From d2a5fa34c505f498845f3c8ab8335c090bd1bfec Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yanik Kuster <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Wed, 6 Apr 2022 11:30:37 +0200
Subject: derivation of pursuerproblem DGL

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 109 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 108 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 7b545c3..493ec05 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -3,9 +3,116 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
+\section{Beispiel ()
 \label{lambertw:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
+
+
+
+%\begin{figure}[H]
+%	\centering
+%	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{.\Bilder\something.pdf}
+%   \label{pursuer:grafik1}
+%\end{figure}
+
+
+
+Je nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine andere DGL.
+Für dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Strategie gewählt.
+Bei dieser Strategie bewegt sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel hinzu.
+Womit der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers zu jeder Zeit direkt auf das Ziel zeigt.
+
+Um die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer:grafik1} aufgezeigt.
+Der Punkt $P$ ist der Verfolger und der Punkt $A$ ist sein Ziel.
+
+Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor
+\begin{equation}
+    \frac{A-P}{|A-P|}
+    =
+    \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
+\end{equation}
+benötigt. Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OA}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $P$ auf $A$ zeigt.
+Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt.
+Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $A$ und $P$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
+Wenn die Punkte $A$ und $P$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
+
+Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren.
+\begin{equation}
+    \label{pursuer:pursuerDGL}
+    \frac{A-P}{|A-P|}\cdot \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
+    =
+    1
+\end{equation}
+Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel zubewegt.
+
+
+\subsection{Beispiel}
+Das Verfolgungsproblem wird mithilfe eines konkreten Beispiels veranschaulicht. Dafür wird die einfachste Strategie verwendet, bei der sich der Verfolger direkt auf sein Ziel hinzu bewegt. Für dieses Problem wurde bereits die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} hergeleitet.
+
+Um dieses Beispiel einfach zu halten, wird für den Verfolger und das Ziel jeweils eine konstante Geschwindigkeit von eins gewählt. Das Ziel wiederum startet im Ursprung und bewegt sich linear auf der positiven Y-Achse.
+
+\begin{align}
+    v_P^2
+    &=
+    \dot{P}\cdot\dot{P}
+    =
+    1
+    \\[5pt]
+    v_A
+    &=
+    1
+    \\[5pt]
+    A
+    &=
+    \begin{pmatrix}
+    	0 \\
+    	v_A\cdot t
+    \end{pmatrix}
+	=
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		t
+	\end{pmatrix}
+	\\[5pt]
+	P
+	&=
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+Die Anfangsbedingungen dieses Problems sind.
+
+\begin{align}
+	y(t)\bigg|_{t=0}
+	&=
+	y_0
+	\\[5pt]
+	x(t)\bigg|_{t=0}
+	&=
+	x_0 \\[5pt]
+	\frac{\,dy}{\,dx}(t)\bigg|_{t=0}
+	&=
+	\frac{y_A(t) -y_P(t)}{x_A(t)-x_P(t)}\bigg|_{t=0}
+\end{align}
+
+Mit den vorangegangenen Definitionen kann nun die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} gelöst werden.
+Dafür wird als erstes das Skalarprodukt ausgerechnet.
+
+\begin{equation}
+	\dfrac{-x\cdot\dot{x}+(t-y)\cdot\dot{y}}{\sqrt{x^2+(t-y)^2}} = 1
+\end{equation}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
 accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
 quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-- 
cgit v1.2.1


From 1badf707f9ebd0642bb6a1d282059b6e867a44af Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 20:06:05 +0200
Subject: rearranged the introduction

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 493ec05..cc4a62a 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Beispiel ()
+\section{Ziel
 \label{lambertw:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 35d08feb3fdcae56cad97ab48822b0f8c2ab4aa1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 19:38:35 +0200
Subject: Added analysis of reaching target

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 204 +++++++++++++++--------------------------
 1 file changed, 73 insertions(+), 131 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index cc4a62a..3415c45 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -3,160 +3,102 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Ziel
+\section{Wird das Ziel erreicht?
 \label{lambertw:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
 
