From d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:30:44 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Textfile=20se?= =?UTF-8?q?perat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen=20unterordn?= =?UTF-8?q?er=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im=20main.tex?= =?UTF-8?q?=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committe=20nun.=20?= =?UTF-8?q?Bemerkung:=20Wir=20werden=20diese=20Woche=20noch=20das=202D=20-?= =?UTF-8?q?=20Dreieck=20mit=20einem=20Kugeldreieck=20ersetzen!=20Sonst=20w?= =?UTF-8?q?=C3=A4re=20unsere=20Arbeit=20(=20Bis=20auf=20finishing=20wie=20?= =?UTF-8?q?Rechtschreibung=20und=20Formatierung)=20eigentlich=20fertig.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/bilder/dreieck.png | Bin 0 -> 91703 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel1.png | Bin 0 -> 9051 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel2.png | Bin 0 -> 9103 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel3.png | Bin 0 -> 215188 bytes buch/papers/nav/bilder/projektion.png | Bin 0 -> 41289 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 17 +++ buch/papers/nav/flatearth.tex | 31 ++++++ buch/papers/nav/geschichte.tex | 22 ++++ buch/papers/nav/main.log | 109 +++++++++++++++++++ buch/papers/nav/main.tex | 29 ++---- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/packages.tex | 6 ++ buch/papers/nav/trigo.tex | 51 +++++++++ 13 files changed, 433 insertions(+), 22 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/dreieck.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel1.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel2.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel3.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/projektion.png create mode 100644 buch/papers/nav/einleitung.tex create mode 100644 buch/papers/nav/flatearth.tex create mode 100644 buch/papers/nav/geschichte.tex create mode 100644 buch/papers/nav/main.log create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex create mode 100644 buch/papers/nav/trigo.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png new file mode 100644 index 0000000..2b02105 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png new file mode 100644 index 0000000..b3188b7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png new file mode 100644 index 0000000..057740f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png new file mode 100644 index 0000000..97066a2 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png new file mode 100644 index 0000000..5dcc0c8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..42f4b6c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Einleitung} +Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. +Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex new file mode 100644 index 0000000..b14dd4b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} + \section{Warum ist die Erde nicht flach?} + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} + \caption{Mercator Projektion} + \end{center} + \end{figure} + +Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. + Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. + Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. + Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. + Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. +Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex new file mode 100644 index 0000000..a20eb6d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/geschichte.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Geschichte der sphärischen Navigation} +Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. +Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. +Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. +Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. +Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. +Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. +Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. +Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. +Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. +Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. +Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.log b/buch/papers/nav/main.log new file mode 100644 index 0000000..d7aa0a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/main.log @@ -0,0 +1,109 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (MiKTeX 22.3) (preloaded format=pdflatex 2022.4.16) 16 MAY 2022 20:27 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + %&-line parsing enabled. +**./main.tex +(main.tex +LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1 +L3 programming layer <2022-02-24> +! Undefined control sequence. +l.6 \chapter + {Thema\label{chapter:nav}} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! LaTeX Error: Missing \begin{document}. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.6 \chapter{T + hema\label{chapter:nav}} +You're in trouble here. Try typing to proceed. +If that doesn't work, type X to quit. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +! Undefined control sequence. +l.7 \lhead + {Thema} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! + +! LaTeX Error: Environment refsection undefined. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.8 \begin{refsection} + +Your command was ignored. +Type I to replace it with another command, +or to continue without it. + +! Undefined control sequence. +l.9 \chapterauthor + {Hans Muster} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no H in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no M in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 +[][] + [] + + +! LaTeX Error: File `papers/nav/einleitung.tex' not found. + +Type X to quit or to proceed, +or enter new name. (Default extension: tex) + +Enter file name: +! Emergency stop. + + +l.13 \input{papers/nav/einleitung.tex} + ^^M +*** (cannot \read from terminal in nonstop modes) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 22 strings out of 478582 + 530 string characters out of 2856069 + 288951 words of memory out of 3000000 + 18307 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 469259 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 16i,0n,26p,84b,28s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e11e2c0..1ad16da 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,29 +8,14 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} -\input{papers/nav/teil0.tex} -\input{papers/nav/teil1.tex} -\input{papers/nav/teil2.tex} -\input{papers/nav/teil3.tex} + +\input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/geschichte.tex} +\input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/trigo.tex} +\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..15c7fdc 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,9 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{xcolor, soul} diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex new file mode 100644 index 0000000..0dbd7a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + + +\begin{document} + \section{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} + +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. +A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. +Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. +Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \end{center} + +\end{figure} + +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. + \newpage +\subsection{Winkelangabe} + + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \end{center} + +Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. +Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und +$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. +Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. + +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From e898a9c36fb707474ee869f6ec47119d0592e59f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:32:38 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Revert=20"Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Tex?