiten. +Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$, +denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. +Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, +dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. +Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ +\begin{align*} +a_1 += +-\frac{n}{1^2} +,&& +a_2 += +\frac{(n-1)n}{1^2 2^2} +,&& +a_3 += +-\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2} +\end{align*} +und allgemein +\begin{align*} +k&\leq n: +& +a_k +&= +(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} += +\frac{(-1)^k}{k!} +\begin{pmatrix} +n +\\ +k +\end{pmatrix} +\\ +k&>n: +& +a_k +&= +0. +\end{align*} +Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten: \begin{align} - L_n(x) - = - \sum_{k=0}^{n} - \frac{(-1)^k}{k!} - \begin{pmatrix} - n \\ - k - \end{pmatrix} - x^k - \label{laguerre:polynom} +L_n(x) += +\sum_{k=0}^{n} +\frac{(-1)^k}{k!} +\begin{pmatrix} +n \\ +k +\end{pmatrix} +x^k +\label{laguerre:polynom} \end{align} +\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome +\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre} +} \begin{align} - x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x) - = - 0 - \label{laguerre:generell_dgl} +x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x) += +0 +\label{laguerre:generell_dgl} \end{align} \begin{align} - L_n^\alpha (x) - = - \sum_{k=0}^{n} - \frac{(-1)^k}{k!} - \begin{pmatrix} - n + \alpha \\ - n - k - \end{pmatrix} - x^k - \label{laguerre:polynom} +L_n^\alpha (x) += +\sum_{k=0}^{n} +\frac{(-1)^k}{k!} +\begin{pmatrix} +n + \alpha \\ +n - k +\end{pmatrix} +x^k +\label{laguerre:polynom} \end{align} + +% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf +% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf -- cgit v1.2.1 From b7ee1c1a6836f30d2267cfc9e6dbfa206b2cb737 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 12 May 2022 18:19:49 +0200 Subject: Derive Laguerre-Polynomials from Laguerre-ODE, proof orthogonality with Sturm-Liouville --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 160 ++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 88 insertions(+), 72 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 84a26cf..edd2b7b 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -4,11 +4,11 @@ % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % \section{Definition -\label{laguerre:section:definition}} + \label{laguerre:section:definition}} \rhead{Definition} -Die Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch +Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch \begin{align} -x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) +x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) = 0 , \quad @@ -18,22 +18,27 @@ x \in \mathbb{R} . \label{laguerre:dgl} \end{align} -Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} -verwenden wir einen Potenzreihenansatz. +Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, +weil die Lösung gleich berechnet werden kann, +aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. +Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen +Potenzreihenansatz. +Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, +erscheint dieser Ansatz sinnvoll. Setzt man nun den Ansatz \begin{align*} -y(x) -&= +y(x) + & = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \\ y'(x) -& = + & = \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k \\ y''(x) -&= + & = \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} @@ -41,98 +46,109 @@ y''(x) in die Differentialgleichung ein, erhält man: \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k -+ \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k -- \sum_{k=0}^\infty k a_k x^k -+ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k -&= -0\\ -\sum_{k=0}^\infty -\left[ (k+1) k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k -&= ++ +(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k +- +\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k ++ +n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k + & = +0 \\ +\sum_{k=1}^\infty +\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k + & = 0. \end{align*} Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung \begin{align*} a_{k+1} -&= -\frac{k-n}{(k+1) ^ 2} a_k + & = +\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k \end{align*} ableiten. -Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$, +Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad +$n$, denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. -Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, +Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. -Wählen wir nun $c_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ +Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ \begin{align*} -a_1 -= --\frac{n}{1^2} -,&& -a_2 -= -\frac{(n-1)n}{1^2 2^2} -,&& +a_1 += +-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)} +, & & +a_2 += +\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)} +, & & a_3 = --\frac{(n-2)(n-1)n}{1^2 2^2 3^2} +-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)} \end{align*} und allgemein \begin{align*} -k&\leq n: -& -a_k -&= -(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{(k!)^2} -= -\frac{(-1)^k}{k!} -\begin{pmatrix} -n -\\ k -\end{pmatrix} + & \leq +n: + & +a_k + & = +(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k} += +\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} \\ -k&>n: -& +k & >n: + & a_k -&= + & = 0. \end{align*} -Somit haben wir die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ erhalten: +Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome \begin{align} L_n(x) = -\sum_{k=0}^{n} -\frac{(-1)^k}{k!} -\begin{pmatrix} -n \\ -k -\end{pmatrix} -x^k +\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k \label{laguerre:polynom} \end{align} - -\subsection{Assoziierte Laguerre-Polynome -\label{laguerre:subsection:assoz_laguerre} -} +und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome \begin{align} -x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x) +L_n^\nu(x) = -0 -\label{laguerre:generell_dgl} +\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. +\label{laguerre:allg_polynom} \end{align} - -\begin{align} -L_n^\alpha (x) +Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der +Differentialgleichung mit der Form +\begin{align*} +\Xi_n(x) = -\sum_{k=0}^{n} -\frac{(-1)^k}{k!} -\begin{pmatrix} -n + \alpha \\ -n - k -\end{pmatrix} -x^k -\label{laguerre:polynom} -\end{align} +L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +\end{align*} +Nach einigen mühsamen Rechnungen, +die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, +erhalten wir +\begin{align*} +\Xi_n += +L_n(x) \ln(x) ++ +\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} +(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k ++ +(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k}, +\end{align*} +wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$, +$\forall k \in \mathbb{N}$. +Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.7\textwidth]{% + papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf% +} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\label{laguerre:fig:polyeval} +\end{figure} % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf -- cgit v1.2.1 From 155989e49b70a4598dbf3ff3277d9e320f226a83 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 13 May 2022 12:38:18 +0200 Subject: Add some information about Gauss Quadrature and application to Gamma integral --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 5 ++++- 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index edd2b7b..d111f6f 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -18,8 +18,9 @@ x \in \mathbb{R} . \label{laguerre:dgl} \end{align} +Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung gleich berechnet werden kann, +weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. @@ -117,6 +118,8 @@ L_n^\nu(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. \label{laguerre:allg_polynom} \end{align} + +\subsection{Analytische Fortsetzung} Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der Differentialgleichung mit der Form \begin{align*} -- cgit v1.2.1 From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200 Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion of gamma-func --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index d111f6f..f1f0d00 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -118,6 +118,17 @@ L_n^\nu(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. \label{laguerre:allg_polynom} \end{align} +Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in +Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. +\begin{figure} +\centering +\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}} +% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% +% papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% +% } +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\label{laguerre:fig:polyeval} +\end{figure} \subsection{Analytische