From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200
Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP
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 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 19 +++++++++++--------
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index 841bc20..0e32012 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ verwendet.
 Stellt man also sicher,
 dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
 sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
-Es wird ein Polynom verwendet,
+Es wird ein Interpolationspolynom verwendet,
 welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
 Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
@@ -66,10 +66,11 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu berechen,
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu
+berechen,
 formt man das Integral wie folgt um:
 \begin{align*}
-\int_0^\infty g(x) \, dx 
+\int_0^\infty g(x) \, dx
 =
 \int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
 \end{align*}
@@ -77,7 +78,7 @@ Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
 wie bei der Gauss-Quadratur.
 % Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
 % umformulieren:
-Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also 
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also
 für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
@@ -89,8 +90,8 @@ für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
-des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
+des Approximationspolynoms genommen werden.
+Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
 als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
@@ -104,7 +105,7 @@ l_i(x_j)
 \end{cases}
 % .
 \end{align*}
-die Lagrangschen Interpolationspolynome.
+die Lagrangeschen Interpolationspolynome.
 Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
 \begin{align*}
 A_i
@@ -122,7 +123,9 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 dem Normalisierungsfaktor.
 
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
-nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten
+(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom})
+aus,
 damit erhalten wir
 \begin{align*}
 A_i
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