From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200 Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more citations and references, small changes to plots --- buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 129 ++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 101 insertions(+), 28 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 4adbe86..55d2276 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,32 +3,83 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Orthogonalität - \label{laguerre:section:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} +\subsection{Orthogonalität% +\label{laguerre:subsection:orthogonal}} +\rhead{Orthogonalität}% +Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz} haben wir die Behauptung aufgestellt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. -Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein -Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich -bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe -Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). -Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator +% +Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen, +bieten sich folgende Möglichkeiten an: +\begin{enumerate} +\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes +mit einem selbstadjungierten Operator. +Dafür muss aber zuerst bewiesen werden, +dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist. +Die Theorie dazu findet sich in den +Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und +\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}. +\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der +Sturm-Liouville-Differentialgleichung, +denn für dieses verallgemeinerte Problem +ist die Orthogonalität bereits bewiesen. +Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}. +\end{enumerate} + +% \subsubsection{Plan} +\subsubsection{Idee} +Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten +wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden. +% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl} +% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen. +Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung +in die richtige Form bringen, +sondern den Laguerre-Operator \begin{align} -S +\Lambda = -\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). -\label{laguerre:slop} +x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +\label{laguerre:lagop} +. \end{align} -und den Laguerre-Operator +Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt, +kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator \begin{align} -\Lambda +S = -x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). +\label{laguerre:slop} \end{align} -erhalten werden, -indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. -Aus der Beziehung +bewiesen werden. +Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen. + +% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein +% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich +% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe +% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). +% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator +% \begin{align} +% S +% = +% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). +% \label{laguerre:slop} +% \end{align} +% und den Laguerre-Operator +% \begin{align} +% \Lambda +% = +% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +% \end{align} +% erhalten werden, +% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. + +\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator} +% Aus der Beziehung von +Setzen wir nun +\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop} +einander gleich \begin{align} S & = @@ -75,11 +126,13 @@ x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} + = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}. \end{align*} -Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu -e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$. +Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, +dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$. Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an, deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den Definitionsbereich $(0, \infty)$. + +\subsubsection{Randbedingungen} Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen, \begin{align} k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0) @@ -93,10 +146,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty) \label{laguerre:sllag_randb} \end{align} mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind. -Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 = -0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden, +% +Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und +$h_0 = 1$ verwendet werden, was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben. -Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) + +Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb} \begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x) & = @@ -105,9 +160,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern: -Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ -mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$. -Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$ -mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$. + +% Somit können wir schlussfolgern: +\begin{satz} +Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$) +\eqref{laguerre:polynom} +% \begin{align*} +% L_n(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +% \end{align*} +sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$. +\end{satz} + +\begin{satz} +Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom} +% \begin{align*} +% L_n^\nu(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. +% \end{align*} +sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$. +\end{satz} -- cgit v1.2.1 From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200 Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP earlier --- buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 55d2276..6ba9135 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -90,6 +90,7 @@ S & = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx} \label{laguerre:sl-lag} +, \end{align} lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$. Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung @@ -133,7 +134,7 @@ deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den Definitionsbereich $(0, \infty)$. \subsubsection{Randbedingungen} -Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen, +Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen \begin{align} k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0) & = -- cgit v1.2.1 From 1666b63c2f4d5e8392c40ab6f6c8e9e71f20f4a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 28 Jul 2022 07:14:37 +0200 Subject: Resolve error in orthogonality proof --- buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 6ba9135..1411f7c 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -97,38 +97,38 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p +(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann \begin{align*} \int \frac{dp}{p} & = --\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx +\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx = --\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx +\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx \\ \log p & = --(\nu + 1)\log x - x + c +(\nu + 1)\log x - x + c \\ p(x) & = --C x^{\nu + 1} e^{-x} +C x^{\nu + 1} e^{-x} . \end{align*} Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} \frac{C}{w(x)} \left( -x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} + +-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} - (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx} \right) = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}. \end{align*} Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, -dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$. +dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$ mit $\nu \geq 0$. Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an, deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den Definitionsbereich $(0, \infty)$. -- cgit v1.2.1 From 8daaabab904020da2111d6bee3ce26db3b4b6df0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 28 Jul 2022 07:30:31 +0200 Subject: Redescribe why definition range of Laguerre is (0,\infty) --- buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 9 +++++---- 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 1411f7c..b007c2d 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -128,10 +128,11 @@ Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}. \end{align*} Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, -dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$ mit $\nu \geq 0$. -Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an, -deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den -Definitionsbereich $(0, \infty)$. +dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$. +Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an. +Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$, +daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den +Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet. \subsubsection{Randbedingungen} Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen -- cgit v1.2.1