From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200
Subject: Add presentation

---
 .../presentation/sections/gamma_approx.tex         | 176 +++++++++++++++++++++
 1 file changed, 176 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex

(limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
new file mode 100644
index 0000000..f5f889e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+\section{Approximieren der Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}
+
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+=
+\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+\\\\
+ & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
+\begin{align*}
+R_n(\xi)
+ & =
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+
+% \textbf{Probleme:}
+\begin{itemize}
+\item Funktion ist unbeschränkt
+\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
+\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Einfacher Ansatz}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte
+von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\end{figure}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}
+
+\textbf{Beobachtungen}
+\begin{itemize}
+\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
+\item Gewisse Periodizität zu erkennen
+\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
+\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
+\item $a$ ist abhängig von $n$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Ursache?}
+\begin{itemize}
+\item Vermutung: Integrand ist problematisch
+}
+\uncover<3->{
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden
+}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Neuer Ansatz?}
+
+\textbf{Vermutung}
+\begin{itemize}
+\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal
+ist
+\item $a(n) > 0$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}
+\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
+mit Funktionalgleichung zurückverschieben
+\end{itemize}
+}
+
+\uncover<3->{
+\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
+\begin{itemize}
+\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
+}
+\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
+\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
+da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Verschiebungsterm}
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+\approx
+\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\end{align*}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf}
+\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.6\textwidth}
+\begin{figure}
+\centering
+\vspace{-24pt}
+\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.39\textwidth}
+\begin{align*}
+m^*
+=
+\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Maximaler relativer Fehler für $n=6$
+\begin{itemize}
+    \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
+    \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ 
+\end{itemize}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 15:53:49 +0200
Subject: Correct typos in presentation

---
 .../presentation/sections/gamma_approx.tex         | 23 +++++++++++++++++-----
 1 file changed, 18 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index f5f889e..2e4e4e2 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -6,14 +6,20 @@
 \Gamma(z)
  & =
 \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\uncover<2->{
 \approx
 \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+}
+\uncover<3->{
 =
 \sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+}
 \\\\
+\uncover<4->{
  & \text{wobei }
 A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 \text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+}
 \end{align*}
 
 \end{frame}
@@ -66,7 +72,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \item Vermutung: Integrand ist problematisch
 }
 \uncover<3->{
-\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
 }
 \end{itemize}
 \end{frame}
@@ -110,7 +116,7 @@ mit Funktionalgleichung zurückverschieben
 \item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
 }
 \uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
-\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
 \uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
 da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \end{itemize}
@@ -120,13 +126,13 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \begin{align*}
 \Gamma(z)
 \approx
-\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
 \end{align*}
 
 \begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf}
-\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
 \end{figure}
 \end{frame}
 
@@ -142,8 +148,15 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \end{column}
 \begin{column}{0.39\textwidth}
 \begin{align*}
+\hat{m}
+&=
+\alpha n + \beta
+\\
+&\approx
+1.34093 n + 0.854093
+\\
 m^*
-=
+&=
 \lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
 \end{align*}
 \end{column}
-- 
cgit v1.2.1


From 8fb46098cb8e42a94b8e01ecc809f536d5c7efaf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 3 Jun 2022 07:23:21 +0200
Subject: Minor tweaks of presentation

---
 .../laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex  | 20 +++++++++++++-------
 1 file changed, 13 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index 2e4e4e2..4073b3c 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -48,7 +48,8 @@ R_n(\xi)
 
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
 \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte
 von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \end{figure}
@@ -123,17 +124,22 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Verschiebungsterm}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.625\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.375\textwidth}
 \begin{align*}
 \Gamma(z)
 \approx
 \frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
 \end{align*}
-
-\begin{figure}[h]
-\centering
-\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf}
-\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
-\end{figure}
+\end{column}
+\end{columns}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
-- 
cgit v1.2.1


From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200
Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for
 each image

---
 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index 4073b3c..3d32aae 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -81,7 +81,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \begin{frame}{$f(x) = x^z$}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}}
+\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{frame}
@@ -89,7 +89,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}}
+\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{frame}
@@ -98,7 +98,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 
 \textbf{Vermutung}
 \begin{itemize}
-\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal
+\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
 ist
 \item $a(n) > 0$
 \end{itemize}
@@ -148,7 +148,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 \begin{figure}
 \centering
 \vspace{-24pt}
-\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}}
+\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{column}
-- 
cgit v1.2.1


From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200
Subject: First complete draft of Laguerre chapter

---
 .../presentation/sections/gamma_approx.tex         | 24 ++++++++++++++--------
 1 file changed, 15 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index 3d32aae..ecd02ab 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -49,7 +49,8 @@ R_n(\xi)
 \begin{figure}[h]
 \centering
 % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
-\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
 \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte
 von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \end{figure}
@@ -81,7 +82,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \begin{frame}{$f(x) = x^z$}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{frame}
@@ -89,7 +91,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
 \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{frame}
@@ -144,15 +147,16 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
 
 \begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
 \begin{columns}
-\begin{column}{0.6\textwidth}
+\begin{column}{0.65\textwidth}
 \begin{figure}
 \centering
-\vspace{-24pt}
-\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
+\vspace{-12pt}
+% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
+\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
 % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
 \end{figure}
 \end{column}
-\begin{column}{0.39\textwidth}
+\begin{column}{0.34\textwidth}
 \begin{align*}
 \hat{m}
 &=
@@ -173,7 +177,8 @@ m^*
 \begin{frame}{}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
 \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
 \end{figure}
 \end{frame}
@@ -181,7 +186,8 @@ m^*
 \begin{frame}{}
 \begin{figure}[h]
 \centering
-\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
 \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
 \end{figure}
 \end{frame}
-- 
cgit v1.2.1

