From 301b946bc51b69cd72c8860f0ff3632c57decb22 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: David Hugentobler <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Mon, 4 Apr 2022 23:29:52 +0200
Subject: erneut versuchen teil4.tex zu commiten

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 81 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/lambertw/teil4.tex

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..74b6b02
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -0,0 +1,81 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Beispiel Verfolgungskurve
+\label{lambertw:section:teil4}}
+\rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
+
+\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
+\label{lambertw:subsection:malorum}}
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+\begin{equation}
+	Z
+	=
+	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
+	;
+	V
+	=
+	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
+	\label{lambertw:equation2}
+\end{equation}
+Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+\begin{equation}
+	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
+	\circ
+	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
+	=
+	1
+	\label{lambertw:equation3}
+\end{equation}
+Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
+\[
+	\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
+	\circ
+	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
+	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\
+\]
+\begin{equation}
+		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
+		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
+		\label{lambertw:equation4}
+\end{equation}
+Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
+\begin{align*}
+	((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2
+	&= x^2 + (t-y)^2 \\
+	x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y}
+	&= x^2 + (t-y)^2 \\
+	\dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2
+	&= 0 \\
+	(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden und anschliessend mit \(-1\) multiplizieren:
+\[
+	\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
+	= 0
+\]
+\begin{align*}
+	- \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
+	&= 0 \\
+	\dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht:
+\begin{align*}
+	x^2 \dot{y}^2  + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x}  + (t-y)^2 \dot{x}^2
+	&= 0 \\
+	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL:
+\begin{equation}
+	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
+	= 0
+	\label{lambertw:equation5}
+\end{equation}
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From dc51fe760249ea37d410599690df96c94f6d808d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Wed, 6 Apr 2022 11:36:23 +0200
Subject: made some changes in teil4.tex

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 22 ++++++++++++++++++----
 1 file changed, 18 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 74b6b02..d3269ee 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -10,13 +10,15 @@ In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschre
 
 \subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
 \label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	Z
+	A
+	=
+	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	;
-	V
+	P
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:equation2}
@@ -53,7 +55,7 @@ Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen
 	(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
 	&= 0
 \end{align*}
-Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden und anschliessend mit \(-1\) multiplizieren:
+Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert:
 \[
 	\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
 	= 0
@@ -77,5 +79,17 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
 	= 0
 	\label{lambertw:equation5}
 \end{equation}
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+\[
+	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
+	= 0
+\]
+Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+\begin{equation}
+	x y^{\prime} + t - y
+	= 0
+	\label{lambertw:equation6}
+\end{equation}
+Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 5312bb1779adb029f6a115d0ea6fe065b4c878c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Mon, 18 Apr 2022 22:11:56 +0200
Subject: made some changes and added some things to teil4.txt

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 87 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 79 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index d3269ee..598a57e 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \
 	P
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
-	\label{lambertw:equation2}
+	\label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
 Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
@@ -30,7 +30,7 @@ Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt
 	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
 	=
 	1
-	\label{lambertw:equation3}
+	\label{lambertw:eqMitAnfangspunkte}
 \end{equation}
 Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
 \[
@@ -42,7 +42,7 @@ Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
 		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
-		\label{lambertw:equation4}
+		\label{lambertw:eq1BspVerfolgKurve}
 \end{equation}
 Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
 \begin{align*}
@@ -73,7 +73,7 @@ Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Aus
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
 	&= 0
 \end{align*}
-Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL:
+Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eq1BspVerfolgKurve} eine wesentlich einfachere DGL:
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
 	= 0
@@ -88,8 +88,79 @@ Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0
-	\label{lambertw:equation6}
+	\label{lambertw:DGLmitT}
 \end{equation}
-Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man 
-
-
+Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus Analysis 2 zurückgreifen:
+\begin{equation}
+	s
+	= 
+	v \cdot t
+	=
+	t
+	=
+	\int_{x_0}^{x_{end}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
+	\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
+\end{equation}
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+\begin{equation}
+	x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
+	= 0
+	\label{lambertw:DGLohneT}
+\end{equation}
+Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab:
+\begin{align*}
+	y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
+	&= 0 \\
+	xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}}
+	&= 0
+\end{align*}
+Mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) kann vorherige DGL in eine erster Ordnung umgewandelt werden:
+\begin{equation*}
+	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
+	= 0
+	\label{lambertw:DGLmitU}
+\end{equation*}
+Welche mittels Separation gelöst werden kann:
+\begin{align*}
+	arsinh(u) + C_L
+	&=
+	ln(x) + C_R \\
+	arsinh(u)
+	&=
+	ln(x) + C \\
+	u
+	&=
+	sinh(ln(x) + C)
+\end{align*}
+In dem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist:
+\begin{equation}
+	y^{\prime}
+	=
+	sinh(ln(x) + C)
+\end{equation}
+Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(sinh\)-Funktion:
+\begin{align*}
+	y
+	&=
+	\int sinh(ln(x) + C) \\
+	&=
+	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
+	&=
+	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+\end{align*}
+Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+\begin{equation}
+	y(x)
+	=
+	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	\label{lambertw:funkLoes}
+\end{equation}
+Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+\begin{itemize}
+	\item
+	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
+	\item
+	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
+	\item
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+\end{itemize}
-- 
cgit v1.2.1


From 62f06c35b53971f99acdc4477da5e2be98a68c04 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:43:52 +0200
Subject: made some changes

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 93 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 598a57e..6c70174 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -10,15 +10,15 @@ In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschre
 
 \subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
 \label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	A
+	\overrightarrow{Z}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	;
-	P
+	\overrightarrow{V}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:Anfangspunkte}
@@ -79,12 +79,12 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
 	= 0
 	\label{lambertw:equation5}
 \end{equation}
-Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
 \[
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
 	= 0
 \]
-Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0
@@ -146,21 +146,103 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	&=
 	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
 	&=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	\frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\
+	&=
+	C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
 \end{align*}
-Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
+	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+	\label{lambertw:funkLoes}
+	}
+\end{figure}
+
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
 \begin{equation}
-	y(x)
+	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2}
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
 	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
 	\item
 	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
 	\item
-	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+\begin{equation}
+	y(x)\big \vert_{t=0}
+	=
+	y(x_0)
+	= 
+	y_0
+	\:;\:
+	\frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0}
+	=
+	y^{\prime}(x_0)
+	=
+	\frac{y_0}{x_0}
+\end{equation}
+Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		y_0
+		&=
+		C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\
+		\frac{y_0}{x_0}
+		&=
+		 2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2}
+	\end{align}
+\end{subequations}
+... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
+\begin{align*}
+	\eta
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+	\:;\:
+	r_0
+	=
+	\sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+	y
+	&=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+	y^\prime
+	&=
+	\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
+	-4t
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	-4t+\left(y_0+r_0\right)
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)}
+	&=
+	e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\
+	e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+	&=
+	e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\  \\
+	\chi
+	&=
+	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+	\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+	&=
+	\chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\
+	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	&=
+	\chi\eta \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\eta \\
+	x\left(t\right)
+	&=
+	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+\end{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 5d9ae555dc943ae5ec772b7b6efa6b44f131a785 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 17:56:14 +0200
Subject: made some changes and added some text[C

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 12 +++++-------
 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 6c70174..e0f7731 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,11 +6,9 @@
 \section{Beispiel Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
 \rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben.
 