Fortsetzung} Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der @@ -142,16 +153,5 @@ L_n(x) \ln(x) \end{align*} wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$, $\forall k \in \mathbb{N}$. -Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in -Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.7\textwidth]{% - papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pdf% -} -\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} -\label{laguerre:fig:polyeval} -\end{figure} - % https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf % http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf -- cgit v1.2.1 From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200 Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration SLP<->LP --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index f1f0d00..3e5d423 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. -Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen +Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, erscheint dieser Ansatz sinnvoll. -- cgit v1.2.1 From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200 Subject: Add presentation --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 3 +++ 1 file changed, 3 insertions(+) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 3e5d423..e511f43 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -18,6 +18,9 @@ x \in \mathbb{R} . \label{laguerre:dgl} \end{align} +Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung +zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, +aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -- cgit v1.2.1 From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200 Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for each image --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index e511f43..9ebc288 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -125,7 +125,7 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \begin{figure} \centering -\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.pgf}} +\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} % \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% % papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% % } -- cgit v1.2.1 From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200 Subject: First complete draft of Laguerre chapter --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 6 ++---- 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 9ebc288..42cd6f6 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -125,10 +125,8 @@ Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \begin{figure} \centering -\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} -% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{% -% papers/laguerre/images/laguerre_polynomes.eps% -% } +% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf} \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} \label{laguerre:fig:polyeval} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200 Subject: Correct typos, improve grammar --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 14 ++++++++------ 1 file changed, 8 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 42cd6f6..4729a93 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) n \in \mathbb{N}_0 , \quad x \in \mathbb{R} -. \label{laguerre:dgl} +. \end{align} Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, -aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt. +aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. +weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. +Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, @@ -47,7 +47,7 @@ y''(x) = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man: +in die Differentialgleichung ein, erhält man \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form \Xi_n(x) = L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +. \end{align*} -Nach einigen mühsamen Rechnungen, +Nach einigen aufwändigen Rechnungen, +% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, erhalten wir \begin{align*} -- cgit v1.2.1 From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200 Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more citations and references, small changes to plots --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 86 ++++++++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 61 insertions(+), 25 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/definition.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 4729a93..e2062d2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -3,51 +3,80 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Definition - \label{laguerre:section:definition}} -\rhead{Definition} -Die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch +\section{Herleitung% +% \section{Einleitung +% \section{Definition +\label{laguerre:section:definition}} +\rhead{Definition}% +In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome +aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten. +Zudem möchten wir die Lösung auch auf +die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten. +Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen. + +\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} +Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch \begin{align} x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) = 0 , \quad -n \in \mathbb{N}_0 +n \in \mathbb{N} , \quad x \in \mathbb{R} \label{laguerre:dgl} . \end{align} -Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung +Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. -Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, + +{\subsection{Potenzreihenansatz} +\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}} +Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. -Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen -Potenzreihenansatz. -Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, -erscheint dieser Ansatz sinnvoll. -Setzt man nun den Ansatz +Wir stellen die Vermutung auf, +dass die Lösungen orthogonale Polynome sind. +Die Orthogonalität der Lösung werden wir im +Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen. +Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund +der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz. +Der Potenzreihenansatz ist gegeben als +% Da wir bereits wissen, +% dass die Lösung orthogonale Polynome sind, +% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. \begin{align*} y(x) - & = +& = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k -\\ +% \\ +. +\end{align*} +Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir +\begin{align*} y'(x) - & = +& = \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k \\ y''(x) - & = +& = \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} +. \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man + +\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung} +Setzt man nun den Potenzreihenansatz in +\eqref{laguerre:dgl} +%die Differentialgleichung +ein, +% erhält man +resultiert \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -64,16 +93,18 @@ n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k 0. \end{align*} Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung -\begin{align*} +\begin{align} a_{k+1} & = \frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k -\end{align*} +\label{laguerre:rekursion} +\end{align} ableiten. Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad $n$, denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. -Aus der Rekursionsbeziehung ist zudem ersichtlich, +Aus %der Rekursionsbeziehung +\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich, dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ \begin{align*} @@ -114,7 +145,7 @@ L_n(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k \label{laguerre:polynom} \end{align} -und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome +und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome \begin{align} L_n^\nu(x) = @@ -132,14 +163,19 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt. \end{figure} \subsection{Analytische Fortsetzung} -Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der -Differentialgleichung mit der Form +Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der +Differentialgleichung erhalten. +Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung +die Form \begin{align*} \Xi_n(x) = -L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k . \end{align*} +Eine Herleitung dazu lässt sich im +Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +im ersten Teil des Buches finden. Nach einigen aufwändigen Rechnungen, % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, @@ -147,7 +183,7 @@ erhalten wir \begin{align*} \Xi_n = -L_n(x) \ln(x) +L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} (\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k -- cgit v1.2.1