From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200
Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more
 citations and references, small changes to plots

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 98 ++++++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 62 insertions(+), 36 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index a494362..841bc20 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,20 +3,21 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Gauss-Quadratur
+\section{Gauss-Quadratur%
   \label{laguerre:section:quadratur}}
+\rhead{Gauss-Quadratur}%
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
 welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
-Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
 Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
 Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, 
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
 sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
-Es wird ein Polynom verwendet, 
-welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
+Es wird ein Polynom verwendet,
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
 Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
@@ -29,25 +30,35 @@ berechnet werden.
 Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
 wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
 
-\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur%
 \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
 Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
 von uneigentlichen Integralen erweitern,
-spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$.
+spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$.
 Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
-Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit
-\begin{align*}
-x
-=
-a + \frac{1 - t}{t}
-\end{align*}
-auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
-kann dies behoben werden.
-Für unseren Fall gilt $a = 0$.
+% Mit einer Transformation
+% \begin{align*}
+% x
+% =
+% % a + 
+% \frac{1 - t}{t}
+% \end{align*}
+% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$ 
+% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert,
+% kann dies behoben werden.
+% % Für unseren Fall gilt $a = 0$.
 Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
-Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
-die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
-damit das Integral immer noch konvergiert.
+Es ist also nötig,
+den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden,
+wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden,
+die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom.
+Damit stellen wir sicher,
+dass das Integral immer noch konvergiert.
+% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
+% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+% damit das Integral immer noch konvergiert.
 Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
 da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
@@ -55,20 +66,32 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
-umformulieren:
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu berechen,
+formt man das Integral wie folgt um:
+\begin{align*}
+\int_0^\infty g(x) \, dx 
+=
+\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
+\end{align*}
+Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
+wie bei der Gauss-Quadratur.
+% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
+% umformulieren:
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also 
+für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
 \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
 \label{laguerre:laguerrequadratur}
+.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
 Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -76,7 +99,7 @@ l_i(x_j)
 \delta_{ij}
 =
 \begin{cases}
-1 & i=j      \\
+1 & i=j          \\
 0 & \text{sonst}
 \end{cases}
 % .
@@ -97,6 +120,7 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 \int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
 \end{align*}
 dem Normalisierungsfaktor.
+
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
 nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
 damit erhalten wir
@@ -122,39 +146,41 @@ Für Laguerre-Polynome gilt
 Daraus folgt
 \begin{align}
 A_i
-&=
+ & =
 - \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
-.
 \label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+.
 \end{align}
 Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\cite{laguerre:hildebrand2013introduction}
+% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction})
 \begin{align*}
-x L'_n(x) 
-&= 
+x L'_n(x)
+ & =
 n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
 \\
-&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+ & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
 \end{align*}
 umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
-vereinfacht sich der Term zu
+vereinfacht sich die Gleichung zu
 \begin{align*}
 x_i L'_n(x_i)
-&=
-- n L_{n-1}(x_i) 
+ & =
+- n L_{n-1}(x_i)
 \\
-&=
- (n + 1) L_{n+1}(x_i)
+ & =
+(n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
 ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i
-&=
+ & =
 \frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
 \\
-&=
+ & =
 \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 .
 \label{laguerre:quadratur_gewichte}
-- 
cgit v1.2.1

