From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200 Subject: Add presentation --- .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 176 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 176 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex new file mode 100644 index 0000000..f5f889e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -0,0 +1,176 @@ +\section{Approximieren der Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$} + +\begin{align*} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\approx +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i += +\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +\\\\ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehlerabschätzung} +\begin{align*} +R_n(\xi) + & = +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +\\ + & = +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1} +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} + +% \textbf{Probleme:} +\begin{itemize} +\item Funktion ist unbeschränkt +\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an +\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Einfacher Ansatz} + +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte +von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +\end{figure} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?} + +\textbf{Beobachtungen} +\begin{itemize} +\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$ +\item Gewisse Periodizität zu erkennen +\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler +\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler +\item $a$ ist abhängig von $n$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Ursache?} +\begin{itemize} +\item Vermutung: Integrand ist problematisch +} +\uncover<3->{ +\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden +} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{$f(x) = x^z$} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Neuer Ansatz?} + +\textbf{Vermutung} +\begin{itemize} +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal +ist +\item $a(n) > 0$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Idee} +\begin{itemize} +\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann +mit Funktionalgleichung zurückverschieben +\end{itemize} +} + +\uncover<3->{ +\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?} +\begin{itemize} +\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm +} +\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} +\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, +da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{align*} +\Gamma(z) +\approx +\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\end{align*} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Schätzen von $m^*$} +\begin{columns} +\begin{column}{0.6\textwidth} +\begin{figure} +\centering +\vspace{-24pt} +\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.39\textwidth} +\begin{align*} +m^* += +\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Maximaler relativer Fehler für $n=6$ +\begin{itemize} + \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$ + \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ +\end{itemize} +\end{frame} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:53:49 +0200 Subject: Correct typos in presentation --- .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 23 +++++++++++++++++----- 1 file changed, 18 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index f5f889e..2e4e4e2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -6,14 +6,20 @@ \Gamma(z) & = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\uncover<2->{ \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +} +\uncover<3->{ = \sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +} \\\\ +\uncover<4->{ & \text{wobei } A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} \text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +} \end{align*} \end{frame} @@ -66,7 +72,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \item Vermutung: Integrand ist problematisch } \uncover<3->{ -\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden +\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden } \end{itemize} \end{frame} @@ -110,7 +116,7 @@ mit Funktionalgleichung zurückverschieben \item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm } \uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} -\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen} \uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{itemize} @@ -120,13 +126,13 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{align*} \Gamma(z) \approx -\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i \end{align*} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} -\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} \end{figure} \end{frame} @@ -142,8 +148,15 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{column} \begin{column}{0.39\textwidth} \begin{align*} +\hat{m} +&= +\alpha n + \beta +\\ +&\approx +1.34093 n + 0.854093 +\\ m^* -= +&= \lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil \end{align*} \end{column} -- cgit v1.2.1 From 8fb46098cb8e42a94b8e01ecc809f536d5c7efaf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 3 Jun 2022 07:23:21 +0200 Subject: Minor tweaks of presentation --- .../laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 20 +++++++++++++------- 1 file changed, 13 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 2e4e4e2..4073b3c 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -48,7 +48,8 @@ R_n(\xi) \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} @@ -123,17 +124,22 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{frame} \begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{columns} +\begin{column}{0.625\textwidth} +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.375\textwidth} \begin{align*} \Gamma(z) \approx \frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i \end{align*} - -\begin{figure}[h] -\centering -\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} -\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} -\end{figure} +\end{column} +\end{columns} \end{frame} \begin{frame}{Schätzen von $m^*$} -- cgit v1.2.1 From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200 Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for each image --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 4073b3c..3d32aae 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -81,7 +81,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{$f(x) = x^z$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}} +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -89,7 +89,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}} +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -98,7 +98,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \textbf{Vermutung} \begin{itemize} -\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal ist \item $a(n) > 0$ \end{itemize} @@ -148,7 +148,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{figure} \centering \vspace{-24pt} -\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}} +\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{column} -- cgit v1.2.1 From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200 Subject: First complete draft of Laguerre chapter --- .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 24 ++++++++++++++-------- 1 file changed, 15 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 3d32aae..ecd02ab 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -49,7 +49,8 @@ R_n(\xi) \begin{figure}[h] \centering % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} -\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} @@ -81,7 +82,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{$f(x) = x^z$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -89,7 +91,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -144,15 +147,16 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{frame}{Schätzen von $m^*$} \begin{columns} -\begin{column}{0.6\textwidth} +\begin{column}{0.65\textwidth} \begin{figure} \centering -\vspace{-24pt} -\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\vspace{-12pt} +% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{column} -\begin{column}{0.39\textwidth} +\begin{column}{0.34\textwidth} \begin{align*} \hat{m} &= @@ -173,7 +177,8 @@ m^* \begin{frame}{} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf} \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} \end{figure} \end{frame} @@ -181,7 +186,8 @@ m^* \begin{frame}{} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf} \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} \end{figure} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200 Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more citations and references, small changes to plots --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index ecd02ab..811fbfa 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -163,7 +163,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \alpha n + \beta \\ &\approx -1.34093 n + 0.854093 +1.34154 n + 0.848786 \\ m^* &= -- cgit v1.2.1 From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200 Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP earlier --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 811fbfa..b5e1131 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -51,7 +51,7 @@ R_n(\xi) % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} % \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} \includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} -\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} -- cgit v1.2.1