From 56cc6c1fbae271c16c78935384b52e047cdd6f27 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 19 May 2022 16:11:27 +0200
Subject: Error correction & add gamma integrand plot

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 11 +++++++++--
 1 file changed, 9 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index b0cc3a3..93d19a3 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -25,13 +25,20 @@ Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
 bei
 den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
 Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+Der Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
 S
 =
 \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
 \label{laguerre:slop}
 \end{align}
+und der Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\end{align}
+sind einander gleichzusetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -56,7 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+-\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
 \\
 \log p
  & =
-- 
cgit v1.2.1


From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200
Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion
 of gamma-func

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 42 ++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 22 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 93d19a3..77b2a2c 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,20 +3,22 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Eigenschaften
-  \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-benötigt wird.
-}
+% \section{Eigenschaften
+%   \label{laguerre:section:eigenschaften}}
+% {
+% \large \color{red}
+% TODO:
+% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
+% benötigt wird.
+% }
 
-Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-\rhead{Eigenschaften}
+% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
+% \rhead{Eigenschaften}
 
-\subsection{Orthogonalität
-  \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+% \subsection{Orthogonalität
+%   \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+\section{Orthogonalität
+  \label{laguerre:section:orthogonal}}
 Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
 dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
@@ -113,14 +115,14 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion 
-$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
+orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
+mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
+mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
 
+% \subsection{Rodrigues-Formel}
 
-\subsection{Rodrigues-Formel}
-
-\subsection{Drei-Terme Rekursion}
-
-\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
+% \subsection{Drei-Terme Rekursion}
 
+% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
-- 
cgit v1.2.1


From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200
Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration
 SLP<->LP

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 20 +++++++++++---------
 1 file changed, 11 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 77b2a2c..9b901ae 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -22,25 +22,25 @@
 Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
 dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
-Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
-Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
-bei
-den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
 Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator
+Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
 S
 =
 \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
 \label{laguerre:slop}
 \end{align}
-und der Laguerre-Operator
+und den Laguerre-Operator
 \begin{align}
 \Lambda
 =
 x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
 \end{align}
-sind einander gleichzusetzen.
+erhalten werden,
+in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -66,16 +66,18 @@ Durch Separation erhalten wir dann
 \int \frac{dp}{p}
  & =
 -\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+=
+-\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--\log \nu + 1 - x + C
+-(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
 -C x^{\nu + 1} e^{-x}
 \end{align*}
-Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir
+Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
-- 
cgit v1.2.1


From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200
Subject: Correct typos, improve grammar

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 37 +++++++++-------------------------
 1 file changed, 10 insertions(+), 27 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 9b901ae..4adbe86 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,24 +3,11 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-% \section{Eigenschaften
-%   \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-% {
-% \large \color{red}
-% TODO:
-% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-% benötigt wird.
-% }
-
-% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-% \rhead{Eigenschaften}
-
-% \subsection{Orthogonalität
-%   \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
 \section{Orthogonalität
   \label{laguerre:section:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
-dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} 
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
 Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
 Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
@@ -40,7 +27,7 @@ und den Laguerre-Operator
 x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
 \end{align}
 erhalten werden,
-in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -58,7 +45,7 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p,
+-(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
@@ -76,6 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
 p(x)
  & =
 -C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
 \end{align*}
 Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
@@ -117,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
-orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
-mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+Damit können wir schlussfolgern: 
+Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
+mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
 Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
 mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
-
-% \subsection{Rodrigues-Formel}
-
-% \subsection{Drei-Terme Rekursion}
-
-% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
-- 
cgit v1.2.1


From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200
Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more
 citations and references, small changes to plots

