From 155989e49b70a4598dbf3ff3277d9e320f226a83 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 13 May 2022 12:38:18 +0200
Subject: Add some information about Gauss Quadrature and application to Gamma
 integral

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 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 25 +++++++++++++++++++++++--
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index c589c92..b0cc3a3 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -5,9 +5,21 @@
 %
 \section{Eigenschaften
   \label{laguerre:section:eigenschaften}}
+{
+\large \color{red}
+TODO:
+Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
+benötigt wird.
+}
+
+Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
 \rhead{Eigenschaften}
 
-\subsection{Orthogonalität}
+\subsection{Orthogonalität
+  \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
 Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
 Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
 bei
@@ -95,4 +107,13 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
 Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion sind.
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion 
+$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+
+
+\subsection{Rodrigues-Formel}
+
+\subsection{Drei-Terme Rekursion}
+
+\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
+
-- 
cgit v1.2.1

