From 155989e49b70a4598dbf3ff3277d9e320f226a83 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 13 May 2022 12:38:18 +0200
Subject: Add some information about Gauss Quadrature and application to Gamma
 integral

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 76 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 76 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/laguerre/gamma.tex

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..e3838b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+%
+% gamma.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion
+  \label{laguerre:section:quad-gamma}}
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
+um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
+berechnen.
+Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
+Abschnitten sehen werden.
+
+\subsection{Gamma-Funktion}
+Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
+Zahlenmenge.
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
+Integral der Form
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
+,
+\quad
+\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
+,
+\label{laguerre:gamma}
+\end{align}
+welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
+berechnet zu werden.
+
+\subsubsection{Funktionalgleichung}
+Die Funktionalgleichung besagt
+\begin{align}
+z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
+\label{laguerre:gamma_funktional}
+\end{align}
+Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
+geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
+um das gewünschte Resultat zu erhalten.
+
+\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
+
+Fehlerterm:
+\begin{align*}
+R_n
+=
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+Nun stellt sich die Frage,
+ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
+wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
+dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung.
+Dazu wollen wir den Fehlerterm in
+Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
+Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
+Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$
+ist.
+Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt
+\begin{align*}
+R_n
+=
+\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+.
+\end{align*}
+
+{
+\large \color{red}
+TODO:
+Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
+bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
+}
+
+\subsection{Resultate}
-- 
cgit v1.2.1


From 56cc6c1fbae271c16c78935384b52e047cdd6f27 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 19 May 2022 16:11:27 +0200
Subject: Error correction & add gamma integrand plot

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index e3838b0..b15523b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -30,12 +30,12 @@ welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
 berechnet zu werden.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
-Die Funktionalgleichung besagt
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
 \begin{align}
 z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
 \label{laguerre:gamma_funktional}
 \end{align}
-Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
+Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
 geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
 um das gewünschte Resultat zu erhalten.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200
Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion
 of gamma-func

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 21 ++++++++++++++++++---
 1 file changed, 18 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index b15523b..59c0b81 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -26,8 +26,10 @@ Integral der Form
 ,
 \label{laguerre:gamma}
 \end{align}
-welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
-berechnet zu werden.
+Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
 Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
@@ -39,6 +41,19 @@ Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
 geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
 um das gewünschte Resultat zu erhalten.
 
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $t^z$ für
+unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
+Man erkennt, dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt,
+was dazu führt, dass die Genauigkeit sich verschlechtert.
+Die Genauigkeit verschlechtert sich aber auch zunehmends für grosse $z$,
+da in diesem Fall der Integrand sehr schnell anwächst.
+\begin{figure}
+\centering
+\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}}
+\caption{Integrand $t^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand}
+\end{figure}
+
 \subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
 
 Fehlerterm:
@@ -52,7 +67,7 @@ R_n
 Nun stellt sich die Frage,
 ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
 wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
-dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung.
+dann mit der Funktionalgleichung zurückverschiebt.
 Dazu wollen wir den Fehlerterm in
 Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
 Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
-- 
cgit v1.2.1


From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200
Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration
 SLP<->LP

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 294 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 264 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index 59c0b81..da2fa93 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Integral der Form
 \begin{align}
 \Gamma(z)
  & =
-\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
 ,
 \quad
 \text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
@@ -32,54 +32,290 @@ Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
 Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
-Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
+Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
+nämlich
 \begin{align}
-z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
+z \Gamma(z)
+=
+\Gamma(z+1)
+.
 \label{laguerre:gamma_funktional}
 \end{align}
-Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
-geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
-um das gewünschte Resultat zu erhalten.
 