-
-
-%\begin{figure}[H]
-%	\centering
-%	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{.\Bilder\something.pdf}
-%   \label{pursuer:grafik1}
-%\end{figure}
-
-
-
-Je nach Verfolgungsstrategie die der Verfolger verwendet, entsteht eine andere DGL.
-Für dieses konkrete Beispiel wird einfachheitshalber die simpelste Strategie gewählt.
-Bei dieser Strategie bewegt sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel hinzu.
-Womit der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers zu jeder Zeit direkt auf das Ziel zeigt.
-
-Um die DGL dieses Problems herzuleiten wird der Sachverhalt in der Grafik \eqref{pursuer:grafik1} aufgezeigt.
-Der Punkt $P$ ist der Verfolger und der Punkt $A$ ist sein Ziel.
-
-Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird der Richtungsvektor
-\begin{equation}
-    \frac{A-P}{|A-P|}
+Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird.
+Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
+Sobald diese Frage beantwortet wurde stellt sich meist die Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
+Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel betrachtet.
+
+\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
+\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
+Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
+Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
+\begin{align*}
+    x\left(t\right)
+    &=
+    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+    y(x)
+    &=
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+    \chi
+    &=
+    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+    \eta
+    &=
+    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+    \:;\:
+    r_0
     =
-    \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
-\end{equation}
-benötigt. Durch die Subtraktion der Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OA}$ entsteht ein Vektor der vom Punkt $P$ auf $A$ zeigt.
-Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division mit dem Betrag, die Länge auf eins festgelegt.
-Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $A$ und $P$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
-Wenn die Punkte $A$ und $P$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
+    \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+\end{align*}
+Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind
 
-Nun wird die Gleichung mit deren rechten Seite skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren.
 \begin{equation}
-    \label{pursuer:pursuerDGL}
-    \frac{A-P}{|A-P|}\cdot \frac{\dot{P}}{|\dot{P}|}
+    \overrightarrow{Z}(t)
+    =
+    \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
     =
-    1
+    \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
+    ;\quad
+    \overrightarrow{V}(t)
+    =
+    \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
+    \label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
-Diese DGL ist der Kern des Verfolgungsproblems, insofern sich der Verfolger immer direkt auf sein Ziel zubewegt.
 
+Somit gilt es
 
-\subsection{Beispiel}
-Das Verfolgungsproblem wird mithilfe eines konkreten Beispiels veranschaulicht. Dafür wird die einfachste Strategie verwendet, bei der sich der Verfolger direkt auf sein Ziel hinzu bewegt. Für dieses Problem wurde bereits die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} hergeleitet.
+\begin{equation*}
+    \overrightarrow{Z}(t_1)=\overrightarrow{V}(t_1)
+\end{equation*}
 
-Um dieses Beispiel einfach zu halten, wird für den Verfolger und das Ziel jeweils eine konstante Geschwindigkeit von eins gewählt. Das Ziel wiederum startet im Ursprung und bewegt sich linear auf der positiven Y-Achse.
+zu lösen. Da die $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
 
-\begin{align}
-    v_P^2
+\begin{align*}
+    0
     &=
-    \dot{P}\cdot\dot{P}
+    x(t)
     =
-    1
-    \\[5pt]
-    v_A
-    &=
-    1
-    \\[5pt]
-    A
+    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+    \\
+    v \cdot t
     &=
-    \begin{pmatrix}
-    	0 \\
-    	v_A\cdot t
-    \end{pmatrix}
-	=
-	\begin{pmatrix}
-		0 \\
-		t
-	\end{pmatrix}
-	\\[5pt]
-	P
-	&=
-	\begin{pmatrix}
-		x \\
-		y
-	\end{pmatrix}
-\end{align}
-
-Die Anfangsbedingungen dieses Problems sind.
-
-\begin{align}
-	y(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	y_0
-	\\[5pt]
-	x(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	x_0 \\[5pt]
-	\frac{\,dy}{\,dx}(t)\bigg|_{t=0}
-	&=
-	\frac{y_A(t) -y_P(t)}{x_A(t)-x_P(t)}\bigg|_{t=0}
-\end{align}
-
-Mit den vorangegangenen Definitionen kann nun die DGL \eqref{pursuer:pursuerDGL} gelöst werden.
-Dafür wird als erstes das Skalarprodukt ausgerechnet.
+    y(t)
+    =
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
+    \\
+\end{align*}
+
+Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
 
 \begin{equation}
-	\dfrac{-x\cdot\dot{x}+(t-y)\cdot\dot{y}}{\sqrt{x^2+(t-y)^2}} = 1
+    0
+    =
+    W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 \end{equation}
 