-\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
-\label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadrant und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
 	\overrightarrow{Z}
 	=
@@ -23,7 +21,7 @@ Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei d
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
-Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve \eqref{lambertw:pursuerDGL} einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
 	\circ
@@ -155,7 +153,7 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
 	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
-	\label{lambertw:funkLoes}
+	\label{lambertw:BildFunkLoes}
 	}
 \end{figure}
 
@@ -175,7 +173,7 @@ Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, w
 	\item
 	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
-- 
cgit v1.2.1


From d56bf4f939d25cea9ac9953b2b0f3237b2dfe8cd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 18:35:13 +0200
Subject: added some equations and made some changes

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 14 ++++++++++----
 1 file changed, 10 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index e0f7731..6184369 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -237,10 +237,16 @@ Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfang
 	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
 	&=
 	\eta \\
-	x\left(t\right)
-	&=
-	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
 	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
 	&=
-	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \\
+	x\left(t\right)
+	&=
+	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
 \end{align*}
+\begin{equation}
+	y(t)
+	=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}+\left(r_0-y_0\right)\cdot\mathrm{ln}\ \left(\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}\right)-r_0+3y_0\right)
+	\label{lambertw:funkNachT}
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From b5e57cde49a8cf16d39ad198b2c3e41136c74d4a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Thu, 21 Jul 2022 23:45:02 +0200
Subject: made some changes and added some things

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 70 ++++++++++++++++++++++++++++++------------
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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 6184369..bc1bf4d 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -3,45 +3,60 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Beispiel Verfolgungskurve
+\section{Beispiel einer Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
-\rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben.
+\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt werden und anschliessend gelöst werden.
 
-Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadrant und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
+	\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
+Das zu verfolgende Ziel \(\vec{Z}\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(\vec{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	\overrightarrow{Z}
+	\vec{Z}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
-	;
-	\overrightarrow{V}
+	,\:
+	\vec{V}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
-	\label{lambertw:Anfangspunkte}
+	\:\text{und}\:\:
+	\bigl| \dot{V} \bigl|
+	=
+	1.
+	\label{lambertw:Anfangsbed}
 \end{equation}
-Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve \eqref{lambertw:pursuerDGL} einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt. 
+Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
-	\circ
+	\cdot
 	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
 	=
-	1
-	\label{lambertw:eqMitAnfangspunkte}
+	1.
+	\label{lambertw:eqMitAnfangsbed}
 \end{equation}
-Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
+
+\subsection{DGL vereinfachen
+	\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
+Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
+Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraische Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Also legen wir los! 
+
+Zuerst müssen wir den Bruch in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} los werden, der sieht so nicht handlich aus. Dafür multiplizieren wir beidseitig mit dem Nenner:
 \[
 	\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
-	\circ
+	\cdot
 	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
-	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\
+	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2},\\
 \]
+In einem weiteren Schritt, lösen wir das Skalarprodukt auf und erhalten folgende Gleichung \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} ohne vektorielle Grössen:
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
 		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
-		\label{lambertw:eq1BspVerfolgKurve}
+		\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
 \end{equation}
+Ist es nicht schön? Wir sind die 
 Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
 \begin{align*}
 	((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2
@@ -71,7 +86,10 @@ Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Aus
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
 	&= 0
 \end{align*}
-Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eq1BspVerfolgKurve} eine wesentlich einfachere DGL:
+
+\subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
+	\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
+Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} eine wesentlich einfachere DGL:
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
 	= 0
@@ -112,6 +130,9 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
 	xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}}
 	&= 0
 \end{align*}
+
+\subsection{DGL lösen
+	\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
 Mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) kann vorherige DGL in eine erster Ordnung umgewandelt werden:
 \begin{equation*}
 	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
@@ -149,6 +170,8 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
 \end{align*}
 
+\subsection{Lösung analysieren
+	\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
@@ -173,7 +196,11 @@ Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, w
 	\item
 	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht.
+
+\subsection{Allgemeine Lösung 
+	\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
+Dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
@@ -215,7 +242,12 @@ Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfang
 	\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
 	-4t
 	&=
-	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)
+\end{align*}
+
+\subsection{Funktion nach der Zeit 
+	\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
+\begin{align*}
 	-4t+\left(y_0+r_0\right)
 	&=
 	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
-- 
cgit v1.2.1


From 4e98fc86feda32c0f2c20b879fe357ff64ee1441 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Fri, 22 Jul 2022 21:37:40 +0200
Subject: made some changes and added some things

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 239 ++++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 141 insertions(+), 98 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index bc1bf4d..78314a1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -44,134 +44,137 @@ Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage ob es überhaupt ein
 Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraische Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Also legen wir los! 
 
 Zuerst müssen wir den Bruch in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} los werden, der sieht so nicht handlich aus. Dafür multiplizieren wir beidseitig mit dem Nenner:
-\[
+\begin{equation}
 	\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
 	\cdot
 	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
-	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2},\\
-\]
+	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
+	\label{lambertw:eqOhneBruch}
+\end{equation}
 In einem weiteren Schritt, lösen wir das Skalarprodukt auf und erhalten folgende Gleichung \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} ohne vektorielle Grössen:
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
-		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
+		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
 		\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
 \end{equation}
-Ist es nicht schön? Wir sind die 
-Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
-\begin{align*}
-	((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2
-	&= x^2 + (t-y)^2 \\
-	x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y}
-	&= x^2 + (t-y)^2 \\
-	\dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2
-	&= 0 \\
-	(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
-	&= 0
-\end{align*}
-Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert:
-\[
-	\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
-	= 0
-\]
-\begin{align*}
-	- \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
-	&= 0 \\
-	\dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
-	&= 0
-\end{align*}
-Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht:
-\begin{align*}
-	x^2 \dot{y}^2  + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x}  + (t-y)^2 \dot{x}^2
-	&= 0 \\
+Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Meiner Meinung ziemlich elegant und nicht selbstverständlich in der Lage zu sein, das Problem auf eine einzige Gleichung reduzieren zu können.
+
+Die nächsten Schritte sind sehr algebralastig und würden das lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen, also werde ich diese auslassen. Hingegen werden ich die algebraische Hauptschritte erwähnen, die notwendig wären falls man es trotzdem selber ausprobieren möchte:
+\begin{itemize}
+	\item
+	Quadrieren und erweitern.
+	\item
+	Gruppieren.
+	\item
+	Substitution von einzelnen Thermen mittels der Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\).
+	\item
+	Und das erkennen des Musters einer Binomischen Formel.
+\end{itemize} 
+Das Resultat aller dieser Vereinfachungen führen zu folgender Gleichung \eqref{lambertw:eqAlgVerinfacht}, die viel handhabbarer ist als zuvor:
+\begin{equation}
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
-	&= 0
-\end{align*}
+	= 0.
+	\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
+\end{equation}
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfachere DGL führt:
+\begin{equation}
+	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
+	= 0.
+	\label{lambertw:eqGanzVerinfacht}
+\end{equation}
+Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
 