-In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $t^z$ für
-unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
-Man erkennt, dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt,
-was dazu führt, dass die Genauigkeit sich verschlechtert.
-Die Genauigkeit verschlechtert sich aber auch zunehmends für grosse $z$,
-da in diesem Fall der Integrand sehr schnell anwächst.
+\subsubsection{Reflektionsformel}
+Die Reflektionsformel
+\begin{align}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+,\quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\label{laguerre:gamma_refform}
+\end{align}
+stellt eine Beziehung zwischen den zwei Punkten,
+die aus der Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re} z = 1/2$ hervorgehen,
+her.
+Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene
+leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
+
+\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
+In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
+dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet.
+Nun bieten sich uns zwei Optionen diese zu berechnen:
+\begin{enumerate}
+\item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$.
+\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$.
+\end{enumerate}
+Die erste Variante wäre optimal auf das Problem angepasst,
+allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$
+neu berechnet werden,
+da sie per Definition von $z$ abhängen.
+Dazu kommt,
+dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{Cassity1965AbcissasCA}
+\begin{align*}
+A_i
+=
+\frac{
+\Gamma(n) \Gamma(n+\nu)
+}
+{
+(n+\nu)
+\left[L_{n-1}^{\nu}(x_i)\right]^2
+}
+\end{align*}
+Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen.
+Somit scheint diese Methode nicht geeignet für unser Vorhaben.
+
+Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte
+und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
+In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
+dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
+Auch die Nullstellen können vorgängig,
+mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden.
+Als problematisch könnte sich höchstens
+die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
+Somit entscheiden wir uns auf Grund der vorherigen Punkte,
+die zweite Variante weiterzuverfolgen.
+
+\subsubsection{Naiver Ansatz}
+
 \begin{figure}
 \centering
-\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}}
-\caption{Integrand $t^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
-\label{laguerre:fig:integrand}
+\input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatzes
+für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\label{laguerre:fig:rel_error_simple}
 \end{figure}
 
-\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
-
-Fehlerterm:
+Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden,
+möchten wir als erstes eine Fehlerabschätzung durchführen.
+Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung
+der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt.
+Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
+\begin{align*}
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} f(\xi)
+ & =
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} \xi^{z-1}
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1}
+\end{align*}
+Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert
 \begin{align*}
 R_n
 =
 (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
+,
+\label{laguerre:gamma_err_simple}
 \end{align*}
+wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Interval $(0, \infty)$ ist
+und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms.
+Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus,
+da $R_n$ für $z < 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow 0$ eine Singularität aufweist
+und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert.
+Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$
+wäre eine Fehlerabschätzung plausibel.
+
+Wenden wir nun also naiv die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gammafunktion an.
+Dazu benötigen wir die Gewichte nach
+\eqref{laguerre:quadratur_gewichte}
+und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
+Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
+Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
+Man kann sehen,
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z < 2n$,
+was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist,
+denn die Approximation via Gauss-Quadratur
+ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $< 2n-1$.
+Es ist ersichtlich,
+dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
+in dem der relative Fehler minimal ist.
+Links steigt der relative Fehler besonders stark an,
+während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint.
+Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen,
+könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
+\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatz mit Spiegelung negativer Realwerte
+für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
+\end{figure}
+
+Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel,
+ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte,
+wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}.
+Die Spiegelung bringt nur für wenige Werte einen,
+für praktische Anwendungen geeigneten,
+relativen Fehler.
+Wie wir aber in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple} sehen konnten,
+gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a, a+1]$, $a \in \mathbb{Z}$,
+in welchem der relative Fehler minimal ist.
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma_funktional}
+könnte uns hier helfen,
+das Problem in den Griff zu bekommen.
+
+\subsubsection{Analyse des Integranden}
+Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben,
+scheint der Integrand problematisch.
+Darum möchten wir jetzt den Integranden analysieren,
+um ihn besser verstehen zu können
+und dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
+
+% Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen,
+% wieso der Integrand so problematisch ist.
+% Was das heisst sollte in Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} 
+% und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}
+\caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für
+unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
+Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion-
+Man erkennt,
+dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt
+und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an.
+Das heisst,
+die Ableitungen im Fehlerterm divergieren noch schneller
+und das wirkt sich negativ auf die Genauigkeit der Approximation aus.
+Somit lässt sich hier sagen,
+dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\input{papers/laguerre/images/integrands_exp.pgf}
+\caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand_exp}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir
+die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu
+und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z-1} e^{-x}$
+der Gamma-Funktion.
+Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten,
+wenn $x \rightarrow 0$.
+Um $1$ wächst der Term $x^z$ schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
+aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$.
+Das führt zu Glockenförmigen Kurven,
+die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
+Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
+Kleine positive $z$ scheinen nun also auch zulässig zu sein.
+Damit formulieren wir die Vermutung,
+dass $a$,
+welches das Intervall $[a,a+1]$ definiert,
+in dem der relative Fehler minimal ist,
+grösser als $0$ und abhängig von $n$ ist.
 
