From d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
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+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+
+\begin{document}
+	\section{Sphärische Trigonometrie}
+	\subsection{Das Kugeldreieck}
+	
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
+A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
+\begin{figure}[h]
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+		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png}
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+	
+\end{figure}
+
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
+Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+	\newpage
+\subsection{Winkelangabe}
+
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png}
+	\end{center}	
+
+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
+$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
+Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+
+\subsection{Sphärischer Sinussatz}
+In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
+Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
+
+\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
+Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
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cgit v1.2.1


From e898a9c36fb707474ee869f6ec47119d0592e59f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Mon, 16 May 2022 20:32:38 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Revert=20"Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Tex?=
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This reverts commit d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708.
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 buch/papers/nav/trigo.tex | 51 -----------------------------------------------
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@@ -1,51 +0,0 @@
-\documentclass[12pt]{scrartcl}
-\usepackage{ucs}
-\usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{graphicx}
-
-
-\begin{document}
-	\section{Sphärische Trigonometrie}
-	\subsection{Das Kugeldreieck}
-	
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
-A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
-Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
-Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
-Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
-Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
-Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
-\begin{figure}[h]
-	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png}
-	\end{center}
-	
-\end{figure}
-
-\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
-Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
-	\newpage
-\subsection{Winkelangabe}
-
-	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png}
-	\end{center}	
-
-Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
-Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
-$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
-Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
-
-\subsection{Sphärischer Sinussatz}
-In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
-
-\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
-Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
-
-\end{document}
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cgit v1.2.1


From 309284c1f79df5b8553b0b8875db188ff7d930af Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Mon, 16 May 2022 20:43:09 +0200
Subject: no message

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 buch/papers/nav/trigo.tex | 51 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 51 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/nav/trigo.tex

(limited to 'buch/papers/nav/trigo.tex')

diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
new file mode 100644
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+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+
+\begin{document}
+	\section{Sphärische Trigonometrie}
+	\subsection{Das Kugeldreieck}
+	
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
+A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
+\begin{figure}[h]
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+		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png}
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+\end{figure}
+
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
+Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+	\newpage
+\subsection{Winkelangabe}
+
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png}
+	\end{center}	
+
+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
+$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
+Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+
+\subsection{Sphärischer Sinussatz}
+In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
+Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
+
+\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
+Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
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cgit v1.2.1


From 800ca10daf88dd073c239b6478bb34f81e48410f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Tue, 17 May 2022 13:34:13 +0200
Subject: first commit nav

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 buch/papers/nav/trigo.tex | 28 +++++++++++-----------------
 1 file changed, 11 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/nav/trigo.tex')

diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index 0dbd7a1..2edd651 100644
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+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,14 +1,6 @@
-\documentclass[12pt]{scrartcl}
-\usepackage{ucs}
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+\section{Sphärische Trigonometrie}
+\subsection{Das Kugeldreieck}
 
-
-\begin{document}
-	\section{Sphärische Trigonometrie}
-	\subsection{Das Kugeldreieck}
-	
 Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
 A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
@@ -19,7 +11,8 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec
 Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
 \begin{figure}[h]
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png}
+		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
 	\end{center}
 	
 \end{figure}
@@ -27,12 +20,15 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
 Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
 Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
-	\newpage
+\newpage
 \subsection{Winkelangabe}
-
+\begin{figure}[h]
+	
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
 	\end{center}	
+\end{figure}
 
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
 Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
@@ -46,6 +42,4 @@ Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
 In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
-
-\end{document}
\ No newline at end of file
+Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From c0f7b4bd46fa66526f8ddfb20ce9edbcfbb03d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 17 May 2022 16:02:53 +0200
Subject: no message

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 buch/papers/nav/trigo.tex | 36 +++++++++++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 29 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/nav/trigo.tex')

diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index 2edd651..8b4634f 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+\setlength{\parindent}{0em}
 \section{Sphärische Trigonometrie}
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 
@@ -11,7 +12,7 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec
 Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
 \begin{figure}[h]
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		%\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
 	\end{center}
 	
@@ -25,21 +26,42 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 \begin{figure}[h]
 	
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		%\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
 		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
+
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
-Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
-$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
-Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+Für die Summe der Innenwinkel gilt
+\begin{align}
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
+\end{align}
+
+Der sphärische Exzess
+\begin{align}
+	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
+\end{align}  
+beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
 
 \subsection{Sphärischer Sinussatz}
 In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
+
+Das bedeutet, dass
+
+\begin{align}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
+\end{align}
+
+
 
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
 In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
\ No newline at end of file
+
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber
+\end{align}
+ 
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cgit v1.2.1


