From 1666b63c2f4d5e8392c40ab6f6c8e9e71f20f4a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= <patrik.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 07:14:37 +0200
Subject: Resolve error in orthogonality proof

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 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 14 +++++++-------
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(limited to 'buch/papers/laguerre')

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index 6ba9135..1411f7c 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -97,38 +97,38 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p
+(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
 =
--\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--(\nu + 1)\log x - x + c
+(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
--C x^{\nu + 1} e^{-x}
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
 .
 \end{align*}
 Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} +
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
 (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
 \right)
 =
 x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
 \end{align*}
 Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
-dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$.
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$ mit $\nu \geq 0$.
 Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an,
 deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den
 Definitionsbereich $(0, \infty)$.
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