 \subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+% Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} 
+% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Interval $z \in [a,a+1]$,
+% in dem der relative Fehler minimal ist,
+% evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden.
 Nun stellt sich die Frage,
 ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
-wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
-dann mit der Funktionalgleichung zurückverschiebt.
-Dazu wollen wir den Fehlerterm in
-Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
-Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
-Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$
-ist.
-Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt
+wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a, a+1]$, 
+$a \in \mathbb{Z}$, 
+evaluiert und dann mit der 
+Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} zurückverschiebt.
+Aus Gründen der Übersichtlichkeit möchten wir das Problem nur für reele Zahlen
+formulieren.
+
+Die optimale Stelle $a \leq z^* \leq a+1$,
+mit $z^* \in \mathbb{R}$ wollen wir finden,
+in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen
+und in einem nächsten Schritt minimieren.
+Zudem nehmen wir an,
+dass $z < z^*$ ist.
+Wir fügen einen Verschiebungsterm um $m \in \mathbb{N}$ Stellen ein, 
+daraus folgt
 \begin{align*}
-R_n
+R_{n,m}(\xi)
 =
 \frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
-.
+,\quad
+\text{für }
+\xi \in (0, \infty)
+,
+\end{align*}
+wobei $z^* = z + m - 1$ ist.
+Das Optimierungsproblem daraus lässt sich als
+\begin{align*}
+\operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi)
 \end{align*}
+formulieren.
+Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt.
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontroller zu bringen,
+was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
+Da die Gauss-Quadratur aber sowieso nur wirklich Sinn macht für kleine $n$,
+können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
+
+
+\begin{align*}
+m^*
+=
+\lceil \alpha n + \beta + \lfloor z \rfloor - z \rceil - \lfloor z \rfloor
+\end{align*}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
+\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\label{laguerre:fig:targets}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+\centering
+\input{papers/laguerre/images/schaetzung.pgf}
+\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
+\label{laguerre:fig:schaetzung}
+\end{figure}
+% 2. Die Fehlerabschätzung ist problematisch, 
+% weil die Funktion R_n(\xi) unbeschränkt ist.
+% Daher kann man nicht einfach nach dem Maximum von R_n(\xi) suchen.
+% Man muss zunächst irgendwie das \xi unter Kontrolle bringen. 
+% Das scheint mir äusserst schwierig zu sein.
+
+% Ich möchte daher folgendes anregen: 
+% Im Sinne der Formulierung des Problems,
+% wie im Punkt 1 oben könnten Sie für verschiedene n
+% nach den optimalen Intervallen [a(n),a(n)+1] suchen,
+% und versuchen, einen empirischen Zusammenhang (Faustregel) 
+% zwischen n und a(n) zu formulieren.
+% Das ist etwa gleich gut,
+% da ja der Witz der Gauss-Integration ist,
+% dass man eben nur sehr kleine n überhaupt in Betracht zieht,
+% d.h. man braucht keine exakte Gesetzmässigkeit für a(n).
+
 
 {
 \large \color{red}
@@ -87,5 +323,3 @@ TODO:
 Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
 bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
 }
-
-\subsection{Resultate}
-- 
cgit v1.2.1


From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200
Subject: Add presentation

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index da2fa93..a04ec47 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -295,7 +295,7 @@ m^*
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/schaetzung.pgf}
+\input{papers/laguerre/images/estimate.pgf}
 \caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
 \label{laguerre:fig:schaetzung}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200
Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for
 each image

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 212 +++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 164 insertions(+), 48 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index a04ec47..a28c180 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -54,7 +54,7 @@ z \notin \mathbb{Z}
 \label{laguerre:gamma_refform}
 \end{align}
 stellt eine Beziehung zwischen den zwei Punkten,
-die aus der Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re} z = 1/2$ hervorgehen,
+die aus der Spiegelung an der Geraden $\real z = 1/2$ hervorgehen,
 her.
 Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene
 leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
@@ -99,10 +99,20 @@ Somit entscheiden wir uns auf Grund der vorherigen Punkte,
 die zweite Variante weiterzuverfolgen.
 
 \subsubsection{Naiver Ansatz}
+Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
+\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
+\eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i.
+\label{laguerre:naive_lag}
+\end{align}
 
 \begin{figure}
 \centering
 \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des naiven Ansatzes
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \label{laguerre:fig:rel_error_simple}
@@ -122,13 +132,13 @@ Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
 (z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1}
 \end{align*}
 Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert
-\begin{align*}
+\begin{align}
 R_n
 =
 (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
 ,
 \label{laguerre:gamma_err_simple}
-\end{align*}
+\end{align}
 wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Interval $(0, \infty)$ ist
 und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms.
 Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus,
@@ -159,6 +169,7 @@ könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen.
 \begin{figure}
 \centering
 \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
+\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des naiven Ansatz mit Spiegelung negativer Realwerte
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
@@ -171,7 +182,8 @@ Die Spiegelung bringt nur für wenige Werte einen,
 für praktische Anwendungen geeigneten,
 relativen Fehler.
 Wie wir aber in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple} sehen konnten,
-gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a, a+1]$, $a \in \mathbb{Z}$,
+gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a(n), a(n) + 1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
 in welchem der relative Fehler minimal ist.
 Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma_funktional}
 könnte uns hier helfen,
@@ -181,17 +193,17 @@ das Problem in den Griff zu bekommen.
 Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben,
 scheint der Integrand problematisch.
 Darum möchten wir jetzt den Integranden analysieren,
-um ihn besser verstehen zu können
-und dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
+um ihn besser verstehen zu können und
+dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
 
 % Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen,
 % wieso der Integrand so problematisch ist.
 % Was das heisst sollte in Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} 
 % und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden.
-
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}
+\input{papers/laguerre/images/integrand.pgf}
+\vspace{-12pt}
 \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \label{laguerre:fig:integrand}
 \end{figure}
@@ -211,7 +223,8 @@ dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/integrands_exp.pgf}
+\input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf}
+\vspace{-12pt}
 \caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \label{laguerre:fig:integrand_exp}
 \end{figure}
@@ -230,10 +243,10 @@ die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
 Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
 Kleine positive $z$ scheinen nun also auch zulässig zu sein.
 Damit formulieren wir die Vermutung,
-dass $a$,
-welches das Intervall $[a,a+1]$ definiert,
+dass $a(n)$,
+welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert,
 in dem der relative Fehler minimal ist,
-grösser als $0$ und abhängig von $n$ ist.
+grösser als $0$ ist.
 
 \subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
 % Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} 
@@ -242,63 +255,174 @@ grösser als $0$ und abhängig von $n$ ist.
 % evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden.
 Nun stellt sich die Frage,
 ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
-wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a, a+1]$, 
-$a \in \mathbb{Z}$, 
-evaluiert und dann mit der 
+wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a(n), a(n)+1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
+evaluiert und dann mit der
 Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} zurückverschiebt.
-Aus Gründen der Übersichtlichkeit möchten wir das Problem nur für reele Zahlen
-formulieren.
-
-Die optimale Stelle $a \leq z^* \leq a+1$,
-mit $z^* \in \mathbb{R}$ wollen wir finden,
-in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen
-und in einem nächsten Schritt minimieren.
-Zudem nehmen wir an,
-dass $z < z^*$ ist.
-Wir fügen einen Verschiebungsterm um $m \in \mathbb{N}$ Stellen ein, 
-daraus folgt
+Für dieses Vorhaben führen wir einen Verschiebungsterm $m \in \mathbb{Z}$ ein.
+Passen wir \eqref{laguerre:naive_lag}
+mit dem Verschiebungsterm $m$
+%,der $z$ and die Stelle $z_m = z + m$ verschiebt, 
+an,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+s(z, m) \sum_{i=1}^n x_i^{z + m - 1} A_i
+% &&
+% \text{mit }
+% s(z, m)
+% =
+% \begin{cases}
+% \displaystyle
+% \frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0\\
+% (z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0
+% \end{cases}
+% .
+\label{laguerre:shifted_lag}
+\end{align}
+mit
 \begin{align*}
+s(z, m)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\
+(z + m)_{-m}        & \text{wenn } m < 0
+\end{cases}
+.
+\end{align*}
+
+Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$,
+$z^*(n) \in \mathbb{R}$,
+zu finden,
+erweitern wir denn Fehlerterm \eqref{laguerre:gamma_err_simple}
+und erhalten
+\begin{align}
 R_{n,m}(\xi)
 =
-\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
 ,\quad
 \text{für }
 \xi \in (0, \infty)
-,
-\end{align*}
-wobei $z^* = z + m - 1$ ist.
-Das Optimierungsproblem daraus lässt sich als
+.
+\label{laguerre:gamma_err_shifted}
+\end{align}
+% wobei  ist
+% mit $z^*(n) \in \mathbb{R}$ wollen wir finden,
+% in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen
+% und in einem nächsten Schritt minimieren.
+% Zudem nehmen wir an,
+% dass $z < z^*(n)$ ist.
+% Wir fügen einen Verschiebungsterm um $m \in \mathbb{N}$ Stellen ein,
+% daraus folgt
+%
+% Damit wir den idealen Verschiebungsterm $m^*$ finden können,
+% müssen wir mittels des Fehlerterms \eqref{laguerre:gamma_err_shifted}
+% ein Optimierungsproblem
+%
+% Das Optimierungsproblem daraus lässt sich als
+Daraus formulieren wir das Optimierungproblem
 \begin{align*}
+m^*
+=
 \operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi)
+.
 \end{align*}
-formulieren.
 Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt.
-Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontroller zu bringen,
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen,
 was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
 Da die Gauss-Quadratur aber sowieso nur wirklich Sinn macht für kleine $n$,
 können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
 
