From 301b946bc51b69cd72c8860f0ff3632c57decb22 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: David Hugentobler <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Mon, 4 Apr 2022 23:29:52 +0200
Subject: erneut versuchen teil4.tex zu commiten

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 81 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/lambertw/teil4.tex

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..74b6b02
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -0,0 +1,81 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Beispiel Verfolgungskurve
+\label{lambertw:section:teil4}}
+\rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
+
+\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
+\label{lambertw:subsection:malorum}}
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+\begin{equation}
+	Z
+	=
+	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
+	;
+	V
+	=
+	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
+	\label{lambertw:equation2}
+\end{equation}
+Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+\begin{equation}
+	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
+	\circ
+	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
+	=
+	1
+	\label{lambertw:equation3}
+\end{equation}
+Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
+\[
+	\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
+	\circ
+	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
+	= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\
+\]
+\begin{equation}
+		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
+		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
+		\label{lambertw:equation4}
+\end{equation}
+Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
+\begin{align*}
+	((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2
+	&= x^2 + (t-y)^2 \\
+	x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y}
+	&= x^2 + (t-y)^2 \\
+	\dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2
+	&= 0 \\
+	(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden und anschliessend mit \(-1\) multiplizieren:
+\[
+	\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
+	= 0
+\]
+\begin{align*}
+	- \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
+	&= 0 \\
+	\dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht:
+\begin{align*}
+	x^2 \dot{y}^2  + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x}  + (t-y)^2 \dot{x}^2
+	&= 0 \\
+	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
+	&= 0
+\end{align*}
+Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL:
+\begin{equation}
+	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
+	= 0
+	\label{lambertw:equation5}
+\end{equation}
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From dc51fe760249ea37d410599690df96c94f6d808d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Wed, 6 Apr 2022 11:36:23 +0200
Subject: made some changes in teil4.tex

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 22 ++++++++++++++++++----
 1 file changed, 18 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 74b6b02..d3269ee 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -10,13 +10,15 @@ In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschre
 
 \subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
 \label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	Z
+	A
+	=
+	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	;
-	V
+	P
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:equation2}
@@ -53,7 +55,7 @@ Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen
 	(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
 	&= 0
 \end{align*}
-Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden und anschliessend mit \(-1\) multiplizieren:
+Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert:
 \[
 	\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
 	= 0
@@ -77,5 +79,17 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
 	= 0
 	\label{lambertw:equation5}
 \end{equation}
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+\[
+	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
+	= 0
+\]
+Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+\begin{equation}
+	x y^{\prime} + t - y
+	= 0
+	\label{lambertw:equation6}
+\end{equation}
+Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 5312bb1779adb029f6a115d0ea6fe065b4c878c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Mon, 18 Apr 2022 22:11:56 +0200
Subject: made some changes and added some things to teil4.txt

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 87 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 79 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index d3269ee..598a57e 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \
 	P
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
-	\label{lambertw:equation2}
+	\label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
 Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
@@ -30,7 +30,7 @@ Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt
 	\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
 	=
 	1
-	\label{lambertw:equation3}
+	\label{lambertw:eqMitAnfangspunkte}
 \end{equation}
 Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
 \[
@@ -42,7 +42,7 @@ Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt
 \begin{equation}
 		-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
 		= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
-		\label{lambertw:equation4}
+		\label{lambertw:eq1BspVerfolgKurve}
 \end{equation}
 Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
 \begin{align*}
@@ -73,7 +73,7 @@ Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Aus
 	(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
 	&= 0
 \end{align*}
-Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL:
+Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:eq1BspVerfolgKurve} eine wesentlich einfachere DGL:
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
 	= 0
@@ -88,8 +88,79 @@ Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0
-	\label{lambertw:equation6}
+	\label{lambertw:DGLmitT}
 \end{equation}
-Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man 
-
-
+Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus Analysis 2 zurückgreifen:
+\begin{equation}
+	s
+	= 
+	v \cdot t
+	=
+	t
+	=
+	\int_{x_0}^{x_{end}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
+	\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
+\end{equation}
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+\begin{equation}
+	x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
+	= 0
+	\label{lambertw:DGLohneT}
+\end{equation}
+Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab:
+\begin{align*}
+	y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
+	&= 0 \\
+	xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}}
+	&= 0
+\end{align*}
+Mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) kann vorherige DGL in eine erster Ordnung umgewandelt werden:
+\begin{equation*}
+	xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
+	= 0
+	\label{lambertw:DGLmitU}
+\end{equation*}
+Welche mittels Separation gelöst werden kann:
+\begin{align*}
+	arsinh(u) + C_L
+	&=
+	ln(x) + C_R \\
+	arsinh(u)
+	&=
+	ln(x) + C \\
+	u
+	&=
+	sinh(ln(x) + C)
+\end{align*}
+In dem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist:
+\begin{equation}
+	y^{\prime}
+	=
+	sinh(ln(x) + C)
+\end{equation}
+Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(sinh\)-Funktion:
+\begin{align*}
+	y
+	&=
+	\int sinh(ln(x) + C) \\
+	&=
+	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
+	&=
+	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+\end{align*}
+Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+\begin{equation}
+	y(x)
+	=
+	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	\label{lambertw:funkLoes}
+\end{equation}
+Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+\begin{itemize}
+	\item
+	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
+	\item
+	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
+	\item
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+\end{itemize}
-- 
cgit v1.2.1


From 62f06c35b53971f99acdc4477da5e2be98a68c04 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 16:43:52 +0200
Subject: made some changes

---
 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 93 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 598a57e..6c70174 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -10,15 +10,15 @@ In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschre
 