 \subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
 	\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
-Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} eine wesentlich einfachere DGL:
+Der nächste logischer Schritt schient irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
+
+Der erste Schritt auf dem Weg dahin, ist es die zeitlichen Ableitung los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
 \begin{equation}
-	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
-	= 0
-	\label{lambertw:equation5}
-\end{equation}
-Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
-\[
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
-	= 0
-\]
-Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL:
+	= 0.
+	\label{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit}
+\end{equation}
+Der Grund dafür ist, dass
+\begin{equation}
+	\frac{\displaystyle\dot{y}}{\displaystyle\dot{x}} 
+	= \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}  
+	= \frac{dy}{dx}
+	= y^{\prime},
+	\label{lambertw:eqQuotZeitAbleit}
+\end{equation}
+und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden.
+Nach dem diese Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht folgende neue Gleichung:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
-	= 0
+	= 0.
 	\label{lambertw:DGLmitT}
 \end{equation}
-Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus Analysis 2 zurückgreifen:
+Hier wäre es natürlich passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus der Analysis zurückgreifen, wobei die Strecke \(s\) folgendem entspricht:
 \begin{equation}
 	s
 	= 
 	v \cdot t
 	=
+	1 \cdot t
+	=
 	t
 	=
-	\int_{x_0}^{x_{end}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
+	\int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx.
 	\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
 \end{equation}
 Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
-	= 0
+	= 0.
 	\label{lambertw:DGLohneT}
 \end{equation}
-Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab:
-\begin{align*}
+Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
+\begin{align}
 	y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
-	&= 0 \\
+	&= 0, \\
 	xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}}
-	&= 0
-\end{align*}
+	&= 0.
+	\label{lambertw:DGLohneInt}
+\end{align}
+Nun sind wir unserem Ziel eine weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
 
 \subsection{DGL lösen
 	\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
-Mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) kann vorherige DGL in eine erster Ordnung umgewandelt werden:
-\begin{equation*}
+Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung und kann 
+mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
+\begin{equation}
 	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
-	= 0
+	= 0.
 	\label{lambertw:DGLmitU}
-\end{equation*}
-Welche mittels Separation gelöst werden kann:
-\begin{align*}
-	arsinh(u) + C_L
-	&=
-	ln(x) + C_R \\
-	arsinh(u)
+\end{equation}
+Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar ist, also werde ich direkt zur Lösung \eqref{lambertw:loesDGLmitU} übergehen:
+\begin{align}
+	\operatorname{arsinh}(u)
 	&=
-	ln(x) + C \\
+	\operatorname{ln}(x) + C, \\
 	u
 	&=
-	sinh(ln(x) + C)
-\end{align*}
-In dem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist:
+	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
+	\label{lambertw:loesDGLmitU}
+\end{align}
+Indem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist und erhält folgende Lösung:
 \begin{equation}
 	y^{\prime}
 	=
-	sinh(ln(x) + C)
+	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
+	\label{lambertw:loesDGLmitY}
 \end{equation}
-Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(sinh\)-Funktion:
-\begin{align*}
+Diese \eqref{lambertw:loesDGLmitY} kann mit den selben Methoden gelöst werden wie \eqref{lambertw:DGLmitU}, diesmal aber in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(\operatorname{sinh}\)-Funktion:
+\begin{equation}
 	y
-	&=
-	\int sinh(ln(x) + C) \\
-	&=
-	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
-	&=
-	\frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\
-	&=
-	C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
-\end{align*}
+	=
+	C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}.
+\end{equation}
+Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir in nächsten Abschnitt \ref{lambertw:subsection:LoesAnalys} nachgehen.
 
 \subsection{Lösung analysieren
 	\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
+
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
@@ -184,47 +187,87 @@ Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} w
 \begin{equation}
 	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2}
+	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}.
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
-	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
+	Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant. 
+	\item
+	Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein.
 	\item
 	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
 	\item
-	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? 
+	
+	Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum.
 \end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht.
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht. Dies wird im folgenden Abschnitt \ref{lambertw:subsection:AllgLoes} behandelt.
 
-\subsection{Allgemeine Lösung 
+-------------------------------Ab hier muss im Kapitel 12.2 noch einiges bearbeitet werden-----------------
+\subsection{Anfangswertproblem 
 	\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-Dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+Wie üblich bei der Suche nach einer exakten Lösung, kommt ein Anfangswertproblem auf. Um dies zu lösen, müssen wir zuerst die Anfangswerte definieren. Da wir hier das Problem allgemein lösen, ergeben sich folgende zwei Anfangswerte:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
 	y(x_0)
 	= 
 	y_0
-	\:;\:
+	\label{lambertw:eq1Anfangswert}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
 	\frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0}
 	=
 	y^{\prime}(x_0)
 	=
-	\frac{y_0}{x_0}
+	\frac{y_0}{x_0}.
+	\label{lambertw:eq2Anfangswert}
 \end{equation}
-Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
-\begin{subequations}
-	\begin{align}
-		y_0
-		&=
-		C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\
-		\frac{y_0}{x_0}
-		&=
-		 2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2}
-	\end{align}
-\end{subequations}
+Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
+
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches ich nicht unbedingt eingehen möchte. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit werde ich aber das Gleichungssystem \eqref{lambertw:eqGleichungssystem} präsentieren, welches notwendig ist um das Anfangswertproblem zu lösen, sowie auch die allgemeine Lösung \eqref{lambertw:eqAllgLoes} die sich nach dem einsetzen der Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt.
+
+\begin{itemize}
+	\item
+	Gleichungssystem:
+	\begin{subequations}
+		\begin{align}
+			y_0
+			&=
+			C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\
+			\frac{y_0}{x_0}
+			&=
+			2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
+		\end{align}
+		\label{lambertw:eqGleichungssystem}
+	\end{subequations}
+	\item
+	Allgemeine Funktion:
+	\begin{equation}
+		-4t
+		=
+		\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right).
+		\label{lambertw:eqAllgLoes}
+	\end{equation}
+	Wobei aus Übersichtlichkeitsgründen \(\eta\) und \(r_0\) wie folgt definiert wurden:
+	\begin{equation}
+		\eta
+		=
+		\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+		\:\:\text{und}\:\:
+		r_0
+		=
+		\sqrt{x_0^2+y_0^2}.
+	\end{equation}
+\end{itemize}
+
+
+
+Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach \(x\) ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+
 ... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
 \begin{align*}
 	\eta
-- 
cgit v1.2.1