+\begin{figure}
+\centering
+% \includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
+\input{papers/laguerre/images/targets.pgf}
+\vspace{-12pt}
+\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\label{laguerre:fig:targets}
+\end{figure}
 
+Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch
+für $n = 2,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
+da $z$ sowieso um den Term $m$ verschoben wird,
+reicht die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$
+abhängig von $z$ und $n$ dargestellt.
+In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und
+die Beziehung zu $z$ ist negativ,
+d.h. wenn $z$ grösser ist, wird $m^*$ kleiner.
+Allerdings ist die genaue Beziehung zu $z$
+aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
+aber sie scheint regelmässig zu sein.
+Es lässt die Vermutung aufkommen,
+dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
+Wir versuchen dieses Problem via lineare Regression und
+geeignete Rundung zu beheben.
+Den linearen Regressor
+\begin{align*}
+\hat{m}
+=
+\alpha n + \beta
+\end{align*}
+machen wir nur abhängig von $n$
+in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
+der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
+0.854093$.
+Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
+Der optimalen Verschiebungsterm
 \begin{align*}
 m^*
+\approx
+\lceil \hat{m} - z \rceil
 =
-\lceil \alpha n + \beta + \lfloor z \rfloor - z \rceil - \lfloor z \rfloor
+\lceil \alpha n + \beta - z \rceil
 \end{align*}
+kann nun mit dem linearen Regressor und $z$ gefunden werden.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
-\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
-\label{laguerre:fig:targets}
+\input{papers/laguerre/images/estimates.pgf}
+\vspace{-12pt}
+\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
+\label{laguerre:fig:schaetzung}
 \end{figure}
 
+\subsection{Resultate}
+
+\subsubsection{Relativer Fehler}
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/estimate.pgf}
-\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
-\label{laguerre:fig:schaetzung}
+\input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf}
+\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
+für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
+Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm}
+\label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
 \end{figure}
+  
+\begin{figure}
+\centering
+\input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf}
+\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm
+für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\label{laguerre:fig:rel_error_range}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+{\color{red}
+$ $\newline
+$n = 7$:\newline
+Lanczos Polynomgrad auf 13 Stellen.\newline
+Unsere Methode auf 7 Stellen
+}
+
 % 2. Die Fehlerabschätzung ist problematisch, 
 % weil die Funktion R_n(\xi) unbeschränkt ist.
 % Daher kann man nicht einfach nach dem Maximum von R_n(\xi) suchen.
@@ -315,11 +439,3 @@ m^*
 % da ja der Witz der Gauss-Integration ist,
 % dass man eben nur sehr kleine n überhaupt in Betracht zieht,
 % d.h. man braucht keine exakte Gesetzmässigkeit für a(n).
-
-
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
-bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
-}
-- 
cgit v1.2.1


From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200
Subject: First complete draft of Laguerre chapter

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 242 +++++++++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 163 insertions(+), 79 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index a28c180..eb64fa2 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -23,8 +23,8 @@ Integral der Form
 ,
 \quad
 \text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
-,
 \label{laguerre:gamma}
+.
 \end{align}
 Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
 der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
@@ -72,7 +72,7 @@ allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$
 neu berechnet werden,
 da sie per Definition von $z$ abhängen.
 Dazu kommt,
-dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{Cassity1965AbcissasCA}
+dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach \cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA}
 \begin{align*}
 A_i
 =
@@ -85,7 +85,7 @@ A_i
 }
 \end{align*}
 Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen.
-Somit scheint diese Methode nicht geeignet für unser Vorhaben.
+Somit ist diese Methode eindeutig nicht geeignet für unser Vorhaben.
 
 Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte
 und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
@@ -95,10 +95,10 @@ Auch die Nullstellen können vorgängig,
 mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden.
 Als problematisch könnte sich höchstens
 die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
-Somit entscheiden wir uns auf Grund der vorherigen Punkte,
+Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
 die zweite Variante weiterzuverfolgen.
 