+Dies entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
 
+\begin{equation*}
+    W(0)=0
+\end{equation*}
 
+besitzt. Kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
 
-
-
-
-
-
-
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
 \begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{lambertw:equation1}
+    0
+    =
+    \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
 \end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{lambertw:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{lambertw:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{lambertw:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+
+Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
+Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
+Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffer möglich wäre.
+Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden.
+Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
+Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 8d63b7cdea0c9bed2fed397a7dd35cf9c53aae8b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Wed, 20 Jul 2022 22:04:39 +0200
Subject: adjusted chapter

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 21 +++++++++++++++------
 1 file changed, 15 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 3415c45..2f71f43 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -25,7 +25,7 @@ Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
     \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
     \chi
     &=
-    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\
     \eta
     &=
     \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
@@ -37,13 +37,13 @@ Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
 Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind
 
 \begin{equation}
-    \overrightarrow{Z}(t)
+    \vec{Z}(t)
     =
     \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
     =
     \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
     ;\quad
-    \overrightarrow{V}(t)
+    \vec{V}(t)
     =
     \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
     \label{lambertw:Anfangspunkte}
@@ -52,7 +52,7 @@ Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Z
 Somit gilt es
 
 \begin{equation*}
-    \overrightarrow{Z}(t_1)=\overrightarrow{V}(t_1)
+    \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1)
 \end{equation*}
 
 zu lösen. Da die $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
@@ -72,7 +72,10 @@ zu lösen. Da die $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei
     \\
 \end{align*}
 
-Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
+Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet.
+Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
+Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+Die Gleichung
 
 \begin{equation}
     0
@@ -80,7 +83,8 @@ Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. Diese kann durch quadrier
     W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 \end{equation}
 
-Dies entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+
+entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
 
 \begin{equation*}
     W(0)=0
@@ -100,5 +104,10 @@ Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffe
 Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden.
 Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
 Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
+Dies kann mathematisch mit 
+
+\begin{equation}
+    |\vec{V}-\vec{Z]|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0
+\end{equation}
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From a7da84afe5d97069c243f103bb1438a459764cd3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Wed, 20 Jul 2022 22:07:21 +0200
Subject: further adjustment

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 12 +++++++++++-
 1 file changed, 11 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 2f71f43..eb43b3e 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -104,10 +104,20 @@ Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffe
 Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden.
 Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
 Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
-Dies kann mathematisch mit 
+Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
+Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
+Mathematisch kann dies mit
 
 \begin{equation}
     |\vec{V}-\vec{Z]|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0
 \end{equation}
 
+beschrieben werden, wobei $a_min$ dem Trefferradius entspricht.
+Diese Gleichung wird noch quadriert, um die Wurzeln des Betrages loszuwerden.
+Da sowohl der Betrag als auch $a_min$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
+
+\begin{equation}
+    |\vec{V}-\vec{Z]|^2<a_min^2 \quad a_min\in\mathbb{R}>0
+\end{equation}
+
 
-- 
cgit v1.2.1


From 1504ba1daa40a4ea1057a767dab89a210a9f4ae4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Thu, 21 Jul 2022 12:07:31 +0200
Subject: Corrected writing Error

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index eb43b3e..aa7f226 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -29,9 +29,9 @@ Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
     \eta
     &=
     \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
-    \:;\:
+    \\
     r_0
-    =
+    &=
     \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
 \end{align*}
 Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind
@@ -55,7 +55,7 @@ Somit gilt es
     \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1)
 \end{equation*}
 
-zu lösen. Da die $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
+zu lösen. Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
 
 \begin{align*}
     0
-- 
cgit v1.2.1


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From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Thu, 21 Jul 2022 12:29:12 +0200
Subject: corrected a typo

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 4 ++--
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(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index aa7f226..e8171fd 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -109,7 +109,7 @@ Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
 Mathematisch kann dies mit
 
 \begin{equation}
-    |\vec{V}-\vec{Z]|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0
+    |\vec{V}-\vec{Z}|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0
 \end{equation}
 
 beschrieben werden, wobei $a_min$ dem Trefferradius entspricht.
@@ -117,7 +117,7 @@ Diese Gleichung wird noch quadriert, um die Wurzeln des Betrages loszuwerden.
 Da sowohl der Betrag als auch $a_min$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
 
 \begin{equation}
-    |\vec{V}-\vec{Z]|^2<a_min^2 \quad a_min\in\mathbb{R}>0
+    |\vec{V}-\vec{Z}|^2<a_min^2 \quad a_min\in \mathbb{R} > 0
 \end{equation}
 
 
-- 
cgit v1.2.1


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From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Fri, 22 Jul 2022 15:26:31 +0200
Subject: Polished some sentences. Corrected missing amount in formula. Added
 new information in chapter Wird das Ziel erreicht?

