From 403b8888ab0702f4d4cf4c7df24adc8c3fa45ab0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Patrik=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 7 Mar 2022 17:19:47 +0100 Subject: Start paper about Laguerre polynomials --- buch/papers/laguerre/definition.tex | 48 +++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 8 ++++++ buch/papers/laguerre/main.tex | 36 +++++++------------------ buch/papers/laguerre/packages.tex | 2 +- buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 29 ++++++++++++++++++++ buch/papers/laguerre/transformation.tex | 31 +++++++++++++++++++++ buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex | 29 ++++++++++++++++++++ 7 files changed, 156 insertions(+), 27 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/laguerre/definition.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/quadratur.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/transformation.tex create mode 100644 buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex (limited to 'buch/papers/laguerre') diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..5f6d8bd --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% definition.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Definition +\label{laguerre:section:definition}} +\rhead{Definition} + +\begin{align} + x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + = + 0 + \label{laguerre:dgl} +\end{align} + +\begin{align} + L_n(x) + = + \sum_{k=0}^{n} + \frac{(-1)^k}{k!} + \begin{pmatrix} + n \\ + k + \end{pmatrix} + x^k + \label{laguerre:polynom} +\end{align} + +\begin{align} + x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x) + = + 0 + \label{laguerre:generell_dgl} +\end{align} + +\begin{align} + L_n^\alpha (x) + = + \sum_{k=0}^{n} + \frac{(-1)^k}{k!} + \begin{pmatrix} + n + \alpha \\ + n - k + \end{pmatrix} + x^k + \label{laguerre:polynom} +\end{align} diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex new file mode 100644 index 0000000..b7597e5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +% +% eigenschaften.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Eigenschaften +\label{laguerre:section:eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex index 207e8d7..1fe0f8b 100644 --- a/buch/papers/laguerre/main.tex +++ b/buch/papers/laguerre/main.tex @@ -1,36 +1,20 @@ % -% main.tex -- Paper zum Thema +% main.tex -- Paper zum Thema Laguerre-Polynome % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:laguerre}} -\lhead{Thema} +\chapter{Laguerre-Polynome\label{chapter:laguerre}} +\lhead{Laguerre-Polynome} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Patrik Müller} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +Hier kommt eine Einleitung. -\input{papers/laguerre/teil0.tex} -\input{papers/laguerre/teil1.tex} -\input{papers/laguerre/teil2.tex} -\input{papers/laguerre/teil3.tex} +\input{papers/laguerre/definition} +\input{papers/laguerre/eigenschaften} +\input{papers/laguerre/quadratur} +\input{papers/laguerre/transformation} +\input{papers/laguerre/wasserstoff} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/laguerre/packages.tex b/buch/papers/laguerre/packages.tex index 6fbe890..ab55228 100644 --- a/buch/papers/laguerre/packages.tex +++ b/buch/papers/laguerre/packages.tex @@ -6,5 +6,5 @@ % if your paper needs special packages, add package commands as in the % following example -%\usepackage{packagename} +\usepackage{derivative} diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex new file mode 100644 index 0000000..8ab1af5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% quadratur.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Gauss-Laguerre Quadratur +\label{laguerre:section:quadratur}} + +\begin{align} + \int_a^b f(x) w(x) + \approx + \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i + \label{laguerre:gaussquadratur} +\end{align} + +\begin{align} + \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx + \approx + \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i + \label{laguerre:laguerrequadratur} +\end{align} + +\begin{align} + A_i + = + \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} + \label{laguerre:quadratur_gewichte} +\end{align} + diff --git a/buch/papers/laguerre/transformation.tex b/buch/papers/laguerre/transformation.tex new file mode 100644 index 0000000..4de86b6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/transformation.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +% +% transformation.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Laguerre Transformation +\label{laguerre:section:transformation}} +\begin{align} + L \left\{ f(x) \right\} + = + \tilde{f}_\alpha(n) + = + \int_0^\infty e^{-x} x^\alpha L_n^\alpha(x) f(x) dx + \label{laguerre:transformation} +\end{align} + +\begin{align} + L^{-1} \left\{ \tilde{f}_\alpha(n) \right\} + = + f(x) + = + \sum_{n=0}^{\infty} + \begin{pmatrix} + n + \alpha \\ + n + \end{pmatrix}^{-1} + \frac{1}{\Gamma(\alpha + 1)} + \tilde{f}_\alpha(n) + L_n^\alpha(x) + \label{laguerre:inverse_transformation} +\end{align} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex new file mode 100644 index 0000000..caaa6af --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% wasserstoff.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms +\label{laguerre:section:radial_h_atom}} + +\begin{align} + \nonumber + - \frac{\hbar^2}{2m} + & + \left( + \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} + \left( r^2 \pdv{}{r} \right) + + + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta} + \left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right) + + + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} + \right) + u(r, \vartheta, \varphi) + \\ + & - + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi) + = + E u(r, \vartheta, \varphi) + \label{laguerre:pdg_h_atom} +\end{align} -- cgit v1.2.1