From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200 Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion of gamma-func --- buch/papers/laguerre/gamma.tex | 21 ++++++++++++++++++--- 1 file changed, 18 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex index b15523b..59c0b81 100644 --- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -26,8 +26,10 @@ Integral der Form , \label{laguerre:gamma} \end{align} -welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur -berechnet zu werden. +Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und +der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. +Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die +Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht. \subsubsection{Funktionalgleichung} Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt @@ -39,6 +41,19 @@ Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten, geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden, um das gewünschte Resultat zu erhalten. +In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $t^z$ für +unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt. +Man erkennt, dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt, +was dazu führt, dass die Genauigkeit sich verschlechtert. +Die Genauigkeit verschlechtert sich aber auch zunehmends für grosse $z$, +da in diesem Fall der Integrand sehr schnell anwächst. +\begin{figure} +\centering +\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}} +\caption{Integrand $t^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\label{laguerre:fig:integrand} +\end{figure} + \subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} Fehlerterm: @@ -52,7 +67,7 @@ R_n Nun stellt sich die Frage, ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann, wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und -dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung. +dann mit der Funktionalgleichung zurückverschiebt. Dazu wollen wir den Fehlerterm in Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren. Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0