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 116 ++++++++++++++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 81 insertions(+), 35 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index e8171fd..819658a 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -4,18 +4,18 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Wird das Ziel erreicht?
-\label{lambertw:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
+\label{lambertw:section:Wird_das_Ziel_erreicht}}
+\rhead{Wird das Ziel erreicht?}
 
 Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird.
 Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
-Sobald diese Frage beantwortet wurde stellt sich meist die Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
+Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
 Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel betrachtet.
-
-\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
-\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
+%
+%\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
+%\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
 Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
-Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
+Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten
 \begin{align*}
     x\left(t\right)
     &=
@@ -32,30 +32,36 @@ Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen
     \\
     r_0
     &=
-    \sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+    \sqrt{x_0^2+y_0^2} \text{.}\\
 \end{align*}
-Wir definieren einen Treffer wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels übereinstimmen bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$. Aus dem vorangegangenem Beispiel, sind die Gleichungen zu den x- und y-Koordinaten des Verfolgers bekannt. Die Des Ziels sind
+%
+Das Ziel wird erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
+Somit gilt es
+
+\begin{equation*}
+    \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1)
+\end{equation*}
+%
+zu lösen.
+Aus dem vorangegangenem Beispiel, ist die Parametrisierung des Verfolgers und des Ziels bekannt.
+Das Ziel wird parametrisiert durch
 
 \begin{equation}
     \vec{Z}(t)
     =
-    \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
-    =
     \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
-    ;\quad
+\end{equation}
+%
+und der Verfolger durch
+
+\begin{equation}
     \vec{V}(t)
     =
     \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
-    \label{lambertw:Anfangspunkte}
+    \text{.}
 \end{equation}
-
-Somit gilt es
-
-\begin{equation*}
-    \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1)
-\end{equation*}
-
-zu lösen. Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden.
+%
+ Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden. Es entstehen daher folgende Bedingungen
 
 \begin{align*}
     0
@@ -71,7 +77,8 @@ zu lösen. Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einz
     \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
     \\
 \end{align*}
-
+%
+, welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
 Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet.
 Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
 Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
@@ -82,26 +89,62 @@ Die Gleichung
     =
     W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 \end{equation}
-
-
+%
 entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
 
 \begin{equation*}
     W(0)=0
 \end{equation*}
-
-besitzt. Kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
+%
+besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
 
 \begin{equation}
     0
     =
     \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+    \text{.}
 \end{equation}
-
+%
 Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
 Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
-Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Treffer möglich wäre.
-Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie getroffen werden.
+Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
+Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+Aus der Symmetrie des Problems an der y-Achse können auch alle Anfangspunkte im zweiten Quadranten die Bedingungen nicht erfüllen.
+Bei allen Anfangspunkten mit $y_0<0$ ist ein Einholen unmöglich, da die Geschwindigkeit des Verfolgers und Ziels übereinstimmen und der Verfolger dem Ziel bereits am Anfang nachgeht.
+Wenn die Wertemenge der Anfangsbedingung um die positive y-Achse erweitert wird, kann das Ziel wiederum erreicht werden.
+Sobald der Verfolger auf der positiven y-Achse startet, bewegen sich Verfolger und Ziel aufeinander zu, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel Zeigt und der Verfolger sich auf der Fluchtgeraden befindet.
+Dies führt zwingend dazu, dass der Verfolger das Ziel erreichen wird.
+Die Verfolgungskurve kann in diesem Fall mit
+
+\begin{equation}
+    \vec{V}(t)
+    =
+    \left( \begin{array}{c} 0 \\ y_0-t \end{array} \right)
+\end{equation}
+%
+parametrisiert werden.
+Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden.
+Daraus folgt
+
+\begin{equation}
+    0
+    =
+    |\vec{V}(t_1)-\vec{Z}(t_1)|
+    =
+    y_0-2t_1
+\end{equation}
+%
+, was aufgelöst zu
+
+\begin{equation}
+    t_1
+    =
+    \frac{y_0}{2}
+\end{equation}
+%
+führt.
+Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven y-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
+Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen.
 Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
 Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
 Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
@@ -109,15 +152,18 @@ Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
 Mathematisch kann dies mit
 
