From d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:30:44 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Textfile=20se?= =?UTF-8?q?perat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen=20unterordn?= =?UTF-8?q?er=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im=20main.tex?= =?UTF-8?q?=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committe=20nun.=20?= =?UTF-8?q?Bemerkung:=20Wir=20werden=20diese=20Woche=20noch=20das=202D=20-?= =?UTF-8?q?=20Dreieck=20mit=20einem=20Kugeldreieck=20ersetzen!=20Sonst=20w?= =?UTF-8?q?=C3=A4re=20unsere=20Arbeit=20(=20Bis=20auf=20finishing=20wie=20?= =?UTF-8?q?Rechtschreibung=20und=20Formatierung)=20eigentlich=20fertig.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 190 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From e898a9c36fb707474ee869f6ec47119d0592e59f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:32:38 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Revert=20"Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Tex?= =?UTF-8?q?tfile=20seperat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen?= =?UTF-8?q?=20unterordner=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im?= =?UTF-8?q?=20main.tex=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committ?= =?UTF-8?q?e=20nun."?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit This reverts commit d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708. --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ---------------------------------- 1 file changed, 190 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex deleted file mode 100644 index 0bb213c..0000000 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ /dev/null @@ -1,190 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} -\section{Das Nautische Dreieck} -\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} -Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. -\\ -Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} -Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - - \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} - \end{center} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. - -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} -\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} -Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. -Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. - - \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - - -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} -Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. -Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} - -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. - -\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. -Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. -Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich - - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - - - -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} -Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - - - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - -mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - -Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. -Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. - -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. - -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. - -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} -Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. -Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. -Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. - -Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. -Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - -mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ - -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. - -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ - -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ - -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ - -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - - -\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 309284c1f79df5b8553b0b8875db188ff7d930af Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:43:09 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 190 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 800ca10daf88dd073c239b6478bb34f81e48410f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 13:34:13 +0200 Subject: first commit nav --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 139 +++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 76 insertions(+), 63 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 0bb213c..d6e1388 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,12 +1,3 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. @@ -19,7 +10,7 @@ Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: \end{itemize} Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. \\ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} @@ -35,7 +26,7 @@ $\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ $\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ $\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ @@ -46,24 +37,31 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - +\newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} +\end{figure} + Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} + \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} + @@ -73,8 +71,8 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. \subsection{Ecke A - Nordpol} Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +\newpage +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. \\ @@ -96,64 +94,80 @@ Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eige Die Lösung ist die Sternzeit. Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - + Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich +\\ +\\ +$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +\\ +\\ +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} \subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - + +$A=$ Nordpol + +$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX + +$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +\\ +\\ +Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + +Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. +Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - + +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + $\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY $\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX $\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. + Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. @@ -168,23 +182,22 @@ Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. \\ -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ +Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ +und -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. \\ -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ -\end{document} \ No newline at end of file +Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +\newpage +\listoffigures \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c0f7b4bd46fa66526f8ddfb20ce9edbcfbb03d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 16:02:53 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 37 +++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 20 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d6e1388..b61e908 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -37,6 +37,7 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + \newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure}[h] @@ -129,45 +130,47 @@ Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. $A=$ Nordpol -$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX +$B=$ Bildpunkt des Gestirns X -$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y \\ \\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$. Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - +\\ +\\ mit -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - +\\ +\\ Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. - +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. +Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. +Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. -- cgit v1.2.1 From b37f9519bbfd57b3a7d25cca887ff44ff2253921 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 19 May 2022 14:40:25 +0200 Subject: Korrektur von Feedback --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 91 insertions(+), 99 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index b61e908..a85b119 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,17 +1,13 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. + Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -\\ + Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ @@ -21,34 +17,30 @@ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfach \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ \end{itemize} Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\newpage -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} -\begin{figure}[h] +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. @@ -56,9 +48,9 @@ Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} @@ -66,75 +58,76 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +\subsection{Ecke $P$ und $A$} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. -\newpage -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} + +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. + +\subsection{Ephemeriden} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren. +Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt. -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022} + \end{center} +\end{figure} + +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. \subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\\ -\\ -$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. -\\ -\\ -Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. -Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\subsubsection{Deklination} -Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - +Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. +Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - -$A=$ Nordpol +\subsubsection{Dreieck $ABC$} -$B=$ Bildpunkt des Gestirns X +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $A$ && Nordpol \\ + $B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\ + $C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$ + \end{tabular} +\end{center} -$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y -\\ -\\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. @@ -145,24 +138,24 @@ Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. -\\ -\\ -mit - -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y +mit +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$ + \end{tabular} +\end{center} Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! -\\ -\\ + Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. @@ -174,7 +167,7 @@ Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +\subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. @@ -183,24 +176,23 @@ Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +\subsubsection{Dreieck $ABP$} Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$. -Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ +Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ und -$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. -\\ +\[ +\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. +\] Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ -Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. -\newpage -\listoffigures \ No newline at end of file +Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. -- cgit v1.2.1 From b3283eb05091a88841668c39d422da53d66e1cdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 19 May 2022 14:51:50 +0200 Subject: update korrektur --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index a85b119..0a498f0 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. @@ -195,4 +195,4 @@ Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Wink Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X -- cgit v1.2.1 From 0fe9bb56da147bf7986852e6f657149206d967a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 19 May 2022 17:31:23 +0200 Subject: fixes --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 0a498f0..c1ad38a 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -195,4 +195,4 @@ Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Wink Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X$ -- cgit v1.2.1 From 411fb410f790fcc1bb3da381c17119ebb5130032 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sat, 21 May 2022 18:56:21 +0200 Subject: Korrektur 21.05 --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 123 +++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 62 insertions(+), 61 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c1ad38a..c239d64 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,22 +1,14 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. - Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. -Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} -Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. + +Für die Definition gilt: \begin{center} \begin{tabular}{ c c c } Winkel && Name / Beziehung \\ @@ -31,6 +23,15 @@ Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: \end{tabular} \end{center} +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} + + \subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure} \begin{center} @@ -39,15 +40,13 @@ Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: \end{center} \end{figure} -Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. - +Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} -Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. -Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. - +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -60,31 +59,30 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. -\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y} +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. -Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren. -Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png} - \caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Nautical Almanac Mai 2002]{Nautical Almanac Mai 2002} \end{center} \end{figure} \subsubsection{Deklination} -Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. -\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +\subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. @@ -98,19 +96,28 @@ Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. +\subsubsection{Sextant} +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/sextant.jpg} + \caption[Sextant]{Sextant} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} @@ -128,15 +135,15 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{tabular} \end{center} -Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$. +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. -Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. +Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. mit @@ -144,55 +151,49 @@ mit \begin{tabular}{ c c c } Ecke && Name \\ \hline - $\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\ - $\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\ - $\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\ - $\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$ + $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination vom Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad vom Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad vom Bildpunkt $Y$ \end{tabular} \end{center} -Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - -Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Nun haben wir die beiden Seiten $c$ und $b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. +Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} -Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. -Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort $P$. Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. -Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ -mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. -Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. - -Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$. - -Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ - +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. +Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und - \[ \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. - +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X$ +wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. -- cgit v1.2.1 From 2dd23cdeef2889a5b3210e324c159ab462bb267c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:20:10 +0200 Subject: Korrektur (noch nicht fertig) --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 ++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 45 insertions(+), 44 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c239d64..36e9c99 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,49 +4,26 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -Für die Definition gilt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } - Winkel && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} - - -\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\subsection{Das Bilddreieck} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - -Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. +Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. +Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -59,8 +36,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. +Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -69,8 +46,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. -In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. +Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -83,25 +60,24 @@ In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. + Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -109,7 +85,32 @@ Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen d \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} - +\subsubsection{Eingeschaften} +Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Legende && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Eigenschaften \\ + \hline + Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ + Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ + Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ + \end{tabular} +\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -- cgit v1.2.1 From 537a80724031881b7ca7e84873d8f189fe70db45 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:23:00 +0200 Subject: Revert "Korrektur (noch nicht fertig)" This reverts commit ebe0085df81f3190423e14e6a48fc9d17550e417. --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 +++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 44 insertions(+), 45 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36e9c99..c239d64 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,26 +4,49 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -\subsection{Das Bilddreieck} +Für die Definition gilt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} + + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. -Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + +Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -36,8 +59,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. +Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -46,8 +69,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -60,24 +83,25 @@ Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Z Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. - +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. -Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -85,32 +109,7 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Eingeschaften} -Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Legende && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Eigenschaften \\ - \hline - Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ - Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ - Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ - \end{tabular} -\end{center} + \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -- cgit v1.2.1 From 7776e5829bf5da82b6b3fc5478ed05c6c9a66d29 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:23:21 +0200 Subject: Revert "Revert "Korrektur (noch nicht fertig)"" This reverts commit 2fd00f1b2f0d123fdb1fb1a93b5e4d361587329c. --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 ++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 45 insertions(+), 44 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c239d64..36e9c99 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,49 +4,26 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -Für die Definition gilt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } - Winkel && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} - - -\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\subsection{Das Bilddreieck} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - -Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. +Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. +Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -59,8 +36,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. +Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -69,8 +46,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. -In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. +Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -83,25 +60,24 @@ In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. + Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -109,7 +85,32 @@ Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen d \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} - +\subsubsection{Eingeschaften} +Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Legende && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Eigenschaften \\ + \hline + Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ + Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ + Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ + \end{tabular} +\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -- cgit v1.2.1 From a5f6eeefeab2d84d51b94f780387be6e5264f0ca Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 7 Jun 2022 15:30:25 +0200 Subject: synch --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 28 +--------------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 27 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36e9c99..d8a14af 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -39,7 +39,7 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. -\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. @@ -85,32 +85,6 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Eingeschaften} -Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Legende && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Eigenschaften \\ - \hline - Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ - Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ - Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ - \end{tabular} -\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -- cgit v1.2.1 From fee7a11b5b0309e89aae17485c24fe250c55d548 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sun, 12 Jun 2022 18:31:01 +0200 Subject: Abgabe --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 13 ++++--------- 1 file changed, 4 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d8a14af..44153bd 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -97,7 +97,6 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{center} \end{figure} - \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} @@ -140,12 +139,9 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. -Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -167,8 +163,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. -Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. -- cgit v1.2.1 From 3fbbafce1a5d906a12c1f8035fa2e16f6c187de0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 5 Jul 2022 15:31:16 +0200 Subject: abschluss --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 63 ++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 32 insertions(+), 31 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 44153bd..36674ee 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -2,9 +2,9 @@ \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. @@ -13,21 +13,24 @@ Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astrono \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} + \label{naut} \end{center} \end{figure} Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. +Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +\label{sta} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d1} \end{center} \end{figure} @@ -44,10 +47,11 @@ Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. se Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. -Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +\label{ephe} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. +Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -63,20 +67,19 @@ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen. +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] +\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\] Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} @@ -85,22 +88,24 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p} +Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe. Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. +Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d2} \end{center} \end{figure} \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $A$ && Nordpol \\ @@ -111,18 +116,15 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. -Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. -Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - -Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. -Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\begin{enumerate} + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + \item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\end{enumerate} mit \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ @@ -141,7 +143,7 @@ Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sin Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -150,12 +152,11 @@ Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und @@ -163,7 +164,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann -\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge +\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. -- cgit v1.2.1 From ac98ecfb4f0142b418cd501045ac797da564f059 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Fri, 15 Jul 2022 20:38:18 +0200 Subject: finito --- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 +++- 1 file changed, 3 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex') diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36674ee..32d1b8b 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Das Nautische Dreieck} +\rhead{Das nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. @@ -115,6 +116,7 @@ Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometr \end{center} Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt: \begin{enumerate} \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. @@ -141,7 +143,7 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\]. Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. -- cgit v1.2.1