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Date: Tue, 19 Jul 2022 16:43:52 +0200
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 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
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@@ -10,15 +10,15 @@ In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschre
 
 \subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
 \label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	A
+	\overrightarrow{Z}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	;
-	P
+	\overrightarrow{V}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:Anfangspunkte}
@@ -79,12 +79,12 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
 	= 0
 	\label{lambertw:equation5}
 \end{equation}
-Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
 \[
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
 	= 0
 \]
-Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0
@@ -146,21 +146,103 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	&=
 	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
 	&=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	\frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\
+	&=
+	C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
 \end{align*}
-Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
+	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+	\label{lambertw:funkLoes}
+	}
+\end{figure}
+
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
 \begin{equation}
-	y(x)
+	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2}
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
 	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
 	\item
 	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
 	\item
-	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+\begin{equation}
+	y(x)\big \vert_{t=0}
+	=
+	y(x_0)
+	= 
+	y_0
+	\:;\:
+	\frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0}
+	=
+	y^{\prime}(x_0)
+	=
+	\frac{y_0}{x_0}
+\end{equation}
+Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		y_0
+		&=
+		C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\
+		\frac{y_0}{x_0}
+		&=
+		 2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2}
+	\end{align}
+\end{subequations}
+... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
+\begin{align*}
+	\eta
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+	\:;\:
+	r_0
+	=
+	\sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+	y
+	&=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+	y^\prime
+	&=
+	\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
+	-4t
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	-4t+\left(y_0+r_0\right)
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)}
+	&=
+	e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\
+	e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+	&=
+	e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\  \\
+	\chi
+	&=
+	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+	\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+	&=
+	\chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\
+	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	&=
+	\chi\eta \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\eta \\
+	x\left(t\right)
+	&=
+	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+\end{align*}
-- 
cgit v1.2.1