= =?UTF-8?q?tfile=20seperat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen?= =?UTF-8?q?=20unterordner=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im?= =?UTF-8?q?=20main.tex=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committ?= =?UTF-8?q?e=20nun."?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; 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Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex deleted file mode 100644 index b14dd4b..0000000 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} - \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - - \begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} - \caption{Mercator Projektion} - \end{center} - \end{figure} - -Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. -Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. - Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. - Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. - Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. - Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. - Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. -Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. -In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. -Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. -Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex deleted file mode 100644 index a20eb6d..0000000 --- a/buch/papers/nav/geschichte.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} -\section{Geschichte der sphärischen Navigation} -Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. -Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. -Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. -Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. -Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. -Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. -Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. -Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. -Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. -Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. -Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. -Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. -Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.log b/buch/papers/nav/main.log deleted file mode 100644 index d7aa0a9..0000000 --- a/buch/papers/nav/main.log +++ /dev/null @@ -1,109 +0,0 @@ -This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (MiKTeX 22.3) (preloaded format=pdflatex 2022.4.16) 16 MAY 2022 20:27 -entering extended mode - restricted \write18 enabled. - %&-line parsing enabled. -**./main.tex -(main.tex -LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1 -L3 programming layer <2022-02-24> -! Undefined control sequence. -l.6 \chapter - {Thema\label{chapter:nav}} -The control sequence at the end of the top line -of your error message was never \def'ed. If you have -misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct -spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, -and I'll forget about whatever was undefined. - - -! 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Otherwise just continue, -and I'll forget about whatever was undefined. - -Missing character: There is no H in font nullfont! -Missing character: There is no a in font nullfont! -Missing character: There is no n in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no M in font nullfont! -Missing character: There is no u in font nullfont! -Missing character: There is no s in font nullfont! -Missing character: There is no t in font nullfont! -Missing character: There is no e in font nullfont! -Missing character: There is no r in font nullfont! - -Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 -[][] - [] - - -! LaTeX Error: File `papers/nav/einleitung.tex' not found. - -Type X to quit or to proceed, -or enter new name. (Default extension: tex) - -Enter file name: -! Emergency stop. - - -l.13 \input{papers/nav/einleitung.tex} - ^^M -*** (cannot \read from terminal in nonstop modes) - - -Here is how much of TeX's memory you used: - 22 strings out of 478582 - 530 string characters out of 2856069 - 288951 words of memory out of 3000000 - 18307 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 469259 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 - 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 16i,0n,26p,84b,28s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,80000s -! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 1ad16da..e11e2c0 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,14 +8,29 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} +Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +\begin{itemize} +\item +Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. +Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +\item +Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende +Optionen werden gelöscht. +Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +\item +Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. +Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen +in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt +anzuwenden. +\item +Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren +Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +\end{itemize} - -\input{papers/nav/einleitung.tex} -\input{papers/nav/geschichte.tex} -\input{papers/nav/flatearth.tex} -\input{papers/nav/trigo.tex} -\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} - +\input{papers/nav/teil0.tex} +\input{papers/nav/teil1.tex} +\input{papers/nav/teil2.tex} +\input{papers/nav/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex deleted file mode 100644 index 0bb213c..0000000 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ /dev/null @@ -1,190 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} -\section{Das Nautische Dreieck} -\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} -Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. -\\ -Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} -Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - - \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} - \end{center} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. - -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} -\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} -Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. -Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. - - \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - - -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} -Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. -Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} - -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. - -\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. -Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. -Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich - - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - - - -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} -Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - - - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - -mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - -Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. -Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. - -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. - -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. - -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} -Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. -Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. -Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. - -Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. -Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - -mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ - -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. - -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ - -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ - -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ - -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 15c7fdc..9faa48d 