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Date: Thu, 12 May 2022 18:19:49 +0200
Subject: Derive Laguerre-Polynomials from Laguerre-ODE, proof orthogonality
 with Sturm-Liouville

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 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 94 +++++++++++++++++++++++++++++++++-
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 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
 \section{Eigenschaften
-\label{laguerre:section:eigenschaften}}
-\rhead{Eigenschaften}
\ No newline at end of file
+  \label{laguerre:section:eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
+
+\subsection{Orthogonalität}
+Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
+Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+bei
+den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
+Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+\begin{align}
+S
+=
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+\label{laguerre:slop}
+\end{align}
+Aus der Beziehung
+\begin{align}
+S
+ & =
+\Lambda
+\nonumber
+\\
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right)
+ & =
+x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:sl-lag}
+\end{align}
+lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$.
+Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+x \frac{dp}{dx}
+=
+-(\nu + 1 - x) p,
+\end{align*}
+erfüllen muss.
+Durch Separation erhalten wir dann
+\begin{align*}
+\int \frac{dp}{p}
+ & =
+-\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+\\
+\log p
+ & =
+-\log \nu + 1 - x + C
+\\
+p(x)
+ & =
+-C x^{\nu + 1} e^{-x}
+\end{align*}
+Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir
+\begin{align*}
+\frac{C}{w(x)}
+\left(
+x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+(\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
+\right)
+=
+x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
+\end{align*}
+Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu
+e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
+deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$.
+Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen,
+\begin{align}
+k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
+ & =
+0
+\label{laguerre:sllag_randa}
+\\
+k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty)
+ & =
+0
+\label{laguerre:sllag_randb}
+\end{align}
+mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind.
+Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 =
+0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden,
+was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben.
+Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
+\begin{align*}
+\lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x)
+ & =
+\lim_{x \rightarrow \infty} -x^{\nu + 1} e^{-x} y'(x)
+=
+0
+\end{align*}
+für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
+Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion sind.
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