 \subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
 \label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
-	A
+	\overrightarrow{Z}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
 	=
 	\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
 	;
-	P
+	\overrightarrow{V}
 	=
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:Anfangspunkte}
@@ -79,12 +79,12 @@ Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich z
 	= 0
 	\label{lambertw:equation5}
 \end{equation}
-Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
+Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen, wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
 \[
 	x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
 	= 0
 \]
-Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
+Nach dem Kürzen und Vereinfachen ergibt sich folgende DGL:
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0
@@ -146,21 +146,103 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	&=
 	\int \frac{1}{2} (e^{ln(x)+C} - e^{-(ln(x)+C)}) \\
 	&=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	\frac{e^C}{4} x^2 - \frac{ln(x)}{2 \cdot e^C} + C_1 \\
+	&=
+	C_1 + C_2 x^2 - \frac{ln(x)}{8 \cdot C_2}
 \end{align*}
-Das Resultat wie ersichtlich ist folgende Funktion welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
+	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+	\label{lambertw:funkLoes}
+	}
+\end{figure}
+
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann: 
 \begin{equation}
-	y(x)
+	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 x^2 - C_3 ln(x)
+	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{ln(x)}}{8 \cdot C_2}
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1, C_2\) und \(C_3\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
+Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(\bf{y(x)}\) geschaffen werden:
 \begin{itemize}
 	\item
 	Für grosse \(x\)-Werte welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion dominant und somit für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt.
 	\item
 	Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
 	\item
-	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss die Kurve auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
+	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+\begin{equation}
+	y(x)\big \vert_{t=0}
+	=
+	y(x_0)
+	= 
+	y_0
+	\:;\:
+	\frac{dy}{dx}\bigg \vert_{t=0}
+	=
+	y^{\prime}(x_0)
+	=
+	\frac{y_0}{x_0}
+\end{equation}
+Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfangsbedingungen ein, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+\begin{subequations}
+	\begin{align}
+		y_0
+		&=
+		C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2} \\
+		\frac{y_0}{x_0}
+		&=
+		 2 \cdot  C_2 x_0 - \frac{ln(x_0)}{8 \cdot C_2}
+	\end{align}
+\end{subequations}
+... Mit folgenden Formeln geht es weiter:
+\begin{align*}
+	\eta
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 
+	\:;\:
+	r_0
+	=
+	\sqrt{x_0^2+y_0^2} \\
+	y
+	&=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\
+	y^\prime
+	&=
+	\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right) \\
+	-4t
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	-4t+\left(y_0+r_0\right)
+	&=
+	\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right) \\
+	e^{-4t+\left(y_0+r_0\right)}
+	&=
+	e^{\left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\left(r_0-y_0\right)} \\
+	e^{\frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+	&=
+	e^{\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta}\cdot\eta\  \\
+	\chi
+	&=
+	\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}; \cdot\chi \\
+	\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+	&=
+	\chi\eta\cdot e^{\chi\eta} \\
+	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+	&=
+	\chi\eta \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\eta \\
+	x\left(t\right)
+	&=
+	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
+	&=
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+\end{align*}
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cgit v1.2.1


From 5d9ae555dc943ae5ec772b7b6efa6b44f131a785 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 17:56:14 +0200
Subject: made some changes and added some text[C

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 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 12 +++++-------
 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/lambertw/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 6c70174..e0f7731 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,11 +6,9 @@
 \section{Beispiel Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
 \rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben.
 
-\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
-\label{lambertw:subsection:malorum}}
-Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant. Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(\overrightarrow{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadrant und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
 	\overrightarrow{Z}
 	=
@@ -23,7 +21,7 @@ Das zu verfolgende Ziel \(\overrightarrow{Z}\) wandert auf einer Gerade, wobei d
 	\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
 	\label{lambertw:Anfangspunkte}
 \end{equation}
-Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve \eqref{lambertw:pursuerDGL} einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
 \begin{equation}
 	\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
 	\circ
@@ -155,7 +153,7 @@ Diese kann mit den selben Methoden gelöst werden, diesmal in Kombination mit de
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
 	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
-	\label{lambertw:funkLoes}
+	\label{lambertw:BildFunkLoes}
 	}
 \end{figure}
 
@@ -175,7 +173,7 @@ Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, w
 	\item
 	Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve muss es auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt? Durch eine logische Überlegung kann eine Abschätzung darüber getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit und somit auch sein Vorzeichen.
 \end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
+Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, siehe \ref{lambertw:BildFunkLoes}. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht, dies wird durch das Einsetzen folgender Anfangsbedingungen erreicht:
 \begin{equation}
 	y(x)\big \vert_{t=0}
 	=
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cgit v1.2.1


From d56bf4f939d25cea9ac9953b2b0f3237b2dfe8cd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: daHugen <david.hugentobler@ost.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 18:35:13 +0200
Subject: added some equations and made some changes

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 buch/papers/lambertw/teil4.tex | 14 ++++++++++----
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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index e0f7731..6184369 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -237,10 +237,16 @@ Leitet man die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} nach x ab und setzt die Anfang
 	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
 	&=
 	\eta \\
-	x\left(t\right)
-	&=
-	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
 	\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}
 	&=
-	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+	\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \\
+	x\left(t\right)
+	&=
+	\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
 \end{align*}
+\begin{equation}
+	y(t)
+	=
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}+\left(r_0-y_0\right)\cdot\mathrm{ln}\ \left(\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi\ -\ \frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}\right)-r_0+3y_0\right)
+	\label{lambertw:funkNachT}
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1