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,9 +8,3 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{xcolor, soul} diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex deleted file mode 100644 index 0dbd7a1..0000000 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - - -\begin{document} - \section{Sphärische Trigonometrie} - \subsection{Das Kugeldreieck} - -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. -A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. -Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. -Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. -Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. -\begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} - \end{center} - -\end{figure} - -\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} -Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. - \newpage -\subsection{Winkelangabe} - - \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} - \end{center} - -Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. -Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und -$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. -Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. - -\subsection{Sphärischer Sinussatz} -In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. - -\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. - -\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 309284c1f79df5b8553b0b8875db188ff7d930af Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:43:09 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/bilder/dreieck.png | Bin 0 -> 91703 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel1.png | Bin 0 -> 9051 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel2.png | Bin 0 -> 9103 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel3.png | Bin 0 -> 215188 bytes buch/papers/nav/bilder/projektion.png | Bin 0 -> 41289 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 17 +++ buch/papers/nav/flatearth.tex | 31 ++++++ buch/papers/nav/geschichte.tex | 22 ++++ buch/papers/nav/main.tex | 28 ++--- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/packages.tex | 5 + buch/papers/nav/teil0.tex | 22 ---- buch/papers/nav/teil1.tex | 55 ---------- buch/papers/nav/teil2.tex | 40 ------- buch/papers/nav/teil3.tex | 40 ------- buch/papers/nav/trigo.tex | 51 +++++++++ 16 files changed, 322 insertions(+), 179 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/dreieck.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel1.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel2.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel3.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/projektion.png create mode 100644 buch/papers/nav/einleitung.tex create mode 100644 buch/papers/nav/flatearth.tex create mode 100644 buch/papers/nav/geschichte.tex create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil3.tex create mode 100644 buch/papers/nav/trigo.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png new file mode 100644 index 0000000..2b02105 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png new file mode 100644 index 0000000..b3188b7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png new file mode 100644 index 0000000..057740f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png new file mode 100644 index 0000000..97066a2 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png new file mode 100644 index 0000000..5dcc0c8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..42f4b6c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Einleitung} +Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. +Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex new file mode 100644 index 0000000..b14dd4b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} + \section{Warum ist die Erde nicht flach?} + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} + \caption{Mercator Projektion} + \end{center} + \end{figure} + +Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. + Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. + Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. + Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. + Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. +Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex new file mode 100644 index 0000000..a20eb6d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/geschichte.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Geschichte der sphärischen Navigation} +Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. +Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. +Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. +Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. +Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. +Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. +Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. +Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. +Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. +Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. +Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e11e2c0..9758de9 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,29 +8,13 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} -\input{papers/nav/teil0.tex} -\input{papers/nav/teil1.tex} -\input{papers/nav/teil2.tex} -\input{papers/nav/teil3.tex} + +\input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/geschichte.tex} +\input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/trigo.tex} +\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..16d3a3c 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,8 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{xcolor, soul} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/teil0.tex b/buch/papers/nav/teil0.tex deleted file mode 100644 index f3323a9..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex deleted file mode 100644 index 996202f..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{nav:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{nav:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{nav:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{nav:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex deleted file mode 100644 index 5a52e03..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{nav:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2b5d2d5..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{nav:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex new file mode 100644 index 0000000..0dbd7a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + + +\begin{document} + \section{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} + +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. +A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. +Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. +Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \end{center} + +\end{figure} + +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. + \newpage +\subsection{Winkelangabe} + + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \end{center} + +Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. +Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und +$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. +Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. + +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 800ca10daf88dd073c239b6478bb34f81e48410f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 13:34:13 +0200 Subject: first commit nav --- buch/papers/nav/einleitung.tex | 12 +-- buch/papers/nav/flatearth.tex | 38 ++++------ buch/papers/nav/main.tex | 5 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 139 +++++++++++++++++++--------------- buch/papers/nav/packages.tex | 5 -- buch/papers/nav/sincos.tex | 16 ++++ buch/papers/nav/trigo.tex | 28 +++---- 7 files changed, 123 insertions(+), 120 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/sincos.