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---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 167 +++++++++++++++++++++++++----------------
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(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 78314a1..fe7ed49 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -136,7 +136,7 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
 	&= 0.
 	\label{lambertw:DGLohneInt}
 \end{align}
-Nun sind wir unserem Ziel eine weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
+Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
 
 \subsection{DGL lösen
 	\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
@@ -147,7 +147,7 @@ mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewande
 	= 0.
 	\label{lambertw:DGLmitU}
 \end{equation}
-Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar ist, also werde ich direkt zur Lösung \eqref{lambertw:loesDGLmitU} übergehen:
+Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar ist, aus diesem Grund werde ich direkt zur Lösung \eqref{lambertw:loesDGLmitU} übergehen:
 \begin{align}
 	\operatorname{arsinh}(u)
 	&=
@@ -157,7 +157,7 @@ Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar
 	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
 	\label{lambertw:loesDGLmitU}
 \end{align}
-Indem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist und erhält folgende Lösung:
+Indem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist und erhält folgende Gleichung:
 \begin{equation}
 	y^{\prime}
 	=
@@ -205,10 +205,9 @@ Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, w
 \end{itemize}
 Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht. Dies wird im folgenden Abschnitt \ref{lambertw:subsection:AllgLoes} behandelt.
 
--------------------------------Ab hier muss im Kapitel 12.2 noch einiges bearbeitet werden-----------------
 \subsection{Anfangswertproblem 
 	\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-Wie üblich bei der Suche nach einer exakten Lösung, kommt ein Anfangswertproblem auf. Um dies zu lösen, müssen wir zuerst die Anfangswerte definieren. Da wir hier das Problem allgemein lösen, ergeben sich folgende zwei Anfangswerte:
+Wie üblich bei der Suche nach einer exakten Lösung, kommt ein Anfangswertproblem vor. Um dieses zu lösen, müssen wir zuerst die Anfangswerte definieren. Da wir das Problem allgemein lösen wollen, ergeben sich folgende zwei Anfangswerte:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
@@ -226,9 +225,9 @@ und
 	\frac{y_0}{x_0}.
 	\label{lambertw:eq2Anfangswert}
 \end{equation}
-Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
+Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
 
-Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches ich nicht unbedingt eingehen möchte. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit werde ich aber das Gleichungssystem \eqref{lambertw:eqGleichungssystem} präsentieren, welches notwendig ist um das Anfangswertproblem zu lösen, sowie auch die allgemeine Lösung \eqref{lambertw:eqAllgLoes} die sich nach dem einsetzen der Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt.
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches ich nicht unbedingt eingehen möchte. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, werde ich aber das Gleichungssystem \eqref{lambertw:eqGleichungssystem} präsentieren, welches notwendig ist um das Anfangswertproblem zu lösen, sowie auch die allgemeine Lösung \eqref{lambertw:eqAllgLoes} die sich nach dem einsetzen der Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} ergibt.
 
 \begin{itemize}
 	\item
@@ -245,83 +244,125 @@ Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches
 		\label{lambertw:eqGleichungssystem}
 	\end{subequations}
 	\item
-	Allgemeine Funktion:
+	Die allgemeine Funktion:
 	\begin{equation}
-		-4t
+		y(x)
 		=
-		\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right).
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
 		\label{lambertw:eqAllgLoes}
 	\end{equation}
-	Wobei aus Übersichtlichkeitsgründen \(\eta\) und \(r_0\) wie folgt definiert wurden:
+	Damit die Funkion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem noch übersichtlich bleibt, wurden \(\eta\) und \(r_0\) wie folgt definiert:
 	\begin{equation}
 		\eta
 		=
-		\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+		\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
 		\:\:\text{und}\:\:
 		r_0
 		=
 		\sqrt{x_0^2+y_0^2}.
 	\end{equation}
 \end{itemize}
+Diese neue allgemein Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorherig hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf, einerseits einen quadratischen Teil der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird.
 
-
-
-Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach \(x\) ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
-
-... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
-\begin{align*}
-	\eta
-	&=
-	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
-	\:;\:
-	r_0
-	=
-	\sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
-	y
-	&=
-	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
-	y^\prime
-	&=
-	\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
-	-4t
-	&=
-	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)
-\end{align*}
+Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Ist das alles? Nein, wir können einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
 
