From 56cc6c1fbae271c16c78935384b52e047cdd6f27 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 19 May 2022 16:11:27 +0200 Subject: Error correction & add gamma integrand plot --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 60fad7f..be69dee 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{laguerre:section:quadratur}} {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} \begin{align} -\int_a^b f(x) w(x) +\int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i \label{laguerre:gaussquadratur} @@ -33,7 +33,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren: Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen des verwendeten Polynoms genommen werden. Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und -als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. +als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} l_i(x_j) @@ -57,7 +57,7 @@ A_i \subsubsection{Fehlerterm} Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation \begin{align*} -\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx +\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx = \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n \end{align*} -- cgit v1.2.1 From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200 Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion of gamma-func --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index be69dee..f4e2955 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -21,7 +21,7 @@ In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome $L_n$ ausweiten. Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren: +Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren: \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx -- cgit v1.2.1 From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200 Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration SLP<->LP --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index f4e2955..b5ad316 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -61,14 +61,14 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation = \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n \end{align*} -un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als +und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als \begin{align} R_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) ,\quad 0 < \xi < \infty -\label{lagurre:lag_error} +\label{laguerre:lag_error} \end{align} an. -- cgit v1.2.1 From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200 Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for each image --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 8 +++++--- 1 file changed, 5 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index b5ad316..851fe8a 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -6,10 +6,12 @@ \section{Gauss-Quadratur \label{laguerre:section:quadratur}} {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} + +Siehe Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} \begin{align} \int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx -\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i \label{laguerre:gaussquadratur} \end{align} @@ -25,7 +27,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx -\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i \label{laguerre:laguerrequadratur} \end{align} @@ -45,7 +47,7 @@ l_i(x_j) 0 & \text{sonst.} \end{cases} \end{align*} -Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also +Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte \begin{align} A_i = -- cgit v1.2.1 From 3cb2fa354f814fa98474610dac744281285dafc6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 15 Jul 2022 11:40:55 +0200 Subject: First version of section 'Gauss Quadratur', fix to gamma_approx.py when z=0 --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 148 +++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 126 insertions(+), 22 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 851fe8a..7cbae48 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -5,25 +5,57 @@ % \section{Gauss-Quadratur \label{laguerre:section:quadratur}} - {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} - -Siehe Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} +Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt. +Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} gefunden werden. +Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, +dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, +verwendet. +Stellt man also sicher, +dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren. +Es wird ein Polynom verwendet, +welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ +die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. +Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form \begin{align} \int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i \label{laguerre:gaussquadratur} \end{align} +berechnet werden. +Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$, +wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde. \subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}} -Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen -ausgeweitet werden. -In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome -$L_n$ ausweiten. -Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich -der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren: +Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung +von uneigentlichen Integralen erweitern, +spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$. +Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich. +Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit +\begin{align*} +x += +a + \frac{1 - t}{t} +\end{align*} +auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert. +Für unser Fall gilt $a = 0$. +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent, +darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren, +die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, +damit das Integral immer noch konvergiert. +Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe, +da ihre Gewichtsfunktion $e^{-x}$ schneller +gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. +% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome +% $L_n$ ausweiten. +% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich +% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. +Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt +umformulieren: \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx @@ -43,20 +75,93 @@ l_i(x_j) \delta_{ij} = \begin{cases} -1 & i=j \\ -0 & \text{sonst.} +1 & i=j \\ +0 & \text{.} \end{cases} +% . \end{align*} -Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte -\begin{align} +die Lagrangschen Interpolationspolynome. +Laut \cite{hildebrand2013introduction} können die Gewicht mit +\begin{align*} A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)} +\end{align*} +berechnet werden. +$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$ +des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und +\begin{align*} +\gamma_n += +\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx +\end{align*} +dem Normalisierungsfaktor. +Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerrekoeffizienten aus, +damit erhalten wir +\begin{align*} +A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)} +\\ + & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\end{align*} +Für Laguerre-Polynome gilt +\begin{align*} +\frac{C_n}{C_{n-1}} += +-\frac{1}{n} +\quad \text{und} \quad +\gamma_n = -\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} +1 +. +\end{align*} +Daraus folgt +\begin{align} +A_i +&= +- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\label{laguerre:gewichte_lag_temp} +\end{align} +Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome +\begin{align*} +x L'_n(x) +&= +n L_n(x) - n L_{n-1}(x) +\\ +&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x) +\end{align*} +umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind, +folgt +\begin{align*} +x_i L'_n(x_i) +&= +- n L_{n-1}(x_i) +\\ +&= + (n + 1) L_{n+1}(x_i) +. +\end{align*} +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sicht +\begin{align} +\nonumber +A_i +&= +\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2} +\\ +&= +\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} . \label{laguerre:quadratur_gewichte} \end{align} \subsubsection{Fehlerterm} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale +von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt. +Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden. Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation \begin{align*} \int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx @@ -66,16 +171,15 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als \begin{align} R_n -= + & = +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx +\\ + & = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) ,\quad 0 < \xi < \infty \label{laguerre:lag_error} \end{align} an. - -{ -\large \color{red} -TODO: -Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten -} +Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung +der zu integrierenden Funktion. -- cgit v1.2.1 From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200 Subject: First complete draft of Laguerre chapter --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 7cbae48..4ca6913 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -48,13 +48,13 @@ darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren, die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, damit das Integral immer noch konvergiert. Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe, -da ihre Gewichtsfunktion $e^{-x}$ schneller +da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome % $L_n$ ausweiten. % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt +Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt umformulieren: \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx @@ -81,7 +81,7 @@ l_i(x_j) % . \end{align*} die Lagrangschen Interpolationspolynome. -Laut \cite{hildebrand2013introduction} können die Gewicht mit +Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit \begin{align*} A_i & = @@ -97,7 +97,7 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und \end{align*} dem Normalisierungsfaktor. Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und -nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerrekoeffizienten aus, +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus, damit erhalten wir \begin{align*} A_i @@ -135,7 +135,7 @@ n L_n(x) - n L_{n-1}(x) &= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x) \end{align*} umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind, -folgt +vereinfacht sich der Term zu \begin{align*} x_i L'_n(x_i) &= @@ -145,7 +145,7 @@ x_i L'_n(x_i) (n + 1) L_{n+1}(x_i) . \end{align*} -Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sicht +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich \begin{align} \nonumber A_i @@ -168,7 +168,7 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation = \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n \end{align*} -und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als +und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als \begin{align} R_n & = -- cgit v1.2.1 From f0ff46df0f4c212b44cbed4c01ad357c75f0bdbb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Jul 2022 07:40:48 +0200 Subject: Fix typos in gamma.tex and quadratur.tex --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 9 +++++---- 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 4ca6913..75858df 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -41,10 +41,11 @@ x = a + \frac{1 - t}{t} \end{align*} -auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert. -Für unser Fall gilt $a = 0$. +auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert, +kann dies behoben werden. +Für unseren Fall gilt $a = 0$. Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent, -darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren, +darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren, die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, damit das Integral immer noch konvergiert. Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe, @@ -76,7 +77,7 @@ l_i(x_j) = \begin{cases} 1 & i=j \\ -0 & \text{.} +0 & \text{sonst} \end{cases} % . \end{align*} -- cgit v1.2.1 From 2b3fb7f75fd66876ed1a1d77f4fd0b16a6dfe772 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Jul 2022 08:06:58 +0200 Subject: Add missing files --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 75858df..27519d8 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -8,7 +8,7 @@ Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt. Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im -Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} gefunden werden. +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, verwendet. -- cgit v1.2.1 From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200 Subject: Correct typos, improve grammar --- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 19 ++++++++++--------- 1 file changed, 10 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 27519d8..a494362 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -6,19 +6,19 @@ \section{Gauss-Quadratur \label{laguerre:section:quadratur}} Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, -welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt. +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet. Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, verwendet. Stellt man also sicher, -dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, -sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren. +dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. Es wird ein Polynom verwendet, welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. -Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form +Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form \begin{align} \int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx @@ -44,11 +44,11 @@ a + \frac{1 - t}{t} auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert, kann dies behoben werden. Für unseren Fall gilt $a = 0$. -Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent, -darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren, +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent. +Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren, die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, damit das Integral immer noch konvergiert. -Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe, +Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe, da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome @@ -67,7 +67,7 @@ umformulieren: \subsubsection{Stützstellen und Gewichte} Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen des verwendeten Polynoms genommen werden. -Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und +Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} @@ -146,7 +146,8 @@ x_i L'_n(x_i) (n + 1) L_{n+1}(x_i) . \end{align*} -Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein, +ergibt sich \begin{align} \nonumber A_i -- cgit v1.2.1