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 42f4b6c..e24f294 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,17 +1,9 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\begin{document} + \section{Einleitung} Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. - - -\end{document} \ No newline at end of file +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index b14dd4b..fbabbde 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,31 +1,23 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\begin{document} - \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - - \begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} - \caption{Mercator Projektion} - \end{center} - \end{figure} + +\section{Warum ist die Erde nicht flach?} + +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} + \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \end{center} +\end{figure} Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. - Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. - Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. - Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. - Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. - Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. +Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. +Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. +Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. +Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. -Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - - -\end{document} \ No newline at end of file +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 9758de9..8688421 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -4,9 +4,9 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Thema\label{chapter:nav}} -\lhead{Thema} +\lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} @@ -15,6 +15,7 @@ \input{papers/nav/flatearth.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 0bb213c..d6e1388 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,12 +1,3 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. @@ -19,7 +10,7 @@ Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: \end{itemize} Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. \\ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} @@ -35,7 +26,7 @@ $\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ $\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ $\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ @@ -46,24 +37,31 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - +\newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} +\end{figure} + Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} + \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} + @@ -73,8 +71,8 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. \subsection{Ecke A - Nordpol} Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +\newpage +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. \\ @@ -96,64 +94,80 @@ Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eige Die Lösung ist die Sternzeit. Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - + Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich +\\ +\\ +$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +\\ +\\ +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} \subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - + +$A=$ Nordpol + +$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX + +$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +\\ +\\ +Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + +Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. +Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - + +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + $\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY $\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX $\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. + Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. @@ -168,23 +182,22 @@ Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. \\ -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ +Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ +und -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. \\ -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ -\end{document} \ No newline at end of file +Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +\newpage +\listoffigures \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 16d3a3c..9faa48d 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,8 +8,3 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{xcolor, soul} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex new file mode 100644 index 0000000..23e3303 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -0,0 +1,16 @@ + + + +\section{Warum sind die Sinus- und Kosinusfunktionen spezielle Funktionen?} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen (Himmelskörper) zu berechnen. +Jedoch konnten sie sie nicht lösen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen zu diesem Thema angestellt. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. +Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um 900 den Sinussatz. +Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert. +Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet. +Im nächsten Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. +Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. +Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 0dbd7a1..2edd651 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,14 +1,6 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} +\section{Sphärische Trigonometrie} +\subsection{Das Kugeldreieck} - -\begin{document} - \section{Sphärische Trigonometrie} - \subsection{Das Kugeldreieck} - Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. @@ -19,7 +11,8 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} @@ -27,12 +20,15 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. - \newpage +\newpage \subsection{Winkelangabe} - +\begin{figure}[h] + \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} +\end{figure} Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und @@ -46,6 +42,4 @@ Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta) \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. - -\end{document} \ No newline at end of file +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c0f7b4bd46fa66526f8ddfb20ce9edbcfbb03d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 16:02:53 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/main.tex | 5 +++-- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 37 +++++++++++++++++++---------------- buch/papers/nav/packages.tex | 1 + buch/papers/nav/trigo.tex | 36 +++++++++++++++++++++++++++------- 4 files changed, 53 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 8688421..de8d1d6 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:nav}} +\chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}} \lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} \chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} @@ -11,11 +11,12 @@ \input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/geschichte.tex} \input{papers/nav/flatearth.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} -\input{papers/nav/sincos.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d6e1388..b61e908 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -37,6 +37,7 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + \newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure}[h] @@ -129,45 +130,47 @@ Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. $A=$ Nordpol -$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX +$B=$ Bildpunkt des Gestirns X -$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y \\ \\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$. Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - +\\ +\\ mit -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - +\\ +\\ Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. - +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. +Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. +Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..5b87303 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,4 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{amsmath} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 2edd651..8b4634f 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +\setlength{\parindent}{0em} \section{Sphärische Trigonometrie} \subsection{Das Kugeldreieck} @@ -11,7 +12,7 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + %\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} @@ -25,21 +26,42 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + %\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} + Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. -Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und -$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. -Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. +Für die Summe der Innenwinkel gilt +\begin{align} + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber +\end{align} + +Der sphärische Exzess +\begin{align} + \epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber +\end{align} +beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. \subsection{Sphärischer Sinussatz} In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +Das bedeutet, dass + +\begin{align} + \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.} +\end{align} + + \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. \ No newline at end of file + +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & + \alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber +\end{align} + \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From ad5607531d028801836823469f82d5e7c0a4f11f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 18 May 2022 14:20:41 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Dreiecke=20f=C3=BCr=20Nav?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/images/Makefile | 10 +++- buch/papers/nav/images/common.inc | 28 ++++++++-- buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf | Bin 0 -> 90451 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov | 12 ++--- buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf | Bin 0 -> 69523 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov | 6 +-- buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf | Bin 0 -> 82512 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov | 8 +-- buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf | Bin 0 -> 85037 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov | 8 +-- buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf | Bin 0 -> 70054 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov | 6 +-- buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov | 2 +- buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov | 10 ++-- buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg | Bin 0 -> 93432 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf | Bin 0 -> 107370 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov | 96 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex | 57 ++++++++++++++++++++ 18 files changed, 213 insertions(+), 30 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index c9dcacc..bbdea2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -50,7 +50,8 @@ DREIECKE3D = \ dreieck3d4.pdf \ dreieck3d5.pdf \ dreieck3d6.pdf \ - dreieck3d7.pdf + dreieck3d7.pdf \ + dreieck3d8.pdf dreiecke3d: $(DREIECKE3D) @@ -106,3 +107,10 @@ dreieck3d7.jpg: dreieck3d7.png dreieck3d7.pdf: dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg pdflatex dreieck3d7.tex +dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov +dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png + convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg +dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg + pdflatex dreieck3d8.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index 33d9384..e2a1ed0 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -97,13 +97,13 @@ union { } #end -#macro winkel(w, p, q, staerke) +#macro winkel(w, p, q, staerke, r) #declare n = vnormalize(w); #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); intersection { sphere { <0, 0, 0>, 1 + staerke } - cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), 0.4 } + cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } } @@ -113,8 +113,30 @@ union { sphere { p, 1.5 * staerke } #end +#macro dreieck(p, q, r, farbe) + #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); + #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); + intersection { + plane { n1, 0 } + plane { n2, 0 } + plane { n3, 0 } + sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } + pigment { + color farbe + } + finish { + metallic + specular 0.4 + } + } +#end + #declare fett = 0.015; -#declare fine = 0.010; +#declare fein = 0.010; + +#declare klein = 0.3; +#declare gross = 0.4; #declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; #declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf new file mode 100644 index 0000000..015bce7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov index 8afe60e..e491075 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } @@ -36,7 +36,7 @@ object { } object { - winkel(B, C, A, fine) + winkel(B, C, A, fein, gross) pigment { color gruen } @@ -47,7 +47,7 @@ object { } object { - winkel(C, A, B, fine) + winkel(C, A, B, fein, gross) pigment { color blau } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf new file mode 100644 index 0000000..6b3f09d Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov index c23a54c..c0625ce 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf new file mode 100644 index 0000000..7d79455 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov index f2496b5..b6f64d5 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf new file mode 100644 index 0000000..e1ea757 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov index bddcf7c..b6f17e3 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, C, P, fine) + winkel(B, C, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.4,0.2> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf new file mode 100644 index 0000000..6848331 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov index 32fc9e6..188f181 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov index 7611950..191a1e7 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, A, P, fine) + winkel(B, A, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.2,0.6> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov index fa48f5b..aae5c6c 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov @@ -10,13 +10,13 @@ union { seite(A, P, fett) seite(C, P, fett) - seite(A, B, fine) - seite(B, C, fine) - seite(B, P, fine) + seite(A, B, fein) + seite(B, C, fein) + 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"common.inc" + +union { + seite(A, B, fett) + seite(B, C, fett) + seite(A, C, fett) + seite(A, P, fein) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, klein) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, C, A, fein, klein) + pigment { + color gruen + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(C, A, B, fein, gross) + pigment { + color blau + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, P, C, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.8,0,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, C, fein, klein) + pigment { + color rgb<1,0.8,0> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, A, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.4,0.6,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +dreieck(A, B, C, White) + + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex new file mode 100644 index 0000000..c59c7b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% dreieck3d8.