From 56cc6c1fbae271c16c78935384b52e047cdd6f27 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 19 May 2022 16:11:27 +0200
Subject: Error correction & add gamma integrand plot

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 60fad7f..be69dee 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
   \label{laguerre:section:quadratur}}
  {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
 \begin{align}
-\int_a^b f(x) w(x)
+\int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
 \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
 \label{laguerre:gaussquadratur}
@@ -33,7 +33,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
 Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -57,7 +57,7 @@ A_i
 \subsubsection{Fehlerterm}
 Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 \begin{align*}
-\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
 =
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
 \end{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 161adb15af8d10ccf6090a43a4c89b0d05c6ecda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 16:16:52 +0200
Subject: Add introduction, integrand plot and reason why shifting evalutaion
 of gamma-func

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index be69dee..f4e2955 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
 $L_n$ ausweiten.
 Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
+Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren:
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
-- 
cgit v1.2.1


From 6149839224755c21225d2decddeae12207c2cbab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 May 2022 16:31:25 +0200
Subject: Add rule of thumb, analyse integrand, correct mistake in integration
 SLP<->LP

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index f4e2955..b5ad316 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -61,14 +61,14 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 =
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
 \end{align*}
-un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als
+und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als
 \begin{align}
 R_n
 =
 \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
 ,\quad
 0 < \xi < \infty
-\label{lagurre:lag_error}
+\label{laguerre:lag_error}
 \end{align}
 an.
 
-- 
cgit v1.2.1


From fde57297b3efbef28d09a532e1b3895d2b2ad917 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 14 Jul 2022 15:03:28 +0200
Subject: Correct Makefile, add text to gamma.tex, separate python-scripts for
 each image

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 8 +++++---
 1 file changed, 5 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index b5ad316..851fe8a 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -6,10 +6,12 @@
 \section{Gauss-Quadratur
   \label{laguerre:section:quadratur}}
  {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
+ 
+Siehe Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur}
 \begin{align}
 \int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
-\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
 \label{laguerre:gaussquadratur}
 \end{align}
 
@@ -25,7 +27,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
-\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
 \label{laguerre:laguerrequadratur}
 \end{align}
 
@@ -45,7 +47,7 @@ l_i(x_j)
 0 & \text{sonst.}
 \end{cases}
 \end{align*}
-Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also
+Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte
 \begin{align}
 A_i
 =
-- 
cgit v1.2.1


From 3cb2fa354f814fa98474610dac744281285dafc6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 15 Jul 2022 11:40:55 +0200
Subject: First version of section 'Gauss Quadratur', fix to gamma_approx.py
 when z=0

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 148 +++++++++++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 126 insertions(+), 22 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 851fe8a..7cbae48 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -5,25 +5,57 @@
 %
 \section{Gauss-Quadratur
   \label{laguerre:section:quadratur}}
- {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
- 
-Siehe Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur}
+Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt.
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
+Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
+dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
+verwendet.
+Stellt man also sicher,
+dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, 
+sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren.
+Es wird ein Polynom verwendet, 
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
+die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
+Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form
 \begin{align}
 \int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
 \label{laguerre:gaussquadratur}
 \end{align}
+berechnet werden.
+Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
+wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
 
 \subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
 \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
-Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen
-ausgeweitet werden.
-In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
-$L_n$ ausweiten.
-Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
-der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wie folgt umformulieren:
+Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
+von uneigentlichen Integralen erweitern,
+spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$.
+Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
+Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit
+\begin{align*}
+x
+=
+a + \frac{1 - t}{t}
+\end{align*}
+auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert.
+Für unser Fall gilt $a = 0$.
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent,
+darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren,
+die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+damit das Integral immer noch konvergiert.
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
+da ihre Gewichtsfunktion $e^{-x}$ schneller
+gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
+% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
+% $L_n$ ausweiten.
+% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
+% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
+Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
+umformulieren:
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
@@ -43,20 +75,93 @@ l_i(x_j)
 \delta_{ij}
 =
 \begin{cases}
-1 & i=j           \\
-0 & \text{sonst.}
+1 & i=j      \\
+0 & \text{.}
 \end{cases}
+% .
 \end{align*}
-Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte
-\begin{align}
+die Lagrangschen Interpolationspolynome.
+Laut \cite{hildebrand2013introduction} können die Gewicht mit
+\begin{align*}
 A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)}
+\end{align*}
+berechnet werden.
+$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$
+des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
+\begin{align*}
+\gamma_n
+=
+\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
+\end{align*}
+dem Normalisierungsfaktor.
+Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerrekoeffizienten aus,
+damit erhalten wir
+\begin{align*}
+A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)}
+\\
+ & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+.
+\end{align*}
+Für Laguerre-Polynome gilt
+\begin{align*}
+\frac{C_n}{C_{n-1}}
+=
+-\frac{1}{n}
+\quad \text{und} \quad
+\gamma_n
 =
-\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
+1
+.
+\end{align*}
+Daraus folgt
+\begin{align}
+A_i
+&=
+- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+.
+\label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+\end{align}
+Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\begin{align*}
+x L'_n(x) 
+&= 
+n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
+\\
+&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+\end{align*}
+umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
+folgt
+\begin{align*}
+x_i L'_n(x_i)
+&=
+- n L_{n-1}(x_i) 
+\\
+&=
+ (n + 1) L_{n+1}(x_i)
+.
+\end{align*}
+Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sicht
+\begin{align}
+\nonumber
+A_i
+&=
+\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
+\\
+&=
+\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 .
 \label{laguerre:quadratur_gewichte}
 \end{align}
 
