From 85e7d741f78ca0874b42db5cfbd18f4c28a933b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:23:21 +0200 Subject: Add presentation --- buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex | 134 ++++++++++++++++ .../laguerre/presentation/sections/gamma.tex | 50 ++++++ .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 176 +++++++++++++++++++++ .../laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex | 67 ++++++++ .../laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 88 +++++++++++ 5 files changed, 515 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..f49cf1e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,134 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer} + +% style +\mode{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables +\usepackage{scrextend} +\usepackage{textgreek} +\usepackage[rgb]{xcolor} + +\usepackage{ marvosym } % \Lightning + +\usepackage{multimedia} % embedded videos + +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgf} +\usepackage{pgfplots} + +\usepackage{algorithmic} + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + +%math font +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red} +\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic +\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points) +\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections +\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered] +\setbeamertemplate{subsection in toc}{% + \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par} + +\setbeamertemplate{itemize items}[circle] +\setbeamertemplate{description item}[circle] +\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true] +\beamertemplatenavigationsymbolsempty + +\setbeamercolor{footline}{fg=gray} +\setbeamertemplate{footline}{% + \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols} + \hspace{0.5cm} + \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm} +} + +\usepackage{caption} +\captionsetup{labelformat=empty} + +%Title Page +\title{Laguerre-Polynome} +\subtitle{Anwendung: Approximation der Gamma-Funktion} +\author{Patrik Müller} +% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} +% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}} +\date{\today} + +\input{../packages.tex} + +\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}% + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame}{Inhaltsverzeichnis} + \tableofcontents +\end{frame} + +\input{sections/laguerre} + +\input{sections/gaussquad} + +\input{sections/gamma} + +\input{sections/gamma_approx} + +\appendix +\begin{frame} + \centering + \Large + \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit} +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..37f4a0b --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +\section{Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Gamma-Funktion} +\begin{columns} + +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}} +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf} +% \caption{Gamma-Funktion} +\end{figure} +\end{column} + +\begin{column}{0.52\textwidth} +Verallgemeinerung der Fakultät +\begin{align*} +\Gamma(n) = (n-1)! +\end{align*} + +Integralformel +\begin{align*} +\Gamma(z) += +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +,\quad +\operatorname{Re} z > 0 +\end{align*} + +Funktionalgleichung +\begin{align*} +z \Gamma(z) += +\Gamma(z + 1) +\end{align*} + +Reflektionsformel +\begin{align*} +\Gamma(z) \Gamma(1 - z) += +\frac{\pi}{\sin \pi z} +, \quad +\text{für } +z \notin \mathbb{Z} +\end{align*} + +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex new file mode 100644 index 0000000..f5f889e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -0,0 +1,176 @@ +\section{Approximieren der Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$} + +\begin{align*} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\approx +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i += +\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +\\\\ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehlerabschätzung} +\begin{align*} +R_n(\xi) + & = +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +\\ + & = +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1} +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} + +% \textbf{Probleme:} +\begin{itemize} +\item Funktion ist unbeschränkt +\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an +\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Einfacher Ansatz} + +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte +von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +\end{figure} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?} + +\textbf{Beobachtungen} +\begin{itemize} +\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$ +\item Gewisse Periodizität zu erkennen +\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler +\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler +\item $a$ ist abhängig von $n$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Ursache?} +\begin{itemize} +\item Vermutung: Integrand ist problematisch +} +\uncover<3->{ +\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden +} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{$f(x) = x^z$} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Neuer Ansatz?} + +\textbf{Vermutung} +\begin{itemize} +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal +ist +\item $a(n) > 0$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Idee} +\begin{itemize} +\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann +mit Funktionalgleichung zurückverschieben +\end{itemize} +} + +\uncover<3->{ +\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?} +\begin{itemize} +\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm +} +\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} +\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, +da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{align*} +\Gamma(z) +\approx +\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\end{align*} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Schätzen von $m^*$} +\begin{columns} +\begin{column}{0.6\textwidth} +\begin{figure} +\centering +\vspace{-24pt} +\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.39\textwidth} +\begin{align*} +m^* += +\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Maximaler relativer Fehler für $n=6$ +\begin{itemize} + \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$ + \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ +\end{itemize} +\end{frame} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex new file mode 100644 index 0000000..4d973b8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\section{Gauss-Quadratur} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\textbf{Idee} +\begin{itemize}[<+->] +\item Polynome können viele Funktionen approximieren +\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen funktionieren +\item Integrieren eines Interpolationspolynom +\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt +$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden +\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\begin{align*} +\int_{-1}^{1} f(x) \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\end{align*} + +\begin{itemize}[<+->] +\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$ +\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein +\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms +\item Fehler: +\begin{align*} +E += +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx +,\quad +\text{wobei } +l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{itemize}[<+->] +\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$ +\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion +\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes +Integrationspolynom gegen $0$ gehen +\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich +$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\begin{align*} +\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\\ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{align*} +R_n += +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} +\end{frame} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex new file mode 100644 index 0000000..cba9ffb --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +\section{Laguerre-Polynome} + +\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung} + +\begin{itemize} +\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886) +\item Aus Artikel von 1879, +in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte +\end{itemize} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +, \quad +n \in \mathbb{N}_0 +, \quad +x \in \mathbb{R} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +\\ +\end{align*} + +\uncover<2->{ +\centering +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +%% use here too +\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to +node[anchor=west]{Potenreihenansatz} (0, -0.8); +\end{tikzpicture} +} + +\begin{align*} +\uncover<3->{ +L_n(x) + & = +\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +} +\end{align*} +\uncover<4->{ +\begin{itemize} + \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome +\end{itemize} +} +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{figure}[h] +\centering +\scalebox{0.66}{\input{../images/laguerre_polynomes.pgf}} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Orthogonalität} +\begin{itemize}[<+->] +\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper) +\begin{alignat*}{5} +((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) +&= +\lambda &w(x) &y(x) +\\ +((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x) +&= +n &e^{-x} &y(x) +\end{alignat*} +\item Definitionsbereich $(0, \infty)$ +\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\end{itemize} + +\only<4>{ +\begin{align*} +\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx += +0 +,\quad +n, m \in \mathbb{N} +\end{align*} +} +\end{frame} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From fac45f54d4cee5018c063b4a720695cbf3040fa9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 15:53:49 +0200 Subject: Correct typos in presentation --- .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 23 +++++++++++++++++----- .../laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 4 ++-- 2 files changed, 20 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index f5f889e..2e4e4e2 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -6,14 +6,20 @@ \Gamma(z) & = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\uncover<2->{ \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +} +\uncover<3->{ = \sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +} \\\\ +\uncover<4->{ & \text{wobei } A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} \text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +} \end{align*} \end{frame} @@ -66,7 +72,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \item Vermutung: Integrand ist problematisch } \uncover<3->{ -\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden +\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden } \end{itemize} \end{frame} @@ -110,7 +116,7 @@ mit Funktionalgleichung zurückverschieben \item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm } \uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} -\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen} \uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{itemize} @@ -120,13 +126,13 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{align*} \Gamma(z) \approx -\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i \end{align*} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} -\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} \end{figure} \end{frame} @@ -142,8 +148,15 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{column} \begin{column}{0.39\textwidth} \begin{align*} +\hat{m} +&= +\alpha n + \beta +\\ +&\approx +1.34093 n + 0.854093 +\\ m^* -= +&= \lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil \end{align*} \end{column} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex index cba9ffb..faa50e5 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -34,7 +34,7 @@ x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] %% use here too \path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to -node[anchor=west]{Potenreihenansatz} (0, -0.8); +node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8); \end{tikzpicture} } @@ -76,7 +76,7 @@ n &e^{-x} &y(x) \item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ \end{itemize} -\only<4>{ +\uncover<4->{ \begin{align*} \int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx = -- cgit v1.2.1 From fb20b12bd912595deb6ad98a6428842f893edcda Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 16:13:14 +0200 Subject: Add n != m to presentation at orthogonality section --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 2 ++ 1 file changed, 2 insertions(+) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex index faa50e5..1add511 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -81,6 +81,8 @@ n &e^{-x} &y(x) \int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx = 0 +,\quad +n \neq m ,\quad n, m \in \mathbb{N} \end{align*} -- cgit v1.2.1 From 8fb46098cb8e42a94b8e01ecc809f536d5c7efaf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 3 Jun 2022 07:23:21 +0200 Subject: Minor tweaks of presentation --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex | 5 +++-- .../laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 20 +++++++++++++------- .../laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 2 +- 3 files changed, 17 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex index 37f4a0b..7dca39b 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex @@ -3,8 +3,9 @@ \begin{frame}{Gamma-Funktion} \begin{columns} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.55\textwidth} \begin{figure}[h] +\vspace{-16pt} \centering % \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}} \includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf} @@ -12,7 +13,7 @@ \end{figure} \end{column} -\begin{column}{0.52\textwidth} +\begin{column}{0.45\textwidth} Verallgemeinerung der Fakultät \begin{align*} \Gamma(n) = (n-1)! diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 2e4e4e2..4073b3c 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -48,7 +48,8 @@ R_n(\xi) \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} @@ -123,17 +124,22 