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Date: Wed, 6 Apr 2022 08:00:09 +0200
Subject: Start definition.tex

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 buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex | 147 +++++++++++++++++++++++++++++++----
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 \section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms
 \label{laguerre:section:radial_h_atom}}
 
+Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton im Kern 
+mit Masse $M$ und Ladung $+e$.
+Ein Elektron mit Masse $m$ und Ladung $-e$ umkreist das Proton
+(vgl. Abbildung~\ref{laguerre:fig:wasserstoff_model}).
+Für das folgende Model werden folgende Annahmen getroffen:
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/wasserstoff_model.pdf}
+\caption{Skizze eines Wasserstoffatoms.
+Kartesische, wie auch Kugelkoordinaten sind eingezeichnet.
+}
+\label{laguerre:fig:wasserstoff_model}
+\end{figure}
+
+\begin{enumerate}
+\item 
+Das Elektron wird als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet, 
+das heisst,
+relativistische Effekte sind vernachlässigbar.
+\item        
+Der Spin des Elektrons und des Protons
+und das damit verbundene magnetische Moment
+wird vernachlässigt.
+\item
+Fluktuationen des Vakuums werden nicht berücksichtigt.
+\item
+Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton
+ist durch die Coulombwechselwirkung gegeben. 
+Somit entspricht die potentielle Energie der Coulombenergie $V_C(r)$
+und nimmt damit die folgende Form an
+\begin{align}
+    V_C(r) 
+    = 
+    -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}
+    \text{ mit }
+    r
+    =
+    \lvert\vec{r}\rvert
+    = 
+    \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
+    .
+    \label{laguerre:coulombenergie}
+\end{align}
+Im Falle das der Kern einen endlichen Radius $r_0$ besitzt,
+ist die $1/r$-Abhängigkeit in Gleichung \eqref{laguerre:coulombenergie}
+als Näherung zu betrachten.
+Diese Näherung darf nur angewendet werden, wenn die 
+Aufenthaltswahrscheinlicheit des Elektrons
+innerhalb $r_0$ vernachlässigbar ist.
+Für das Wasserstoffatom ist diese Näherung für alle Zustände gerechtfertigt.
+\item
+Da $M \gg m$, kann das Proton als in Ruhe angenommen werden.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Herleitung zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung}
+\label{laguerre:subsection:herleitung_schroedinger}
+Das Problem ist kugelsymmetrisch, 
+darum transformieren wir das Problem in Kugelkoordinaten.
+Somit gilt:
+
+\begin{align*}
+    r
+    & =
+    \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\
+    \vartheta
+    & =
+    \arccos\left(\frac{z}{r}\right)\\
+    \varphi
+    & =
+    \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
+\end{align*}
+
+Die potentielle Energie $V_C(r)$ hat keine direkte Zeitabhängigkeit.
+Daraus folgt, dass die konstant ist Gesamtenergie $E$
+und es existieren stationäre Zustände
+
 \begin{align}
-    \nonumber
-    - \frac{\hbar^2}{2m} 
-    &
-    \left( 
-        \frac{1}{r^2} \pdv{}{r}
-        \left( r^2 \pdv{}{r} \right)
-        +
-        \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta}
-        \left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right)
-        +
-        \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi}
-    \right)
-    u(r, \vartheta, \varphi)
-    \\
-    & -
-    \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi)
+    \psi(r, \vartheta, \varphi, t)
+    =
+    u(r, \vartheta, \varphi) e^{-i E t / h},
+\end{align}
+wobei $u(r, \vartheta, \varphi)$ 
+die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt.
+
+\begin{align}
+    -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta u(r, \vartheta, \varphi)
+    + V_C(r) u(r, \vartheta, \varphi)
     =
     E u(r, \vartheta, \varphi)
-    \label{laguerre:pdg_h_atom}
+    \label{laguerre:schroedinger}
+\end{align}
+
+Für Kugelkoordinaten hat der Laplace-Operator $\Delta$ die Form
+
+\begin{align}
+    \Delta
+    =
+    \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} \left( r^2 \pdv{}{r} \right)
+    + \frac{1}{r^2 \sin\vartheta} \pdv{}{\vartheta} 
+    \left(\sin\vartheta \pdv{}{\vartheta}\right)
+    + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \pdv[2]{}{\varphi}
+    \label{laguerre:laplace_kugel}
 \end{align}
+
+Setzt man nun 
+\eqref{laguerre:coulombenergie} und \eqref{laguerre:laplace_kugel} 
+in \eqref{laguerre:schroedinger} ein,
+erhält man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für Kugelkoordinaten
+
+\begin{align}
+\nonumber
+- \frac{\hbar^2}{2m} 
+&
+\left( 
+\frac{1}{r^2} \pdv{}{r}
+\left( r^2 \pdv{}{r} \right)
++
+\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta}
+\left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right)
++
+\frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi}
+\right)
+u(r, \vartheta, \varphi)
+\\
+& -
+\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi)
+=
+E u(r, \vartheta, \varphi).
+\label{laguerre:pdg_h_atom}
+\end{align}
+
+\subsection{Separation der Schrödinger-Gleichung}
+\label{laguerre:subsection:seperation_schroedinger}
-- 
cgit v1.2.1