From b37f9519bbfd57b3a7d25cca887ff44ff2253921 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Thu, 19 May 2022 14:40:25 +0200
Subject: Korrektur von Feedback

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 buch/papers/nav/trigo.tex | 57 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 44 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/nav/trigo.tex')

diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index 8b4634f..cf2f242 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,18 +1,38 @@
-\setlength{\parindent}{0em}
+
 \section{Sphärische Trigonometrie}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
+\begin{center}
+
+
+\begin{tabular}{ccc}
+	Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
+	\hline
+	$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
+	
+	$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
-A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. 
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. 
+
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
-Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. 
+
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
 Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
-\begin{figure}[h]
+
+\begin{figure}
 	\begin{center}
-		%\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
 	\end{center}
 	
@@ -21,12 +41,12 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
 Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
 Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
-\newpage
-\subsection{Winkelangabe}
-\begin{figure}[h]
+
+\subsection{Winkelsumme}
+\begin{figure}
 	
 	\begin{center}
-		%\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
 		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
 	\end{center}	
 \end{figure}
@@ -37,13 +57,15 @@ Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
 	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
 \end{align}
-
+\subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
 	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
 \end{align}  
 beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
 
+\subsubsection{Flächeninnhalt}
+Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen.
 \subsection{Sphärischer Sinussatz}
 In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
 
@@ -53,7 +75,16 @@ Das bedeutet, dass
 	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
 \end{align}
 
+\subsection{Sphärischer Kosinussätze}
+Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\begin{align}
+	cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+\end{align} %Seitenkosinussatz
+und den Winkelkosinussatz
 
+\begin{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber
+\end{align}
 
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
@@ -62,6 +93,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Se
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
-	\alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
 \end{align}
  
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-- 
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From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Sat, 21 May 2022 18:56:21 +0200
Subject: Korrektur 21.05

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--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -2,33 +2,35 @@
 \section{Sphärische Trigonometrie}
 In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
 Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
-\begin{center}
-
-
-\begin{tabular}{ccc}
-	Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
-	\hline
-	$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
-	
-	$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
-\end{tabular}
-\end{center}
 
 \subsection{Das Kugeldreieck}
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
+Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden.
 
 Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
 Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
-$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
-Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. 
-Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. 
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
 
-Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
-Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist.
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
-Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck.
+
+Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt:
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ccc}
+		Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
+		\hline
+		$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
+		
+		$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
+	\end{tabular}
+\end{center}
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
@@ -38,9 +40,16 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha
 	
 \end{figure}
 
-\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
-Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
+Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
 Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
+		\caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck}
+	\end{center}	
+\end{figure}
 
 \subsection{Winkelsumme}
 \begin{figure}
@@ -55,8 +64,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
 Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
-	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
 \end{align}
+wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
 \subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
@@ -65,31 +75,31 @@ Der sphärische Exzess
 beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
 
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
-Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen.
+Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
 \subsection{Sphärischer Sinussatz}
 In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-
 Das bedeutet, dass
 
 \begin{align}
-	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
 \end{align}
+auch beim Kugeldreieck gilt.
 
-\subsection{Sphärischer Kosinussätze}
+\subsection{Sphärische Kosinussätze}
 Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 \begin{align}
-	cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
 
 \begin{align}
-	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber
 \end{align}
 
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
-
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. 
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
-- 
cgit v1.2.1


From 2dd23cdeef2889a5b3210e324c159ab462bb267c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Tue, 24 May 2022 16:20:10 +0200
Subject: Korrektur (noch nicht fertig)

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index ce367f6..aca8bd2 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,16 +1,13 @@
 
 \section{Sphärische Trigonometrie}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
-Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
-
 \subsection{Das Kugeldreieck}
-Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen.
-Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
 Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
 Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
-Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden.
+Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
 Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
 $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
 
@@ -19,18 +16,6 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
-Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck.
-
-Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt:
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ccc}
-		Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
-		\hline
-		$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
-		
-		$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
-	\end{tabular}
-\end{center}
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
@@ -41,8 +26,11 @@ Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie,
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
+
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -51,7 +39,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
-\subsection{Winkelsumme}
+\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -64,9 +52,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
 Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
-	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
 \end{align}
-wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
+wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
 \subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
@@ -77,32 +65,69 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
 \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
-\subsection{Sphärischer Sinussatz}
-In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-Das bedeutet, dass
 
+\subsection{Seiten und Winkelberechnung}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
+Die Approximation folgt noch. 
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
+Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie.
+So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras.
+So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: 
+\begin{align}
+	\sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und}
+	\cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber
+\end{align}
+Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
+\begin{align}
+	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
+	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+\end{align}
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+
+\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+
+\begin{align}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+	-a^2-b^2 &=-c^2\\
+	a^2+b^2&=c^2
+\end{align}
+
+\subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
+Den sphärischen Sinussatz 
 \begin{align}
 	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
 \end{align}
-auch beim Kugeldreieck gilt.
+kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren.
 