 \subsection{Funktion nach der Zeit 
 	\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
-\begin{align*}
+Lieber Leser sei mir nicht böse, aber in diesem Abschnitt werde ich ein wenig mehr bei den algebraischen Umformungen ins Detail gehen. Dies hat auch einen bestimmten Grund, ich möchte den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage zu kurz zu beantworten, es ist "YouTube's favorite special function" laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-W-Funktion \(W(x)\) welche übrigens im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
+
+Also fangen wir an. Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hinein gebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
+\begin{equation}
+	x y^{\prime} + t - y
+	= 0.
+	\label{lambertw:eqDGLmitTnochmals}
+\end{equation}
+Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		y
+		&=
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
+		\label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
+		y^\prime
+		&=
+		\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right).
+	\end{align}
+	\label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
+\end{subequations}
+Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck:
+\begin{equation}
+	-4t
+	=
+	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right).
+	\label{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}
+\end{equation}
+In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht:
+\begin{align}
 	-4t+\left(y_0+r_0\right)
 	&=
-	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
-	e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)}
+	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right), \\
+	e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)}
 	&=
-	e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\
-	e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
-	&=
-	e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\  \\
+	e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}.
+	\label{lambertw:eqMitExp}
+\end{align}
+Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-W-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
+
+Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
+\begin{equation}
+	e^{\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+	=
+	\eta\cdot e^{\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta} .
+	\label{lambertw:eqOhnePotenz}
+\end{equation}
+Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
+\begin{equation}
 	\chi
-	&=
-	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
-	\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
-	&=
-	\chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\
-	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
-	&=
-	\chi\eta \\
-	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
-	&=
-	\eta \\
-	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
-	&=
-	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \\
-	x\left(t\right)
-	&=
-	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
-\end{align*}
+	=
+	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}.
+	\label{lambertw:eqChiSubst}
+\end{equation}
+Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B. 
+\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] 
+die auf das selbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der  Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
+\begin{equation}
+	\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+	=
+	\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
+	\label{lambertw:eqNachSubst}
+\end{equation}
+Schön oder? Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-W-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
 \begin{equation}
-	y(t)
+	W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 	=
-	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}+\left(r_0-y_0\right)\cdot\mathrm{ln}\ \left(\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}\right)-r_0+3y_0\right)
-	\label{lambertw:funkNachT}
+	\chi\eta
 \end{equation}
+Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		\label{lambertw:eqFunkXNachT}
+		x(t)
+		&=
+		x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}, \\
+		\label{lambertw:eqFunkYNachT}
+		y(x(t))
+		=
+		y(t)
+		&=
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)
+	\end{align}
+	\label{lambertw:eqFunktionenNachT}
+\end{subequations}
+Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
+ 
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, ich muss gestehen, dass ich in diesem Abschnitt einen wichtigen Teil verschwiegen habe. Und zwar wieso, dass ich schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} wusste, dass man nach einigen Umformungen die Lambert-W-Funktion eingesetzt werden kann.
+Der Grund dafür ist die Struktur
+\begin{equation}
+	y
+	=
+	p(x) +\operatorname{ln}(x),
+	\label{lambertw:eqEinsatzLambW}
+\end{equation}
+bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. 
+
+Jedes mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-W-Funktion so wichtig macht.
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-- 
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Date: Sat, 23 Jul 2022 18:24:01 +0200
Subject: corrected something

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 4 ++--
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(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

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index fe7ed49..84a0ec7 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -335,7 +335,7 @@ Schön oder? Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-W-Fun
 \begin{equation}
 	W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 	=
-	\chi\eta
+	\chi\eta.
 \end{equation}
 Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen:
 \begin{subequations}
@@ -349,7 +349,7 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
 		=
 		y(t)
 		&=
-		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
 	\end{align}
 	\label{lambertw:eqFunktionenNachT}
 \end{subequations}
-- 
cgit v1.2.1


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From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 13:45:38 +0200
Subject: Update to next version, which includes changes in syntax and text
 structure

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 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 251 +++++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 153 insertions(+), 98 deletions(-)

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index 84a0ec7..c959715 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,19 +6,19 @@
 \section{Beispiel einer Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
 \rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt werden und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
 
 \subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
 	\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(\vec{Z}\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(\vec{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	\vec{Z}
+	Z
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	,\:
-	\vec{V}
+	V
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\:\text{und}\:\:
@@ -28,7 +28,7 @@ Das zu verfolgende Ziel \(\vec{Z}\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit kons
 	\label{lambertw:Anfangsbed}
 \end{equation}
 Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt. 
-Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
 	\cdot
@@ -38,57 +38,71 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
 	\label{lambertw:eqMitAnfangsbed}
 \end{equation}
 
-\subsection{DGL vereinfachen
+\subsection{Differentialgleichung vereinfachen
 	\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
-Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
-Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraische Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Also legen wir los! 
+Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
 
-Zuerst müssen wir den Bruch in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} los werden, der sieht so nicht handlich aus. Dafür multiplizieren wir beidseitig mit dem Nenner:
-\begin{equation}
-	\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
-	\cdot
-	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
-	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
-	\label{lambertw:eqOhneBruch}
-\end{equation}
-In einem weiteren Schritt, lösen wir das Skalarprodukt auf und erhalten folgende Gleichung \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} ohne vektorielle Grössen:
+Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen würden, werden wir uns hier nur die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
+
+\subsubsection{Skalarprodukt auflösen
+	\label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}}
+Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine. Dies führt zu:
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
 		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
 		\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
 \end{equation}
-Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Meiner Meinung ziemlich elegant und nicht selbstverständlich in der Lage zu sein, das Problem auf eine einzige Gleichung reduzieren zu können.
+Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\) und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
 
-Die nächsten Schritte sind sehr algebralastig und würden das lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen, also werde ich diese auslassen. Hingegen werden ich die algebraische Hauptschritte erwähnen, die notwendig wären falls man es trotzdem selber ausprobieren möchte:
-\begin{itemize}
-	\item
-	Quadrieren und erweitern.
-	\item
-	Gruppieren.
-	\item
-	Substitution von einzelnen Thermen mittels der Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\).
-	\item
-	Und das erkennen des Musters einer Binomischen Formel.
-\end{itemize} 
-Das Resultat aller dieser Vereinfachungen führen zu folgender Gleichung \eqref{lambertw:eqAlgVerinfacht}, die viel handhabbarer ist als zuvor:
+\subsubsection{Quadrieren und Gruppieren
+	\label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}}
+Mit der Quadratwurzel in \ref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf folgende Form gebracht werden: 
+\begin{equation}
+	\left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2
+	=0.
+	\label{lambertw:eqOhneWurzel}
+\end{equation}
+Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen.
+
+\subsubsection{Wichtige Substitution
+	\label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}}
+Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann kann man folgende Gleichung aufstellen: 
+\begin{equation}
+	\dot{x}^2 + \dot{y}^2 
+	= 1.
+	\label{lambertw:eqGeschwSubst}
+\end{equation}
+Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Ersetzt führen sie zu folgendem Ausdruck:
+\begin{equation}
+		\dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2
+		=0.
+		\label{lambertw:eqGeschwSubstituiert}
+\end{equation}
+Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchgeführt werden können.
+
+\subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen
+	\label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}}
+Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, welche zu folgender Gleichung führt:
 \begin{equation}
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
 	= 0.
 	\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
 \end{equation}
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfachere DGL führt:
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL führt:
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
 	= 0.
 	\label{lambertw:eqGanzVerinfacht}
 \end{equation}
-Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
+Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
 
 \subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
 	\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
-Der nächste logischer Schritt schient irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
+Der nächste logischer Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
 