 \begin{equation}
-    |\vec{V}-\vec{Z}|<a_min \quad a_min\in\mathbb{R}>0
+    |\vec{V}-\vec{Z}|<a_{min} \quad a_{min}\in\mathbb{R}>0
 \end{equation}
-
-beschrieben werden, wobei $a_min$ dem Trefferradius entspricht.
-Diese Gleichung wird noch quadriert, um die Wurzeln des Betrages loszuwerden.
-Da sowohl der Betrag als auch $a_min$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
+%
+beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht.
+Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
 
 \begin{equation}
-    |\vec{V}-\vec{Z}|^2<a_min^2 \quad a_min\in \mathbb{R} > 0
+    |\vec{V}-\vec{Z}|^2<a_{min}^2 \quad a_{min}\in \mathbb{R} > 0
 \end{equation}
+%
+die neue Bedingung ist.
+Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From df7209b60ecfb28b0f32a674920357cec038d6a0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Kuster Yanik <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Fri, 22 Jul 2022 15:58:02 +0200
Subject: Corrected typos

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 819658a..b46ed12 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel bet
 %\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
 %\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
 Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
-Wir verwenden die Hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten
+Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten
 \begin{align*}
     x\left(t\right)
     &=
@@ -112,7 +112,7 @@ Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
 Aus der Symmetrie des Problems an der y-Achse können auch alle Anfangspunkte im zweiten Quadranten die Bedingungen nicht erfüllen.
 Bei allen Anfangspunkten mit $y_0<0$ ist ein Einholen unmöglich, da die Geschwindigkeit des Verfolgers und Ziels übereinstimmen und der Verfolger dem Ziel bereits am Anfang nachgeht.
 Wenn die Wertemenge der Anfangsbedingung um die positive y-Achse erweitert wird, kann das Ziel wiederum erreicht werden.
-Sobald der Verfolger auf der positiven y-Achse startet, bewegen sich Verfolger und Ziel aufeinander zu, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel Zeigt und der Verfolger sich auf der Fluchtgeraden befindet.
+Sobald der Verfolger auf der positiven y-Achse startet, bewegen sich Verfolger und Ziel aufeinander zu, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt und der Verfolger sich auf der Fluchtgeraden befindet.
 Dies führt zwingend dazu, dass der Verfolger das Ziel erreichen wird.
 Die Verfolgungskurve kann in diesem Fall mit
 
-- 
cgit v1.2.1


From f203a63e8310dac852efccd3ed957362b0ed0761 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yanik Kuster <yanik.kuster@ost.ch>
Date: Sat, 23 Jul 2022 19:39:26 +0200
Subject: Adjusted x(t), due to earlier error

---
 buch/papers/lambertw/teil1.tex | 34 +++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index b46ed12..fa7deb1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -15,21 +15,20 @@ Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel bet
 %\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
 %\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
 Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
-Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten
+Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkXNachT} für Startbedingung im ersten Quadranten
 \begin{align*}
     x\left(t\right)
     &=
-    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
-    y(x)
+    x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+    y(t)
     &=
-    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
     \chi
     &=
     \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\
     \eta
     &=
-    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
-    \\
+    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2\\
     r_0
     &=
     \sqrt{x_0^2+y_0^2} \text{.}\\
@@ -68,29 +67,28 @@ und der Verfolger durch
     &=
     x(t)
     =
-    \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+    x_0\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
     \\
-    v \cdot t
+    t
     &=
     y(t)
     =
-    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
+    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)
     \\
 \end{align*}
 %
 , welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
 Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet.
-Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden.
-Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
-Die Gleichung
-
+Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt 
 \begin{equation}
-    0
-    =
-    W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	0
+	=
+	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	\text{.}
 \end{equation}
 %
-entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel  \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
 
 \begin{equation*}
     W(0)=0
@@ -167,3 +165,5 @@ Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage u
 
 
 
+
+
-- 
cgit v1.2.1

