From 670555039265d83945b0d3e205aefb020425585b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 6 Apr 2022 08:00:09 +0200 Subject: Start definition.tex --- buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex | 147 +++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 130 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex index caaa6af..0da8be3 100644 --- a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex +++ b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex @@ -6,24 +6,137 @@ \section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms \label{laguerre:section:radial_h_atom}} +Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton im Kern +mit Masse $M$ und Ladung $+e$. +Ein Elektron mit Masse $m$ und Ladung $-e$ umkreist das Proton +(vgl. Abbildung~\ref{laguerre:fig:wasserstoff_model}). +Für das folgende Model werden folgende Annahmen getroffen: + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/laguerre/images/wasserstoff_model.pdf} +\caption{Skizze eines Wasserstoffatoms. +Kartesische, wie auch Kugelkoordinaten sind eingezeichnet. +} +\label{laguerre:fig:wasserstoff_model} +\end{figure} + +\begin{enumerate} +\item +Das Elektron wird als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet, +das heisst, +relativistische Effekte sind vernachlässigbar. +\item +Der Spin des Elektrons und des Protons +und das damit verbundene magnetische Moment +wird vernachlässigt. +\item +Fluktuationen des Vakuums werden nicht berücksichtigt. +\item +Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton +ist durch die Coulombwechselwirkung gegeben. +Somit entspricht die potentielle Energie der Coulombenergie $V_C(r)$ +und nimmt damit die folgende Form an +\begin{align} + V_C(r) + = + -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} + \text{ mit } + r + = + \lvert\vec{r}\rvert + = + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + . + \label{laguerre:coulombenergie} +\end{align} +Im Falle das der Kern einen endlichen Radius $r_0$ besitzt, +ist die $1/r$-Abhängigkeit in Gleichung \eqref{laguerre:coulombenergie} +als Näherung zu betrachten. +Diese Näherung darf nur angewendet werden, wenn die +Aufenthaltswahrscheinlicheit des Elektrons +innerhalb $r_0$ vernachlässigbar ist. +Für das Wasserstoffatom ist diese Näherung für alle Zustände gerechtfertigt. +\item +Da $M \gg m$, kann das Proton als in Ruhe angenommen werden. +\end{enumerate} + +\subsection{Herleitung zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung} +\label{laguerre:subsection:herleitung_schroedinger} +Das Problem ist kugelsymmetrisch, +darum transformieren wir das Problem in Kugelkoordinaten. +Somit gilt: + +\begin{align*} + r + & = + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ + \vartheta + & = + \arccos\left(\frac{z}{r}\right)\\ + \varphi + & = + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) +\end{align*} + +Die potentielle Energie $V_C(r)$ hat keine direkte Zeitabhängigkeit. +Daraus folgt, dass die konstant ist Gesamtenergie $E$ +und es existieren stationäre Zustände + \begin{align} - \nonumber - - \frac{\hbar^2}{2m} - & - \left( - \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} - \left( r^2 \pdv{}{r} \right) - + - \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta} - \left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right) - + - \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} - \right) - u(r, \vartheta, \varphi) - \\ - & - - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi) + \psi(r, \vartheta, \varphi, t) + = + u(r, \vartheta, \varphi) e^{-i E t / h}, +\end{align} +wobei $u(r, \vartheta, \varphi)$ +die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. + +\begin{align} + -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta u(r, \vartheta, \varphi) + + V_C(r) u(r, \vartheta, \varphi) = E u(r, \vartheta, \varphi) - \label{laguerre:pdg_h_atom} + \label{laguerre:schroedinger} +\end{align} + +Für Kugelkoordinaten hat der Laplace-Operator $\Delta$ die Form + +\begin{align} + \Delta + = + \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} \left( r^2 \pdv{}{r} \right) + + \frac{1}{r^2 \sin\vartheta} \pdv{}{\vartheta} + \left(\sin\vartheta \pdv{}{\vartheta}\right) + + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} + \label{laguerre:laplace_kugel} \end{align} + +Setzt man nun +\eqref{laguerre:coulombenergie} und \eqref{laguerre:laplace_kugel} +in \eqref{laguerre:schroedinger} ein, +erhält man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für Kugelkoordinaten + +\begin{align} +\nonumber +- \frac{\hbar^2}{2m} +& +\left( +\frac{1}{r^2} \pdv{}{r} +\left( r^2 \pdv{}{r} \right) ++ +\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta} +\left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right) ++ +\frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} +\right) +u(r, \vartheta, \varphi) +\\ +& - +\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi) += +E u(r, \vartheta, \varphi). +\label{laguerre:pdg_h_atom} +\end{align} + +\subsection{Separation der Schrödinger-Gleichung} +\label{laguerre:subsection:seperation_schroedinger} -- cgit v1.2.1 From 7397861ade0537bf8e501fa87bd57653d932d459 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 12 May 2022 18:21:25 +0200 Subject: Remove deprecated files --- buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex | 142 ----------------------------------- 1 file changed, 142 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex (limited to 'buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex') diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex deleted file mode 100644 index 0da8be3..