-\subsubsection{Naiver Ansatz}
+\subsubsection{Direkter Ansatz}
 Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
 \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
 \eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich
@@ -111,15 +111,16 @@ Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
-\vspace{-12pt}
-\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatzes
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \label{laguerre:fig:rel_error_simple}
 \end{figure}
 
 Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden,
-möchten wir als erstes eine Fehlerabschätzung durchführen.
+möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen.
 Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung
 der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt.
 Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
@@ -130,6 +131,7 @@ Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
 \\
  & =
 (z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1}
+.
 \end{align*}
 Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert
 \begin{align}
@@ -147,17 +149,19 @@ und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert.
 Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$
 wäre eine Fehlerabschätzung plausibel.
 
-Wenden wir nun also naiv die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gammafunktion an.
+Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion
+an.
 Dazu benötigen wir die Gewichte nach
 \eqref{laguerre:quadratur_gewichte}
 und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
 Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
 Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
 Man kann sehen,
-wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z < 2n$,
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$,
 was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist,
 denn die Approximation via Gauss-Quadratur
-ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $< 2n-1$.
+ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
+und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
 Es ist ersichtlich,
 dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
 in dem der relative Fehler minimal ist.
@@ -168,9 +172,10 @@ könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion ausnutzen.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
-\vspace{-12pt}
-\caption{Relativer Fehler des naiven Ansatz mit Spiegelung negativer Realwerte
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
 \end{figure}
@@ -202,8 +207,9 @@ dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
 % und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden.
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/integrand.pgf}
-\vspace{-12pt}
+% \input{papers/laguerre/images/integrand.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand.pdf}
+%\vspace{-12pt}
 \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \label{laguerre:fig:integrand}
 \end{figure}
@@ -211,7 +217,7 @@ dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für
 unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
 Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$
-der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion-
+der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion.
 Man erkennt,
 dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt
 und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an.
@@ -223,8 +229,9 @@ dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf}
-\vspace{-12pt}
+% \input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf}
+%\vspace{-12pt}
 \caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \label{laguerre:fig:integrand_exp}
 \end{figure}
@@ -246,9 +253,9 @@ Damit formulieren wir die Vermutung,
 dass $a(n)$,
 welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert,
 in dem der relative Fehler minimal ist,
-grösser als $0$ ist.
+grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist.
 
-\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+\subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm}
 % Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} 
 % kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Interval $z \in [a,a+1]$,
 % in dem der relative Fehler minimal ist,
@@ -287,12 +294,13 @@ s(z, m)
 =
 \begin{cases}
 \displaystyle
-\frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\
-(z + m)_{-m}        & \text{wenn } m < 0
+\frac{1}{(z)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\
+(z + m)_{-m}    & \text{wenn } m < 0
 \end{cases}
 .
 \end{align*}
 
+\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
 Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$,
 $z^*(n) \in \mathbb{R}$,
 zu finden,
@@ -305,9 +313,17 @@ s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
 ,\quad
 \text{für }
 \xi \in (0, \infty)
-.
 \label{laguerre:gamma_err_shifted}
+.
 \end{align}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
+% %\vspace{-12pt}
+\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\label{laguerre:fig:targets}
+\end{figure}
 % wobei  ist
 % mit $z^*(n) \in \mathbb{R}$ wollen wir finden,
 % in dem wir den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} anpassen
@@ -329,21 +345,14 @@ m^*
 \operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi)
 .
 \end{align*}
-Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt.
+Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
+hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
 Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen,
 was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
-Da die Gauss-Quadratur aber sowieso nur wirklich Sinn macht für kleine $n$,
+Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
+nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
 können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
 
-\begin{figure}
-\centering
-% \includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
-\input{papers/laguerre/images/targets.pgf}
-\vspace{-12pt}
-\caption{$a$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
-\label{laguerre:fig:targets}
-\end{figure}
-
 Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch
 für $n = 2,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
 da $z$ sowieso um den Term $m$ verschoben wird,
@@ -369,11 +378,20 @@ Den linearen Regressor
 machen wir nur abhängig von $n$
 in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/estimates.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/estimates.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
+\label{laguerre:fig:schaetzung}
+\end{figure}
+
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
 der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
 0.854093$.
 Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
-Der optimalen Verschiebungsterm
+Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit
 \begin{align*}
 m^*
 \approx
@@ -381,61 +399,127 @@ m^*
 =
 \lceil \alpha n + \beta - z \rceil
 \end{align*}
-kann nun mit dem linearen Regressor und $z$ gefunden werden.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\input{papers/laguerre/images/estimates.pgf}
-\vspace{-12pt}
-\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
-\label{laguerre:fig:schaetzung}
-\end{figure}
-
-\subsection{Resultate}
-
-\subsubsection{Relativer Fehler}
+% kann nun mit dem linearen Regressor und $z$
+gefunden werden.
 