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \end{frame} \begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{columns} +\begin{column}{0.625\textwidth} +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.375\textwidth} \begin{align*} \Gamma(z) \approx \frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i \end{align*} - -\begin{figure}[h] -\centering -\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf} -\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} -\end{figure} +\end{column} +\end{columns} \end{frame} \begin{frame}{Schätzen von $m^*$} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex index 1add511..07cafb8 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -55,7 +55,7 @@ L_n(x) \begin{frame} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.66}{\input{../images/laguerre_polynomes.pgf}} +\resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_polynomes.pgf}} \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} \end{figure} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 5dcd1898f505fb707e8a7630c807f522fd549279 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 3 Jun 2022 07:25:42 +0200 Subject: Bugfix --- buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex index f49cf1e..3db69f5 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex @@ -126,9 +126,9 @@ \appendix \begin{frame} - \centering - \Large - \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit} + % \centering + % \Large + % \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit} \end{frame} \end{document} -- cgit v1.2.1 From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200 Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for each image --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 8 ++++---- buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 2 +- 2 files changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 4073b3c..3d32aae 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -81,7 +81,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{$f(x) = x^z$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands.pgf}} +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -89,7 +89,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrands_exp.pgf}} +\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -98,7 +98,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \textbf{Vermutung} \begin{itemize} -\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n+1)]$ in denen der relative Fehler minimal +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal ist \item $a(n) > 0$ \end{itemize} @@ -148,7 +148,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{figure} \centering \vspace{-24pt} -\scalebox{0.7}{\input{../images/estimate.pgf}} +\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{column} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex index 07cafb8..ed29387 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -55,7 +55,7 @@ L_n(x) \begin{frame} \begin{figure}[h] \centering -\resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_polynomes.pgf}} +\resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}} \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} \end{figure} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 7a8795dcb555a551fd09a3c9b15002675e30891f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 15 Jul 2022 16:24:48 +0200 Subject: Change image scripts to PDF format, update Makefile, add complex plane plot --- buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf | Bin 0 -> 394774 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf new file mode 100644 index 0000000..3d00de3 Binary files /dev/null and b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf differ -- cgit v1.2.1 From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200 Subject: First complete draft of Laguerre chapter --- .../presentation/sections/gamma_approx.tex | 24 ++++++++++++++-------- .../laguerre/presentation/sections/laguerre.tex | 3 ++- 2 files changed, 17 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 3d32aae..ecd02ab 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -49,7 +49,8 @@ R_n(\xi) \begin{figure}[h] \centering % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} -\resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} \caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} @@ -81,7 +82,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{$f(x) = x^z$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -89,7 +91,8 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{frame} @@ -144,15 +147,16 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \begin{frame}{Schätzen von $m^*$} \begin{columns} -\begin{column}{0.6\textwidth} +\begin{column}{0.65\textwidth} \begin{figure} \centering -\vspace{-24pt} -\scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\vspace{-12pt} +% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf} % \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} \end{figure} \end{column} -\begin{column}{0.39\textwidth} +\begin{column}{0.34\textwidth} \begin{align*} \hat{m} &= @@ -173,7 +177,8 @@ m^* \begin{frame}{} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf} \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} \end{figure} \end{frame} @@ -181,7 +186,8 @@ m^* \begin{frame}{} \begin{figure}[h] \centering -\scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf} \caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} \end{figure} \end{frame} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex index ed29387..f99214e 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -55,7 +55,8 @@ L_n(x) \begin{frame} \begin{figure}[h] \centering -\resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}} +% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf} \caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} \end{figure} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200 Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more citations and references, small changes to plots --- buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf | Bin 394774 -> 0 bytes .../laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 2 +- 2 files changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) delete mode 100644 buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf deleted file mode 100644 index 3d00de3..0000000 Binary files a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.pdf and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index ecd02ab..811fbfa 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -163,7 +163,7 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} \alpha n + \beta \\ &\approx -1.34093 n + 0.854093 +1.34154 n + 0.848786 \\ m^* &= -- cgit v1.2.1 From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200 Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP earlier --- buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/presentation') diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 811fbfa..b5e1131 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -51,7 +51,7 @@ R_n(\xi) % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} % \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} \includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} -\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} -- cgit v1.2.1