 \subsubsection{Fehlerterm}
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale
+von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt.
+Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden.
 Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 \begin{align*}
 \int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
@@ -66,16 +171,15 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als
 \begin{align}
 R_n
-=
+ & =
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx
+\\
+ & =
 \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
 ,\quad
 0 < \xi < \infty
 \label{laguerre:lag_error}
 \end{align}
 an.
-
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten
-}
+Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung
+der zu integrierenden Funktion.
-- 
cgit v1.2.1


From e1f5d6267540ea8dc758696fb08cb7540362cf8f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 17:34:37 +0200
Subject: First complete draft of Laguerre chapter

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 7cbae48..4ca6913 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -48,13 +48,13 @@ darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren,
 die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
 damit das Integral immer noch konvergiert.
 Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
-da ihre Gewichtsfunktion $e^{-x}$ schneller
+da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
 umformulieren:
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
@@ -81,7 +81,7 @@ l_i(x_j)
 % .
 \end{align*}
 die Lagrangschen Interpolationspolynome.
-Laut \cite{hildebrand2013introduction} können die Gewicht mit
+Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
 \begin{align*}
 A_i
  & =
@@ -97,7 +97,7 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 \end{align*}
 dem Normalisierungsfaktor.
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
-nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerrekoeffizienten aus,
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
 damit erhalten wir
 \begin{align*}
 A_i
@@ -135,7 +135,7 @@ n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
 &= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
 \end{align*}
 umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
-folgt
+vereinfacht sich der Term zu
 \begin{align*}
 x_i L'_n(x_i)
 &=
@@ -145,7 +145,7 @@ x_i L'_n(x_i)
  (n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sicht
+Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i
@@ -168,7 +168,7 @@ Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 =
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
 \end{align*}
-und \cite{abramowitz+stegun} gibt ihn als
+und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als
 \begin{align}
 R_n
  & =
-- 
cgit v1.2.1


From f0ff46df0f4c212b44cbed4c01ad357c75f0bdbb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 07:40:48 +0200
Subject: Fix typos in gamma.tex and quadratur.tex

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 9 +++++----
 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 4ca6913..75858df 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -41,10 +41,11 @@ x
 =
 a + \frac{1 - t}{t}
 \end{align*}
-auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert.
-Für unser Fall gilt $a = 0$.
+auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
+kann dies behoben werden.
+Für unseren Fall gilt $a = 0$.
 Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent,
-darum müssen wir sie mit einer Funktion multiplizieren,
+darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren,
 die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
 damit das Integral immer noch konvergiert.
 Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
@@ -76,7 +77,7 @@ l_i(x_j)
 =
 \begin{cases}
 1 & i=j      \\
-0 & \text{.}
+0 & \text{sonst}
 \end{cases}
 % .
 \end{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 2b3fb7f75fd66876ed1a1d77f4fd0b16a6dfe772 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 08:06:58 +0200
Subject: Add missing files

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 75858df..27519d8 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
 welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt.
 Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
-Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
-- 
cgit v1.2.1


From 2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:31:48 +0200
Subject: Correct typos, improve grammar

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 19 ++++++++++---------
 1 file changed, 10 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 27519d8..a494362 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -6,19 +6,19 @@
 \section{Gauss-Quadratur
   \label{laguerre:section:quadratur}}
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
-welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt.
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
 Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
 Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
 Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, 
-sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren.
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, 
+sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
 Es wird ein Polynom verwendet, 
 welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
-Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form
+Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
 \int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
@@ -44,11 +44,11 @@ a + \frac{1 - t}{t}
 auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
 kann dies behoben werden.
 Für unseren Fall gilt $a = 0$.
-Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent,
-darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren,
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
+Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
 die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
 damit das Integral immer noch konvergiert.
-Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
 da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
@@ -67,7 +67,7 @@ umformulieren:
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
+Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
 als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
@@ -146,7 +146,8 @@ x_i L'_n(x_i)
  (n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich
+Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i
-- 
cgit v1.2.1


From 5da2fa5a5e6a2fa2b8a23745b8c300d15a06669d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 15:19:20 +0200
Subject: Restruct paper, correct typos, add positive conclusion, add more
 citations and references, small changes to plots