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 129 ++++++++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 101 insertions(+), 28 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 4adbe86..55d2276 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,32 +3,83 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Orthogonalität
-  \label{laguerre:section:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} 
+\subsection{Orthogonalität%
+\label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+\rhead{Orthogonalität}%
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}
 haben wir die Behauptung aufgestellt,
 dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
-Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
-Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
-bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
-Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+%
+Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen,
+bieten sich folgende Möglichkeiten an:
+\begin{enumerate}
+\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes
+mit einem selbstadjungierten Operator.
+Dafür muss aber zuerst bewiesen werden,
+dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist.
+Die Theorie dazu findet sich in den
+Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und
+\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}.
+\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der
+Sturm-Liouville-Differentialgleichung,
+denn für dieses verallgemeinerte Problem
+ist die Orthogonalität bereits bewiesen.
+Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}.
+\end{enumerate}
+
+% \subsubsection{Plan}
+\subsubsection{Idee}
+Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten
+wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden.
+% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl}
+% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen.
+Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung
+in die richtige Form bringen,
+sondern den Laguerre-Operator
 \begin{align}
-S
+\Lambda
 =
-\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
-\label{laguerre:slop}
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:lagop}
+.
 \end{align}
-und den Laguerre-Operator
+Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt,
+kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
-\Lambda
+S
 =
-x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+\label{laguerre:slop}
 \end{align}
-erhalten werden,
-indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
-Aus der Beziehung
+bewiesen werden.
+Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen.
+
+% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
+% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+% \begin{align}
+% S
+% =
+% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+% \label{laguerre:slop}
+% \end{align}
+% und den Laguerre-Operator
+% \begin{align}
+% \Lambda
+% =
+% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+% \end{align}
+% erhalten werden,
+% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+
+\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator}
+% Aus der Beziehung von
+Setzen wir nun 
+\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop}
+einander gleich
 \begin{align}
 S
  & =
@@ -75,11 +126,13 @@ x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
 =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
-Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu
-e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
+Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
 Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
 deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
 Definitionsbereich $(0, \infty)$.
+
+\subsubsection{Randbedingungen}
 Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen,
 \begin{align}
 k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
@@ -93,10 +146,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty)
 \label{laguerre:sllag_randb}
 \end{align}
 mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind.
-Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 =
-0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden,
+%
+Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und
+$h_0 = 1$ verwendet werden,
 was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben.
-Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
+
+Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb}
 \begin{align*}
 \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x)
  & =
@@ -105,9 +160,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern: 
-Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
-mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
-Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
-mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
+
+% Somit können wir schlussfolgern:
+\begin{satz}
+Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$)
+\eqref{laguerre:polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+% \end{align*}
+sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n^\nu(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+% \end{align*}
+sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes 
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$.
+\end{satz}
-- 
cgit v1.2.1


From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200
Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP
 earlier

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 3 ++-
 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 55d2276..6ba9135 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -90,6 +90,7 @@ S
  & =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}
 \label{laguerre:sl-lag}
+,
 \end{align}
 lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$.
 Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
@@ -133,7 +134,7 @@ deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
 Definitionsbereich $(0, \infty)$.
 
 \subsubsection{Randbedingungen}
-Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen,
+Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen
 \begin{align}
 k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
  & =
-- 
cgit v1.2.1


From 1666b63c2f4d5e8392c40ab6f6c8e9e71f20f4a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 07:14:37 +0200
Subject: Resolve error in orthogonality proof

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 6ba9135..1411f7c 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -97,38 +97,38 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p
+(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
 =
--\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--(\nu + 1)\log x - x + c
+(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
--C x^{\nu + 1} e^{-x}
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
 .
 \end{align*}
 Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
 (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
 \right)
 =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
 Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
-dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$ mit $\nu \geq 0$.
 Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
 deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
 Definitionsbereich $(0, \infty)$.
-- 
cgit v1.2.1


From 8daaabab904020da2111d6bee3ce26db3b4b6df0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 07:30:31 +0200
Subject: Redescribe why definition range of Laguerre is (0,\infty)

---
 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 9 +++++----
 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 1411f7c..b007c2d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -128,10 +128,11 @@ Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
 Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
-dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$ mit $\nu \geq 0$.
-Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
-deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
-Definitionsbereich $(0, \infty)$.
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an.
+Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$,
+daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet.
 
 \subsubsection{Randbedingungen}
 Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen
-- 
cgit v1.2.1