+\subsubsection{Evaluation des Schätzers}
+In einem ersten Schritt möchten wir analysieren,
+wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist.
+Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$
+rund um $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$.
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler
+der Approximation dargestellt.
+Man kann deutlich sehen,
+dass der relative Fehler anwächst,
+je weiter der Verschiebungsterm vom idealen Wert abweicht.
+Zudem scheint der Schätzer den optimalen Verschiebungsterm gut zu bestimmen,
+da der Schätzer zuerst der grünen Linie folgt und
+dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf}
-\vspace{-12pt}
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf}
+%\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
 Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
 $m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm}
 \label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
 \end{figure}
-  
+
+\subsubsection{Resultate}
+Das Verfahren scheint für den Grad $n=8$ und $z \in (0,1)$ gut zu funktioneren.
+Es stellt sich nun die Frage,
+wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
+unterschiedliche $n$ dargestellt.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen,
+bei für ganzzahlige $z$.
+Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
+wie zu erwarten war,
+ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
+Zudem lässt sich erkennen,
+dass der Fehler abhängig von der Ordnung $n$
+des verwendeten Laguerre-Polynoms ist.
+Wenn der Grad $n$ um $1$ erhöht wird,
+verbessert sich die Genauigkeit des Resultats um etwa eine signifikante Stelle.
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_complex}
+ist der Betrag des relativen Fehlers in der komplexen Ebene dargestellt.
+Je stärker der Imaginäranteil von $z$ von $0$ abweicht,
+umso schlechter wird die Genauigkeit der Approximation.
+Das erstaunt nicht weiter,
+da die Gauss-Quadratur eigentlich nur für reelle Zahlen definiert ist.
+Wenn der Imaginäranteil von $z$ ungefähr $0$ ist,
+lässt sich das gleiche Bild beobachten wie in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}.
+
 \begin{figure}
 \centering
-\input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf}
-\vspace{-12pt}
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf}
+%\vspace{-12pt}
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm
-für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+für verschiedene reele Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$}
 \label{laguerre:fig:rel_error_range}
 \end{figure}
 
-\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode}
-{\color{red}
-$ $\newline
-$n = 7$:\newline
-Lanczos Polynomgrad auf 13 Stellen.\newline
-Unsere Methode auf 7 Stellen
-}
-
-% 2. Die Fehlerabschätzung ist problematisch, 
-% weil die Funktion R_n(\xi) unbeschränkt ist.
-% Daher kann man nicht einfach nach dem Maximum von R_n(\xi) suchen.
-% Man muss zunächst irgendwie das \xi unter Kontrolle bringen. 
-% Das scheint mir äusserst schwierig zu sein.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Absolutwert des relativen Fehlers in der komplexen Ebene}
+\label{laguerre:fig:rel_error_complex}
+\end{figure}
 
-% Ich möchte daher folgendes anregen: 
-% Im Sinne der Formulierung des Problems,
-% wie im Punkt 1 oben könnten Sie für verschiedene n
-% nach den optimalen Intervallen [a(n),a(n)+1] suchen,
-% und versuchen, einen empirischen Zusammenhang (Faustregel) 
-% zwischen n und a(n) zu formulieren.
-% Das ist etwa gleich gut,
-% da ja der Witz der Gauss-Integration ist,
-% dass man eben nur sehr kleine n überhaupt in Betracht zieht,
-% d.h. man braucht keine exakte Gesetzmässigkeit für a(n).
+\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Nun stellt sich die Frage,
+wie das in diesem Abschnitt beschriebene Approximationsverfahren
+der Gamma-Funktion sich gegenüber den üblichen Approximationsverfahren schlägt.
+Eine häufig verwendete Methode ist die Lanczos-Approximation,
+welche gegeben ist durch
+\begin{align}
+\Gamma(z + 1)
+\approx
+\sqrt{2\pi} \left( z + \sigma + \frac{1}{2} \right)^{z + 1/2}
+e^{-(z + \sigma + 1/2)} \sum_{k=0}^n g_k H_k(z)
+,
+\end{align}
+wobei
+\begin{align*}
+g_k = \frac{e^\sigma \varepsilon_k (-1)^k}{\sqrt{2\pi}}
+\sum_{r=0}^k (-1)^r \, \binom{k}{r} \, (k)_r
+\left( \frac{e}{r + \sigma + \frac{1}{2}}\right)^{r + 1/2}
+,
+\end{align*}
+\begin{align*}
+\varepsilon_k
+=
+\begin{cases}
+1 & \text{für } k = 0 \\
+2 & \text{sonst}
+\end{cases}
+\quad \text{und}\quad
+H_k(z)
+=
+\frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k}
+\end{align*}
+mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}).
+Diese Methode wurde zum Beispiel in 
+{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und 
+{\em musl} implementiert.
+Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$
+korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente.
+Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ 
+eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen 
+für reele Argumente.
+Das Resultat ist etwas enttäuschend,
+aber nicht unerwartet,
+da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und 
+unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
+Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
+ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
+weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen, 
+wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
+Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+und/oder knappen Energieressourcen finden.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From f0ff46df0f4c212b44cbed4c01ad357c75f0bdbb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 07:40:48 +0200
Subject: Fix typos in gamma.tex and quadratur.tex

