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From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 19:38:35 +0200
Subject: Added analysis of reaching target

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 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 204 +++++++++++++++--------------------------
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Ziel
+\section{Wird das Ziel erreicht?
 \label{lambertw:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
 
-
-
-%\begin{figure}[H]
-%	\centering
-%	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{.\Bilder\something.pdf}
-%   \label{pursuer:grafik1}
-%\end{figure}
-
-
-
-Je nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine andere DGL.
-Für dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Strategie gewählt.
-Bei dieser Strategie bewegt sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel hinzu.
-Womit der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers zu jeder Zeit direkt auf das Ziel zeigt.
-
-Um die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer:grafik1} aufgezeigt.
-Der Punkt $P$ ist der Verfolger und der Punkt $A$ ist sein Ziel.
-
-Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor
-\begin{equation}
-    \frac{A-P}{|A-P|}
+Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird.
+Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
+Sobald diese Frage beantwortet wurde stellt sich meist die Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
+Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel betrachtet.
+
+\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
+\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
+Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
+Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
+\begin{align*}
+    x\left(t\right)
+    &=
+    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+    y(x)
+    &=
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+    \chi
+    &=
+    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+    \eta
+    &=
+    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+    \:;\:
+    r_0
     =
-    \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
-\end{equation}
-benötigt. Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OA}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $P$ auf $A$ zeigt.
-Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt.
-Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $A$ und $P$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
-Wenn die Punkte $A$ und $P$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
+    \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+\end{align*}
+Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind
 
-Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren.
 \begin{equation}
-    \label{pursuer:pursuerDGL}
-    \frac{A-P}{|A-P|}\cdot \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
+    \overrightarrow{Z}(t)
+    =
+    \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
     =
-    1
+    \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
+    ;\quad
+    \overrightarrow{V}(t)
+    =
+    \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
+    \label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
-Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel zubewegt.
 
+Somit gilt es
 
-\subsection{Beispiel}
-Das Verfolgungsproblem wird mithilfe eines konkreten Beispiels veranschaulicht. Dafür wird die einfachste Strategie verwendet, bei der sich der Verfolger direkt auf sein Ziel hinzu bewegt. Für dieses Problem wurde bereits die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} hergeleitet.
+\begin{equation*}
+    \overrightarrow{Z}(t_1)=\overrightarrow{V}(t_1)
+\end{equation*}
 
-Um dieses Beispiel einfach zu halten, wird für den Verfolger und das Ziel jeweils eine konstante Geschwindigkeit von eins gewählt. Das Ziel wiederum startet im Ursprung und bewegt sich linear auf der positiven Y-Achse.
+zu lösen. Da die $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
 
-\begin{align}
-    v_P^2
+\begin{align*}
+    0
     &=
-    \dot{P}\cdot\dot{P}
+    x(t)
     =
-    1
-    \\[5pt]
-    v_A
-    &=
-    1
-    \\[5pt]
-    A
+    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+    \\
+    v \cdot t
     &=
-    \begin{pmatrix}
-    	0 \\
-    	v_A\cdot t
-    \end{pmatrix}
-	=
-	\begin{pmatrix}
-		0 \\
-		t
-	\end{pmatrix}
-	\\[5pt]
-	P
-	&=
-	\begin{pmatrix}
-		x \\
-		y
-	\end{pmatrix}
-\end{align}
-
-Die Anfangsbedingungen dieses Problems sind.
-
-\begin{align}
-	y(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	y_0
-	\\[5pt]
-	x(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	x_0 \\[5pt]
-	\frac{\,dy}{\,dx}(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	\frac{y_A(t) -y_P(t)}{x_A(t)-x_P(t)}\bigg|_{t=0}
-\end{align}
-
-Mit den vorangegangenen Definitionen kann nun die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} gelöst werden.
-Dafür wird als erstes das Skalarprodukt ausgerechnet.
+    y(t)
+    =
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
+    \\
+\end{align*}
+
+Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
 
 \begin{equation}
-	\dfrac{-x\cdot\dot{x}+(t-y)\cdot\dot{y}}{\sqrt{x^2+(t-y)^2}} = 1
+    0
+    =
+    W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 \end{equation}
 
+Dies entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
 
+\begin{equation*}
+    W(0)=0
+\end{equation*}
 
+besitzt. Kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
 
-
-
-
-
-
-
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 \begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{lambertw:equation1}
+    0
+    =
+    \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
 \end{equation}
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-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{lambertw:subsection:finibus}}
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-
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-\ref{lambertw:section:folgerung}.
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+
+Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
+Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
+Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffer möglich wäre.
+Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden.
+Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
+Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
 
 
-- 
cgit v1.2.1