-Der erste Schritt auf dem Weg dahin, ist es die zeitlichen Ableitung los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
+\subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden
+	\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\), ist es die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
 \begin{equation}
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
 	= 0.
@@ -103,13 +117,17 @@ Der Grund dafür ist, dass
 	\label{lambertw:eqQuotZeitAbleit}
 \end{equation}
 und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden.
-Nach dem diese Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht folgende neue Gleichung:
+Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0.
 	\label{lambertw:DGLmitT}
 \end{equation}
-Hier wäre es natürlich passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus der Analysis zurückgreifen, wobei die Strecke \(s\) folgendem entspricht:
+
+\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
+	\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen, muss man auf die Definition der Bogenlänge zurückgreifen. 
+Die Strecke \(s\) entspricht 
 \begin{equation}
 	s
 	= 
@@ -122,13 +140,16 @@ Hier wäre es natürlich passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett
 	\int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx.
 	\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
 \end{equation}
-Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. 
+
+Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
 	= 0.
 	\label{lambertw:DGLohneT}
 \end{equation}
-Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
+Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL zweiter Ordnung \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
 \begin{align}
 	y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
 	&= 0, \\
@@ -138,16 +159,22 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
 \end{align}
 Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
 
-\subsection{DGL lösen
+\subsection{Differentialgleichung lösen
 	\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
-Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung und kann 
-mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
+Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
 \begin{equation}
 	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
 	= 0.
 	\label{lambertw:DGLmitU}
 \end{equation}
-Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar ist, aus diesem Grund werde ich direkt zur Lösung \eqref{lambertw:loesDGLmitU} übergehen:
+Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form
+\begin{equation}
+	\int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du} 
+	= 
+	\int{\frac{1}{x}\:dx},
+\end{equation}
+lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen. 
+Mit dem Ergebnis: 
 \begin{align}
 	\operatorname{arsinh}(u)
 	&=
@@ -157,20 +184,20 @@ Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar
 	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
 	\label{lambertw:loesDGLmitU}
 \end{align}
-Indem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist und erhält folgende Gleichung:
+Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man folgende DGL erster Ordnung, die bereits separiert ist:
 \begin{equation}
 	y^{\prime}
 	=
 	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
 	\label{lambertw:loesDGLmitY}
 \end{equation}
-Diese \eqref{lambertw:loesDGLmitY} kann mit den selben Methoden gelöst werden wie \eqref{lambertw:DGLmitU}, diesmal aber in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(\operatorname{sinh}\)-Funktion:
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) mit seiner exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art folgende Lösung für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}:
 \begin{equation}
 	y
 	=
 	C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}.
 \end{equation}
-Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir in nächsten Abschnitt \ref{lambertw:subsection:LoesAnalys} nachgehen.
+Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
 
 \subsection{Lösung analysieren
 	\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
@@ -178,7 +205,7 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
-	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
 	\label{lambertw:BildFunkLoes}
 	}
 \end{figure}
@@ -190,24 +217,30 @@ Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} w
 	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}.
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
 	Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant. 
 	\item
-	Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein.
+	Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\) aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
 	\item
-	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
+	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht.
 	\item
 	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? 
-	
 	Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum.
 \end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht. Dies wird im folgenden Abschnitt \ref{lambertw:subsection:AllgLoes} behandelt.
+Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde.
 
 \subsection{Anfangswertproblem 
 	\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-Wie üblich bei der Suche nach einer exakten Lösung, kommt ein Anfangswertproblem vor. Um dieses zu lösen, müssen wir zuerst die Anfangswerte definieren. Da wir das Problem allgemein lösen wollen, ergeben sich folgende zwei Anfangswerte:
+In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe erfordert ein Anfangswertproblem.
+
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
+
+\subsubsection{Anfangswerte bestimmen
+	\label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}}
+Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} zu definieren.
+Die Anfangswerte sind:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
@@ -227,50 +260,63 @@ und
 \end{equation}
 Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
 
-Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches ich nicht unbedingt eingehen möchte. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, werde ich aber das Gleichungssystem \eqref{lambertw:eqGleichungssystem} präsentieren, welches notwendig ist um das Anfangswertproblem zu lösen, sowie auch die allgemeine Lösung \eqref{lambertw:eqAllgLoes} die sich nach dem einsetzen der Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} ergibt.
-
-\begin{itemize}
-	\item
-	Gleichungssystem:
-	\begin{subequations}
-		\begin{align}
-			y_0
-			&=
-			C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\
-			\frac{y_0}{x_0}
-			&=
-			2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
-		\end{align}
-		\label{lambertw:eqGleichungssystem}
-	\end{subequations}
-	\item
-	Die allgemeine Funktion:
-	\begin{equation}
-		y(x)
-		=
-		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
-		\label{lambertw:eqAllgLoes}
-	\end{equation}
-	Damit die Funkion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem noch übersichtlich bleibt, wurden \(\eta\) und \(r_0\) wie folgt definiert:
-	\begin{equation}
-		\eta
-		=
-		\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
-		\:\:\text{und}\:\:
-		r_0
-		=
-		\sqrt{x_0^2+y_0^2}.
-	\end{equation}
-\end{itemize}
-Diese neue allgemein Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorherig hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf, einerseits einen quadratischen Teil der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird.
+\subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen
+	\label{lambertw:subsubsection:GlSys}}
+Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		y_0
+		&=
+		C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\
+		\frac{y_0}{x_0}
+		&=
+		2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
+	\end{align}
+	\label{lambertw:eqGleichungssystem}
+\end{subequations}
+Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen des Gleichungssystems gewählt, welche wie folgt aussehen:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		\label{lambertw:eqKoeff1}
+		C_1
+		&=
+		\frac{2\cdot\operatorname{ln}(x_0)\left(\sqrt{x_0^2 + y_0^2} - y_0 \right) - \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + 3 y_0}{4}, \\
+		\label{lambertw:eqKoeff2}
+		C_2
+		&=
+		\frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}.
+	\end{align}
+\end{subequations}
+\subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen
+	\label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}}
+Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich nach dem Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion:
+\begin{equation}
+	y(x)
+	=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+	\label{lambertw:eqAllgLoes}
+\end{equation}
+Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
+\begin{equation}
+	\eta
+	=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+	\:\:\text{und}\:\:
+	r_0
+	=
+	\sqrt{x_0^2+y_0^2}.
+\end{equation}
+Diese neue allgemeine Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorher hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf. Sie enthält einerseits einen quadratischen Teil, der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird.
 
-Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Ist das alles? Nein, wir können einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
+Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Wir können aber einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
 
 \subsection{Funktion nach der Zeit 
 	\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
-Lieber Leser sei mir nicht böse, aber in diesem Abschnitt werde ich ein wenig mehr bei den algebraischen Umformungen ins Detail gehen. Dies hat auch einen bestimmten Grund, ich möchte den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage zu kurz zu beantworten, es ist "YouTube's favorite special function" laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-W-Funktion \(W(x)\) welche übrigens im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
+In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
 
-Also fangen wir an. Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hinein gebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
+\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
+	\label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
+Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0.
@@ -289,6 +335,7 @@ Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren A
 	\end{align}
 	\label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
 \end{subequations}
+
 Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck:
 \begin{equation}
 	-4t
@@ -296,6 +343,12 @@ Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lamb
 	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right).
 	\label{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}
 \end{equation}
+
+\subsubsection{Umformungen die zur Funktion nach der Zeit führen
+	\label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}}
+Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden. 
+
+
 In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht:
 \begin{align}
 	-4t+\left(y_0+r_0\right)
@@ -306,7 +359,7 @@ In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der
 	e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}.
 	\label{lambertw:eqMitExp}
 \end{align}
-Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-W-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
+Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
 
 Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
 \begin{equation}
@@ -324,14 +377,14 @@ Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen is
 \end{equation}
 Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B. 
 \[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] 
-die auf das selbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der  Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
+die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
 \begin{equation}
 	\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
 	=
 	\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
 	\label{lambertw:eqNachSubst}
 \end{equation}
-Schön oder? Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-W-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
+Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
 \begin{equation}
 	W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
 	=
@@ -354,9 +407,11 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
 	\label{lambertw:eqFunktionenNachT}
 \end{subequations}
 Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
- 
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, ich muss gestehen, dass ich in diesem Abschnitt einen wichtigen Teil verschwiegen habe. Und zwar wieso, dass ich schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} wusste, dass man nach einigen Umformungen die Lambert-W-Funktion eingesetzt werden kann.
-Der Grund dafür ist die Struktur
+
+\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
+	\label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, dass man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Nun, der Grund dafür ist die Struktur
 \begin{equation}
 	y
 	=
@@ -365,4 +420,4 @@ Der Grund dafür ist die Struktur
 \end{equation}
 bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. 
 
-Jedes mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-W-Funktion so wichtig macht.
\ No newline at end of file
+Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 70c7a56a5b596a09cb63f5749eee342ab2086770 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 14:06:50 +0200
Subject: made some changes

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index c959715..c79aa0c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -363,9 +363,9 @@ Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine äh
 
 Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
 \begin{equation}
-	e^{\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+	\operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right)
 	=
-	\eta\cdot e^{\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta} .
+	\eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
 	\label{lambertw:eqOhnePotenz}
 \end{equation}
 Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
@@ -379,14 +379,14 @@ Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B.
 \[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] 
 die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
 \begin{equation}
-	\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+	\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
 	=
 	\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
 	\label{lambertw:eqNachSubst}
 \end{equation}
 Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
 \begin{equation}
-	W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
 	=
 	\chi\eta.
 \end{equation}
@@ -396,7 +396,7 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
 		\label{lambertw:eqFunkXNachT}
 		x(t)
 		&=
-		x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}, \\
+		x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}{\chi}}, \\
 		\label{lambertw:eqFunkYNachT}
 		y(x(t))
 		=
-- 
cgit v1.2.1


From 5c71b098ca50b4bb11f273f8c78279c8ce23ef02 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Sun, 31 Jul 2022 18:09:55 +0200
Subject: Update to next version includes changes in syntax and structure

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 168 ++++++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 91 insertions(+), 77 deletions(-)

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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index c79aa0c..0050b61 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,15 +6,15 @@
 \section{Beispiel einer Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
 \rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
 
 \subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
 	\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
 	Z
 	=
-	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
+	\left( \begin{array}{c} 0 \\ |\dot{z}| \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	,\:
@@ -22,13 +22,13 @@ Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\:\text{und}\:\:
-	\bigl| \dot{V} \bigl|
+	|\dot{v}|
 	=
 	1.
 	\label{lambertw:Anfangsbed}
 \end{equation}
 Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt. 
-Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich folgender Ausdruck:
+Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich der Ausdruck
 \begin{equation}
 	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
 	\cdot
@@ -42,37 +42,38 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
 	\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
 Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
 
-Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen würden, werden wir uns hier nur die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
+Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
 
 \subsubsection{Skalarprodukt auflösen
 	\label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}}
-Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine. Dies führt zu:
+Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine viel handlichere Differentialgleichung erhalten. Dies führt zu
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
 		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
 		\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
 \end{equation}
-Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\) und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
+Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\)- und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
 
 \subsubsection{Quadrieren und Gruppieren
 	\label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}}
-Mit der Quadratwurzel in \ref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf folgende Form gebracht werden: 
+Mit der Quadratwurzel in \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf die Form  
 \begin{equation}
 	\left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2
-	=0.
+	=0
 	\label{lambertw:eqOhneWurzel}
 \end{equation}
+gebracht werden.
 Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen.
 
 \subsubsection{Wichtige Substitution
 	\label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}}
-Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann kann man folgende Gleichung aufstellen: 
+Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann ergibt sich die Beziehung  
 \begin{equation}
 	\dot{x}^2 + \dot{y}^2 
 	= 1.
 	\label{lambertw:eqGeschwSubst}
 \end{equation}
-Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Ersetzt führen sie zu folgendem Ausdruck:
+Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Wenn man sie ersetzt, erhält man
 \begin{equation}
 		\dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2
 		=0.
@@ -82,27 +83,31 @@ Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchg
 
 \subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen
 	\label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}}
-Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, welche zu folgender Gleichung führt:
+Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, wobei
 \begin{equation}
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
-	= 0.
+	= 0
 	\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
 \end{equation}
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL führt:
+die faktorisierte Darstellung davon ist.
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL 
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
-	= 0.
+	= 0
 	\label{lambertw:eqGanzVerinfacht}
 \end{equation}
-Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
+führt.
+Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. 
+
+Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
 
 \subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
 	\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
-Der nächste logischer Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
+Der nächste logische Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
 
 \subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden
 	\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
-Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\), ist es die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
+Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\) ist, die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig durch \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
 \begin{equation}
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
 	= 0.
@@ -126,30 +131,31 @@ Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eq
 
 \subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
 	\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
-Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen, muss man auf die Definition der Bogenlänge zurückgreifen. 
-Die Strecke \(s\) entspricht 
+Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie?
+Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung  
 \begin{equation}
 	s
 	= 
-	v \cdot t
+	|\dot{v}| \cdot t
 	=
 	1 \cdot t
 	=
 	t
 	=
-	\int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx.
+	\int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
 	\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
 \end{equation}
-
+verbunden werden.
+  
 Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. 
 
-Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
 	= 0.
 	\label{lambertw:DGLohneT}
 \end{equation}
-Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL zweiter Ordnung \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
+Um das Integral los zu werden, leitet man \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhält die DGL zweiter Ordnung 
 \begin{align}
 	y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
 	&= 0, \\
@@ -157,16 +163,17 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
 	&= 0.
 	\label{lambertw:DGLohneInt}
 \end{align}
-Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
+Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
 
 \subsection{Differentialgleichung lösen
 	\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
-Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
+Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in die DGL
 \begin{equation}
 	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
-	= 0.
+	= 0
 	\label{lambertw:DGLmitU}
 \end{equation}
+erster Ordnung umgewandelt werden.
 Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form
 \begin{equation}
 	\int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du} 
@@ -174,7 +181,7 @@ Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separiert
 	\int{\frac{1}{x}\:dx},
 \end{equation}
 lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen. 
-Mit dem Ergebnis: 
+Das Ergebnis ist 
 \begin{align}
 	\operatorname{arsinh}(u)
 	&=
@@ -184,20 +191,23 @@ Mit dem Ergebnis:
 	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
 	\label{lambertw:loesDGLmitU}
 \end{align}
-Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man folgende DGL erster Ordnung, die bereits separiert ist:
+Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man die DGL 
 \begin{equation}
 	y^{\prime}
 	=
-	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
+	\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C)
 	\label{lambertw:loesDGLmitY}
 \end{equation}
-Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) mit seiner exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art folgende Lösung für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}:
+erster Ordnung, die bereits separiert ist.
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung 
 \begin{equation}
 	y
 	=
-	C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}.
+	C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}
 \end{equation}
-Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
+für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}.
+
+Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist.
 
 \subsection{Lösung analysieren
 	\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
@@ -210,37 +220,34 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
 	}
 \end{figure}
 
-Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion  
 \begin{equation}
 	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}.
+	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
+für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
 	Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant. 
 	\item
-	Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\) aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
+	Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\)- aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
+	In diesem Punkt findet ein Monotoniewechsel in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} statt, was zu einem Minimum führt.
 	\item
 	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht.
-	\item
-	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? 
-	Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum.
 \end{itemize}
 Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde.
 
 \subsection{Anfangswertproblem 
 	\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe erfordert ein Anfangswertproblem.
+In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe ist ein Anfangswertproblem für \(y(x)\).
 
-Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Analysis, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
 
 \subsubsection{Anfangswerte bestimmen
 	\label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}}
-Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} zu definieren.
-Die Anfangswerte sind:
+Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte 
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
@@ -255,15 +262,17 @@ und
 	=
 	y^{\prime}(x_0)
 	=
-	\frac{y_0}{x_0}.
+	\frac{y_0}{x_0}
 	\label{lambertw:eq2Anfangswert}
 \end{equation}
+zu definieren.
 Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
 
 \subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen
 	\label{lambertw:subsubsection:GlSys}}
-Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich das Gleichungssystem
 \begin{subequations}
+	\label{lambertw:eqGleichungssystem}
 	\begin{align}
 		y_0
 		&=
@@ -272,9 +281,8 @@ Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq
 		&=
 		2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
 	\end{align}
-	\label{lambertw:eqGleichungssystem}
 \end{subequations}
-Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen des Gleichungssystems gewählt, welche wie folgt aussehen:
+Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen  
 \begin{subequations}
 	\begin{align}
 		\label{lambertw:eqKoeff1}
@@ -284,16 +292,17 @@ Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positive
 		\label{lambertw:eqKoeff2}
 		C_2
 		&=
-		\frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}.
+		\frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}
 	\end{align}
 \end{subequations}
+des Gleichungssystems gewählt.
 \subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen
 	\label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}}
-Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich nach dem Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion:
+Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich beim Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion
 \begin{equation}
 	y(x)
 	=
-	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
 	\label{lambertw:eqAllgLoes}
 \end{equation}
 Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
@@ -316,27 +325,28 @@ In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als
 
 \subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
 	\label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
-Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
+Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL 
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
-	= 0.
+	= 0
 	\label{lambertw:eqDGLmitTnochmals}
 \end{equation}
+aus dem Abschnitt \eqref{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wurde.
 Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind:
 \begin{subequations}
+	\label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
 	\begin{align}
+		\label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
 		y
 		&=
-		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
-		\label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
 		y^\prime
 		&=
-		\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right).
+		\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right).
 	\end{align}
-	\label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
 \end{subequations}
 
-Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck:
+Wenn man diese Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich der Ausdruck
 \begin{equation}
 	-4t
 	=
@@ -348,17 +358,20 @@ Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lamb
 	\label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}}
 Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden. 
 
-
-In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht:
-\begin{align}
+In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponenziert, sodass man 
+\begin{equation}
 	-4t+\left(y_0+r_0\right)
-	&=
-	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right), \\
+	=
+	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)
+\end{equation}
+und anschliessend
+\begin{equation}
 	e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)}
-	&=
-	e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}.
+	=
+	e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}
 	\label{lambertw:eqMitExp}
-\end{align}
+\end{equation}
+erhält.
 Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
 
 Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
@@ -368,30 +381,32 @@ Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) a
 	\eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
 	\label{lambertw:eqOhnePotenz}
 \end{equation}
-Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
+Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution 
 \begin{equation}
 	\chi
 	=
-	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}.
+	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}
 	\label{lambertw:eqChiSubst}
 \end{equation}
+gelöst werden.
 Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B. 
 \[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\] 
-die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
+die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir die Gleichung
 \begin{equation}
 	\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
 	=
 	\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
 	\label{lambertw:eqNachSubst}
 \end{equation}
-Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
+Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck
 \begin{equation}
 	W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
 	=
 	\chi\eta.
 \end{equation}
-Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen:
+Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar besteht also aus den Gleichungen
 \begin{subequations}
+	\label{lambertw:eqFunktionenNachT}
 	\begin{align}
 		\label{lambertw:eqFunkXNachT}
 		x(t)
@@ -402,15 +417,14 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
 		=
 		y(t)
 		&=
-		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
+		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
 	\end{align}
-	\label{lambertw:eqFunktionenNachT}
 \end{subequations}
 Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
 
 \subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
 	\label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, dass man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
 Nun, der Grund dafür ist die Struktur
 \begin{equation}
 	y
@@ -420,4 +434,4 @@ Nun, der Grund dafür ist die Struktur
 \end{equation}
 bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. 
 
-Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
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+Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
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From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Sun, 31 Jul 2022 18:14:56 +0200
Subject: Update also includes some changes in the pursuitcurve-picture

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 2 +-
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index 0050b61..1053dd1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -434,4 +434,4 @@ Nun, der Grund dafür ist die Struktur
 \end{equation}
 bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt. 
 
-Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.
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+Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht.   
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