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index eb64fa2..b76daeb 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -245,7 +245,7 @@ Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten,
 wenn $x \rightarrow 0$.
 Um $1$ wächst der Term $x^z$ schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
 aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$.
-Das führt zu Glockenförmigen Kurven,
+Das führt zu glockenförmigen Kurven,
 die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
 Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
 Kleine positive $z$ scheinen nun also auch zulässig zu sein.
-- 
cgit v1.2.1


From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200
Subject: Correct typos, improve grammar

---
 buch/papers/laguerre/gamma.tex | 55 ++++++++++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 31 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/gamma.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index b76daeb..2e5fc06 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -8,8 +8,8 @@
 Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
 um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
 berechnen.
-Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
-Abschnitten sehen werden.
+Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion hervorragend an,
+wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
 
 \subsection{Gamma-Funktion}
 Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
@@ -26,10 +26,12 @@ Integral der Form
 \label{laguerre:gamma}
 .
 \end{align}
-Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
-der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
-Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
-Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
+Der Term $e^{-t}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen 
+genau die Bedingungen der Laguerre-Integration.
+% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ exakt dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
 Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
@@ -62,7 +64,8 @@ leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
 \subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
 In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
 dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet.
-Nun bieten sich uns zwei Optionen diese zu berechnen:
+Nun bieten sich uns zwei Optionen,
+diese zu berechnen:
 \begin{enumerate}
 \item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$.
 \item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$.
@@ -92,7 +95,8 @@ und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
 In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
 dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
 Auch die Nullstellen können vorgängig,
-mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden.
+mittels eines geeigneten Verfahrens,
+aus den Polynomen bestimmt werden.
 Als problematisch könnte sich höchstens
 die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
 Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
@@ -101,7 +105,8 @@ die zweite Variante weiterzuverfolgen.
 \subsubsection{Direkter Ansatz}
 Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
 \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
-\eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich
+\eqref{laguerre:gamma} an,
+ergibt sich
 \begin{align}
 \Gamma(z)
 \approx
@@ -157,11 +162,12 @@ und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
 Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
 Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
 Man kann sehen,
-wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$,
-was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist,
-denn die Approximation via Gauss-Quadratur
-ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
-und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten,
+da die Approximation via Gauss-Quadratur
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
+und hinzukommt,
+dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
 Es ist ersichtlich,
 dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
 in dem der relative Fehler minimal ist.
@@ -347,7 +353,8 @@ m^*
 \end{align*}
 Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
 hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
-Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen,
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen,
+unter Kontrolle zu bringen,
 was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
 Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
 nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
@@ -367,8 +374,8 @@ aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
 aber sie scheint regelmässig zu sein.
 Es lässt die Vermutung aufkommen,
 dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
-Wir versuchen dieses Problem via lineare Regression und
-geeignete Rundung zu beheben.
+Wir versuchen,
+dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben.
 Den linearen Regressor
 \begin{align*}
 \hat{m}
@@ -391,7 +398,7 @@ In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
 der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
 0.854093$.
 Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
-Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit
+Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
 \begin{align*}
 m^*
 \approx
@@ -423,7 +430,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
 \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
 für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
 Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
-$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm}
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
 \label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
 \end{figure}
 
@@ -433,8 +440,8 @@ Es stellt sich nun die Frage,
 wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
 In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
 unterschiedliche $n$ dargestellt.
-Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen,
-bei für ganzzahlige $z$.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen
+für ganzzahlige $z$.
 Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
 wie zu erwarten war,
 ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
@@ -511,7 +518,7 @@ Diese Methode wurde zum Beispiel in
 Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$
 korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente.
 Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ 
-eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen 
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen 
 für reele Argumente.
 Das Resultat ist etwas enttäuschend,
 aber nicht unerwartet,
@@ -519,7 +526,7 @@ da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
 unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
 Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
 ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
-weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen, 
+weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen, 
 wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
-Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
 und/oder knappen Energieressourcen finden.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1