-\subsection{Sphärische Kosinussätze}
-Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+
+\subsubsection{Sphärische Kosinussätze}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 \begin{align}
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
 
 \begin{align}
-	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber
-\end{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
+\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
 
-\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
-Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich:
+Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
-	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
-	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
 \end{align}
+
+
  
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 537a80724031881b7ca7e84873d8f189fe70db45 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Tue, 24 May 2022 16:23:00 +0200
Subject: Revert "Korrektur (noch nicht fertig)"

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--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,13 +1,16 @@
 
 \section{Sphärische Trigonometrie}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
+
 \subsection{Das Kugeldreieck}
-Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
-Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
 Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
 Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
-Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
+Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden.
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
 Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
 $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
 
@@ -16,6 +19,18 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck.
+
+Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt:
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ccc}
+		Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
+		\hline
+		$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
+		
+		$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
+	\end{tabular}
+\end{center}
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
@@ -26,11 +41,8 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
-
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
-
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -39,7 +51,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
-\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
+\subsection{Winkelsumme}
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -52,9 +64,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
 Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
-	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
 \end{align}
-wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
+wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
 \subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
@@ -65,69 +77,32 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
 \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
+\subsection{Sphärischer Sinussatz}
+In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
+Das bedeutet, dass
 
-\subsection{Seiten und Winkelberechnung}
-Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
-Die Approximation folgt noch. 
-Es gilt nämlich:
-\begin{align}
-	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
-	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
-\end{align}
-
-\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
-Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie.
-So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras.
-So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: 
-\begin{align}
-	\sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und}
-	\cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber
-\end{align}
-Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
-\begin{align}
-	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
-	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
-\end{align}
-Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
-
-\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
-Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
-
-\begin{align}
-	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
-	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
-	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
-	-a^2-b^2 &=-c^2\\
-	a^2+b^2&=c^2
-\end{align}
-
-\subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
-Den sphärischen Sinussatz 
 \begin{align}
 	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
 \end{align}
-kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren.
+auch beim Kugeldreieck gilt.
 
-
-\subsubsection{Sphärische Kosinussätze}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\subsection{Sphärische Kosinussätze}
+Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 \begin{align}
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
 
 \begin{align}
-	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
-\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber
+\end{align}
 
-Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
+\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. 
+Es gilt nämlich:
 \begin{align}
-	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
-	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
-	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
-	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
 \end{align}
-
-
  
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-- 
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Date: Tue, 24 May 2022 16:23:21 +0200
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index ce367f6..aca8bd2 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,16 +1,13 @@
 
 \section{Sphärische Trigonometrie}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
-Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie:
-
 \subsection{Das Kugeldreieck}
-Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen.
-Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
 Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
 Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
-Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden.
+Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
 Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
 $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
 
@@ -19,18 +16,6 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
-Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck.
-
-Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt:
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ccc}
-		Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\
-		\hline
-		$a$ & $\leftrightarrow$  & $\sin \ a$  \\
-		
-		$a^2$ & $\leftrightarrow$  & $-\cos \ a$ \\
-	\end{tabular}
-\end{center}
 
 \begin{figure}
 	\begin{center}
@@ -41,8 +26,11 @@ Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie,
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
+
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -51,7 +39,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
-\subsection{Winkelsumme}
+\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
@@ -64,9 +52,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
 Für die Summe der Innenwinkel gilt
 \begin{align}
-	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
 \end{align}
-wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
+wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
 \subsubsection{Sphärischer Exzess}
 Der sphärische Exzess
 \begin{align}
@@ -77,32 +65,69 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
 \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
-\subsection{Sphärischer Sinussatz}
-In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-Das bedeutet, dass
 
+\subsection{Seiten und Winkelberechnung}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
+Die Approximation folgt noch. 
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
+Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie.
+So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras.
+So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: 
+\begin{align}
+	\sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und}
+	\cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber
+\end{align}
+Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
+\begin{align}
+	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
+	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+\end{align}
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+
+\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+
+\begin{align}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+	-a^2-b^2 &=-c^2\\
+	a^2+b^2&=c^2
+\end{align}
+
+\subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
+Den sphärischen Sinussatz 
 \begin{align}
 	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
 \end{align}
-auch beim Kugeldreieck gilt.
+kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren.
 