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 98 ++++++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 62 insertions(+), 36 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index a494362..841bc20 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,20 +3,21 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Gauss-Quadratur
+\section{Gauss-Quadratur%
   \label{laguerre:section:quadratur}}
+\rhead{Gauss-Quadratur}%
 Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
 welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
-Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im 
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
 Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
 Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
 dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
 verwendet.
 Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, 
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
 sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
-Es wird ein Polynom verwendet, 
-welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ 
+Es wird ein Polynom verwendet,
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
 Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
 \begin{align}
@@ -29,25 +30,35 @@ berechnet werden.
 Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
 wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
 
-\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur%
 \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
 Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
 von uneigentlichen Integralen erweitern,
-spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$.
+spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$.
 Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
-Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit
-\begin{align*}
-x
-=
-a + \frac{1 - t}{t}
-\end{align*}
-auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
-kann dies behoben werden.
-Für unseren Fall gilt $a = 0$.
+% Mit einer Transformation
+% \begin{align*}
+% x
+% =
+% % a + 
+% \frac{1 - t}{t}
+% \end{align*}
+% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$ 
+% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert,
+% kann dies behoben werden.
+% % Für unseren Fall gilt $a = 0$.
 Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
-Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
-die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
-damit das Integral immer noch konvergiert.
+Es ist also nötig,
+den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden,
+wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden,
+die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom.
+Damit stellen wir sicher,
+dass das Integral immer noch konvergiert.
+% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
+% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+% damit das Integral immer noch konvergiert.
 Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
 da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
 gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
@@ -55,20 +66,32 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt
-umformulieren:
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu berechen,
+formt man das Integral wie folgt um:
+\begin{align*}
+\int_0^\infty g(x) \, dx 
+=
+\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
+\end{align*}
+Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
+wie bei der Gauss-Quadratur.
+% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
+% umformulieren:
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also 
+für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
 \approx
 \sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
 \label{laguerre:laguerrequadratur}
+.
 \end{align}
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
 Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -76,7 +99,7 @@ l_i(x_j)
 \delta_{ij}
 =
 \begin{cases}
-1 & i=j      \\
+1 & i=j          \\
 0 & \text{sonst}
 \end{cases}
 % .
@@ -97,6 +120,7 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 \int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
 \end{align*}
 dem Normalisierungsfaktor.
+
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
 nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
 damit erhalten wir
@@ -122,39 +146,41 @@ Für Laguerre-Polynome gilt
 Daraus folgt
 \begin{align}
 A_i
-&=
+ & =
 - \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
-.
 \label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+.
 \end{align}
 Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\cite{laguerre:hildebrand2013introduction}
+% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction})
 \begin{align*}
-x L'_n(x) 
-&= 
+x L'_n(x)
+ & =
 n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
 \\
-&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+ & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
 \end{align*}
 umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
-vereinfacht sich der Term zu
+vereinfacht sich die Gleichung zu
 \begin{align*}
 x_i L'_n(x_i)
-&=
-- n L_{n-1}(x_i) 
+ & =
+- n L_{n-1}(x_i)
 \\
-&=
- (n + 1) L_{n+1}(x_i)
+ & =
+(n + 1) L_{n+1}(x_i)
 .
 \end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
 ergibt sich
 \begin{align}
 \nonumber
 A_i
-&=
+ & =
 \frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
 \\
-&=
+ & =
 \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
 .
 \label{laguerre:quadratur_gewichte}
-- 
cgit v1.2.1


From 7d01dd49954a2f6c1c2b662af1c01f3928ddb827 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 25 Jul 2022 10:06:45 +0200
Subject: Add missing explanations, correct typos, mention sign change of LP
 earlier

---
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 19 +++++++++++--------
 1 file changed, 11 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/laguerre/quadratur.tex')

diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 841bc20..0e32012 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ verwendet.
 Stellt man also sicher,
 dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
 sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
-Es wird ein Polynom verwendet,
+Es wird ein Interpolationspolynom verwendet,
 welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
 die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
 Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
@@ -66,10 +66,11 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
 % $L_n$ ausweiten.
 % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
 % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
-Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu berechen,
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu
+berechen,
 formt man das Integral wie folgt um:
 \begin{align*}
-\int_0^\infty g(x) \, dx 
+\int_0^\infty g(x) \, dx
 =
 \int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
 \end{align*}
@@ -77,7 +78,7 @@ Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
 wie bei der Gauss-Quadratur.
 % Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
 % umformulieren:
-Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also 
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also
 für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 \begin{align}
 \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
@@ -89,8 +90,8 @@ für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
 
 \subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
-des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
+des Approximationspolynoms genommen werden.
+Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
 als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
@@ -104,7 +105,7 @@ l_i(x_j)
 \end{cases}
 % .
 \end{align*}
-die Lagrangschen Interpolationspolynome.
+die Lagrangeschen Interpolationspolynome.
 Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
 \begin{align*}
 A_i
@@ -122,7 +123,9 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
 dem Normalisierungsfaktor.
 
 Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
-nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus,
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten
+(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom})
+aus,
 damit erhalten wir
 \begin{align*}
 A_i
-- 
cgit v1.2.1