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex +++ /dev/null @@ -1,142 +0,0 @@ -% -% wasserstoff.tex -% -% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule -% -\section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms -\label{laguerre:section:radial_h_atom}} - -Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton im Kern -mit Masse $M$ und Ladung $+e$. -Ein Elektron mit Masse $m$ und Ladung $-e$ umkreist das Proton -(vgl. Abbildung~\ref{laguerre:fig:wasserstoff_model}). -Für das folgende Model werden folgende Annahmen getroffen: - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{papers/laguerre/images/wasserstoff_model.pdf} -\caption{Skizze eines Wasserstoffatoms. -Kartesische, wie auch Kugelkoordinaten sind eingezeichnet. -} -\label{laguerre:fig:wasserstoff_model} -\end{figure} - -\begin{enumerate} -\item -Das Elektron wird als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet, -das heisst, -relativistische Effekte sind vernachlässigbar. -\item -Der Spin des Elektrons und des Protons -und das damit verbundene magnetische Moment -wird vernachlässigt. -\item -Fluktuationen des Vakuums werden nicht berücksichtigt. -\item -Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton -ist durch die Coulombwechselwirkung gegeben. -Somit entspricht die potentielle Energie der Coulombenergie $V_C(r)$ -und nimmt damit die folgende Form an -\begin{align} - V_C(r) - = - -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - \text{ mit } - r - = - \lvert\vec{r}\rvert - = - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - . - \label{laguerre:coulombenergie} -\end{align} -Im Falle das der Kern einen endlichen Radius $r_0$ besitzt, -ist die $1/r$-Abhängigkeit in Gleichung \eqref{laguerre:coulombenergie} -als Näherung zu betrachten. -Diese Näherung darf nur angewendet werden, wenn die -Aufenthaltswahrscheinlicheit des Elektrons -innerhalb $r_0$ vernachlässigbar ist. -Für das Wasserstoffatom ist diese Näherung für alle Zustände gerechtfertigt. -\item -Da $M \gg m$, kann das Proton als in Ruhe angenommen werden. -\end{enumerate} - -\subsection{Herleitung zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung} -\label{laguerre:subsection:herleitung_schroedinger} -Das Problem ist kugelsymmetrisch, -darum transformieren wir das Problem in Kugelkoordinaten. -Somit gilt: - -\begin{align*} - r - & = - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ - \vartheta - & = - \arccos\left(\frac{z}{r}\right)\\ - \varphi - & = - \arctan\left(\frac{y}{x}\right) -\end{align*} - -Die potentielle Energie $V_C(r)$ hat keine direkte Zeitabhängigkeit. -Daraus folgt, dass die konstant ist Gesamtenergie $E$ -und es existieren stationäre Zustände - -\begin{align} - \psi(r, \vartheta, \varphi, t) - = - u(r, \vartheta, \varphi) e^{-i E t / h}, -\end{align} -wobei $u(r, \vartheta, \varphi)$ -die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. - -\begin{align} - -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta u(r, \vartheta, \varphi) - + V_C(r) u(r, \vartheta, \varphi) - = - E u(r, \vartheta, \varphi) - \label{laguerre:schroedinger} -\end{align} - -Für Kugelkoordinaten hat der Laplace-Operator $\Delta$ die Form - -\begin{align} - \Delta - = - \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} \left( r^2 \pdv{}{r} \right) - + \frac{1}{r^2 \sin\vartheta} \pdv{}{\vartheta} - \left(\sin\vartheta \pdv{}{\vartheta}\right) - + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} - \label{laguerre:laplace_kugel} -\end{align} - -Setzt man nun -\eqref{laguerre:coulombenergie} und \eqref{laguerre:laplace_kugel} -in \eqref{laguerre:schroedinger} ein, -erhält man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für Kugelkoordinaten - -\begin{align} -\nonumber -- \frac{\hbar^2}{2m} -& -\left( -\frac{1}{r^2} \pdv{}{r} -\left( r^2 \pdv{}{r} \right) -+ -\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta} -\left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right) -+ -\frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} -\right) -u(r, \vartheta, \varphi) -\\ -& - -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi) -= -E u(r, \vartheta, \varphi). -\label{laguerre:pdg_h_atom} -\end{align} - -\subsection{Separation der Schrödinger-Gleichung} -\label{laguerre:subsection:seperation_schroedinger} -- cgit v1.2.1