From 56cc6c1fbae271c16c78935384b52e047cdd6f27 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 19 May 2022 16:11:27 +0200
Subject: Error correction & add gamma integrand plot

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 buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex    | 11 ++++++++--
 buch/papers/laguerre/gamma.tex            |  4 ++--
 buch/papers/laguerre/quadratur.tex        |  6 +++---
 buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py | 34 +++++++++++++++++++++++++++++++
 4 files changed, 48 insertions(+), 7 deletions(-)
 create mode 100644 buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py

(limited to 'buch/papers/laguerre')

diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index b0cc3a3..93d19a3 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -25,13 +25,20 @@ Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
 bei
 den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
 Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+Der Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
 S
 =
 \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
 \label{laguerre:slop}
 \end{align}
+und der Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\end{align}
+sind einander gleichzusetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -56,7 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+-\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
 \\
 \log p
  & =
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index e3838b0..b15523b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -30,12 +30,12 @@ welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur
 berechnet zu werden.
 
 \subsubsection{Funktionalgleichung}
-Die Funktionalgleichung besagt
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
 \begin{align}
 z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
 \label{laguerre:gamma_funktional}
 \end{align}
-Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten,
+Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
 geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
 um das gewünschte Resultat zu erhalten.
 
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 60fad7f..be69dee 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
   \label{laguerre:section:quadratur}}
  {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur}
 \begin{align}
-\int_a^b f(x) w(x)
+\int_a^b f(x) w(x) \, dx
 \approx
 \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
 \label{laguerre:gaussquadratur}
@@ -33,7 +33,7 @@ Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren:
 Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
 des verwendeten Polynoms genommen werden.
 Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
-als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
+als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
 Dabei sind
 \begin{align*}
 l_i(x_j)
@@ -57,7 +57,7 @@ A_i
 \subsubsection{Fehlerterm}
 Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
 \begin{align*}
-\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
 =
 \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
 \end{align*}
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
new file mode 100644
index 0000000..89b9256
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
@@ -0,0 +1,34 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+import os
+from pathlib import Path
+
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+EPSILON = 1e-12
+xlims = np.array([-3, 3])
+
+root = str(Path(__file__).parent)
+img_path = f"{root}/../images"
+os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+z = np.arange(-5, 5)[None] + 0.5
+
+
+r = t ** z
+
+fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4))
+ax.semilogx(t, r)
+ax.set_xlim(*(10.**xlims))
+ax.set_ylim(1e-3, 40)
+ax.set_xlabel(r"$t$")
+ax.set_ylabel(r"$t^z$")
+ax.grid(1, "both")
+labels = [f"$z={zi:.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left")
+fig.savefig(f"{img_path}/integrands.pdf")
+# plt.show()
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cgit v1.2.1