-\subsection{Sphärische Kosinussätze}
-Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+
+\subsubsection{Sphärische Kosinussätze}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 \begin{align}
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
 
 \begin{align}
-	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber
-\end{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
+\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
 
-\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
-Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich:
+Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
-	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
-	\alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
 \end{align}
+
+
  
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-- 
cgit v1.2.1


From a5f6eeefeab2d84d51b94f780387be6e5264f0ca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Tue, 7 Jun 2022 15:30:25 +0200
Subject: synch

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 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/nav/trigo.tex')

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index aca8bd2..fa53189 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -87,20 +87,21 @@ So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärisch
 Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
 \begin{align}
 	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
-	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+	\frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber
 \end{align}
 Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
 
 \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
-Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
 
 \begin{align}
 	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
-	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
-	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
 	-a^2-b^2 &=-c^2\\
 	a^2+b^2&=c^2
 \end{align}
+Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras.
 
 \subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
 Den sphärischen Sinussatz 
@@ -116,7 +117,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
-
 \begin{align}
 	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
 \end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
@@ -124,8 +124,8 @@ und den Winkelkosinussatz
 Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
 	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
-	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
-	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\
 	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
 \end{align}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 3fbbafce1a5d906a12c1f8035fa2e16f6c187de0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "ENEZ-PC\\erdem" <enez.erdem@ost.ch>
Date: Tue, 5 Jul 2022 15:31:16 +0200
Subject: abschluss

---
 buch/papers/nav/trigo.tex | 45 ++++++++++++++++++++++++---------------------
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index fa53189..c96aaa5 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -7,46 +7,48 @@ Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Sch
 Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
 Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
 
-Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
-$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
-
 Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
 Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist.
 
 Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
 
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). 
+
 \begin{figure}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
+		\label{kugel}
 	\end{center}
 	
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
 
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
-Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
+Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann.
 
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
-		\caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck}
+		\includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
+		\caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck}
+		\label{recht}
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
 \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
-\begin{figure}
+%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht!
 	
-	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
-		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
-	\end{center}	
-\end{figure}
+%	\begin{center}
+%		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+%		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
+%	\end{center}	
+%\end{figure}
 
 
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
@@ -64,12 +66,13 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
-\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\].
 
+\cite{nav:winkel}
 \subsection{Seiten und Winkelberechnung}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
-Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
-Die Approximation folgt noch. 
+Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck.
+Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann.
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
@@ -94,14 +97,14 @@ Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden i
 \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
 Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
 
-\begin{align}
+\begin{align*}
 	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
 	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
 	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
 	-a^2-b^2 &=-c^2\\
 	a^2+b^2&=c^2
-\end{align}
-Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras.
+\end{align*}
+Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras.
 
 \subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
 Den sphärischen Sinussatz 
-- 
cgit v1.2.1


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 buch/papers/nav/trigo.tex | 28 ++++++++++++++++------------
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index c96aaa5..483b612 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,5 +1,7 @@
 
 \section{Sphärische Trigonometrie}
+\rhead{Sphärische Trigonometrie}
+
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
 Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
@@ -14,7 +16,7 @@ Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Ausse
 Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
 
 Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
-Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist.
 $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). 
 
 \begin{figure}
@@ -27,7 +29,7 @@ $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskre
 \end{figure}
 
 \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
-In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
 
 Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
 Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann.
@@ -42,6 +44,7 @@ Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 \end{figure}
 
 \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
+\label{trigo}
 %\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht!
 	
 %	\begin{center}
@@ -66,9 +69,9 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu
 
 \subsubsection{Flächeninnhalt}
 Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
-\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\].
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\]
 
-\cite{nav:winkel}
+In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden.
 \subsection{Seiten und Winkelberechnung}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
 Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck.
@@ -76,7 +79,7 @@ Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine
 Es gilt nämlich:
 \begin{align}
 	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
-	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber
 \end{align}
 
 \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
@@ -92,17 +95,18 @@ Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Eben
 	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
 	\frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber
 \end{align}
-Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
 
 \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
-Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
 
 \begin{align*}
-	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
-	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c),  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. 
+	\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} 
 	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
 	-a^2-b^2 &=-c^2\\
-	a^2+b^2&=c^2
+	a^2+b^2&=c^2.
 \end{align*}
 Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras.
 
@@ -127,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz
 Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
 	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
-	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:}
 	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\
-	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha).
 \end{align}
 
 
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cgit v1.2.1