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (0.7,3.8) {$A$}; +\node at (-3.4,-0.8) {$B$}; +\node at (3.3,-2.1) {$C$}; +\node at (-1.4,-3.5) {$P$}; + +\node at (-1.9,2.1) {$c$}; +\node at (-0.2,-1.2) {$a$}; +\node at (2.6,1.5) {$b$}; +\node at (-0.8,0) {$l$}; + +\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$}; +\node at (1,-2.9) {$p_c$}; + +\node at (0.7,3.3) {$\alpha$}; +\node at (0.8,2.85) {$\omega$}; +\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$}; +\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$}; +\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$}; +\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + -- cgit v1.2.1 From 525ff82400b685dc6dd0d6376253545720471be0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 18 May 2022 14:25:26 +0200 Subject: remove bad files --- buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf | Bin 70054 -> 70045 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf index 6848331..0c86d36 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 93bdfca3b41397e43537ee334e57883a9ef79279 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 18 May 2022 14:30:12 +0200 Subject: fix nav/makefile.inc --- buch/papers/nav/Makefile.inc | 12 +++++++----- 1 file changed, 7 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc index b30377e..24ab4ee 100644 --- a/buch/papers/nav/Makefile.inc +++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc @@ -6,9 +6,11 @@ dependencies-nav = \ papers/nav/packages.tex \ papers/nav/main.tex \ - papers/nav/references.bib \ - papers/nav/teil0.tex \ - papers/nav/teil1.tex \ - papers/nav/teil2.tex \ - papers/nav/teil3.tex + papers/nav/einleitung.tex \ + papers/nav/flatearth.tex \ + 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a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf new file mode 100644 index 0000000..9d630aa Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png new file mode 100644 index 0000000..0aeef6f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index e24f294..8d8c5c1 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Einleitung} -Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. -Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index fbabbde..bec242e 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} @@ -14,10 +14,14 @@ Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. -Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. +Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. -Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. +Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. + +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex deleted file mode 100644 index a20eb6d..0000000 --- a/buch/papers/nav/geschichte.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} -\section{Geschichte der sphärischen Navigation} -Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. -Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. -Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. -Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. -Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. -Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. -Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. -Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. -Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. -Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. -Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. -Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. -Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index b61e908..a85b119 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,17 +1,13 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. + Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -\\ + Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ @@ -21,34 +17,30 @@ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfach \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ \end{itemize} Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\newpage -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} -\begin{figure}[h] +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. @@ -56,9 +48,9 @@ Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} @@ -66,75 +58,76 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +\subsection{Ecke $P$ und $A$} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. -\newpage -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} + +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. + +\subsection{Ephemeriden} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren. +Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt. -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022} + \end{center} +\end{figure} + +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. \subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\\ -\\ -$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. -\\ -\\ -Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. -Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\subsubsection{Deklination} -Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - +Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. +Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - -$A=$ Nordpol +\subsubsection{Dreieck $ABC$} -$B=$ Bildpunkt des Gestirns X +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $A$ && Nordpol \\ + $B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\ + $C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$ + \end{tabular} +\end{center} -$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y -\\ -\\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. @@ -145,24 +138,24 @@ Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. -\\ -\\ -mit - -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y +mit +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$ + \end{tabular} +\end{center} Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! -\\ -\\ + Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. @@ -174,7 +167,7 @@ Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +\subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. @@ -183,24 +176,23 @@ Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +\subsubsection{Dreieck $ABP$} Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$. -Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ +Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ und -$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. -\\ +\[ +\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. +\] Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ -Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. -\newpage -\listoffigures \ No newline at end of file +Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index 23e3303..bb7f1e4 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -1,16 +1,19 @@ -\section{Warum sind die Sinus- und Kosinusfunktionen spezielle Funktionen?} -Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen (Himmelskörper) zu berechnen. -Jedoch konnten sie sie nicht lösen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen zu diesem Thema angestellt. +\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. + +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen mithilfe des Sternkataloges von Hipparchos angestellt und darauffolgend Kartenmaterial erstellt. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. -Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um 900 den Sinussatz. -Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert. -Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet. -Im nächsten Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. +Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. + + Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 8b4634f..cf2f242 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,18 +1,38 @@ -\setlength{\parindent}{0em} + \section{Sphärische Trigonometrie} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: +\begin{center} + + +\begin{tabular}{ccc} + Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ + \hline + $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ + + $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ +\end{tabular} +\end{center} + \subsection{Das Kugeldreieck} -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. -A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. + +Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. -Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. + Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. -\begin{figure}[h] + +\begin{figure} \begin{center} - %\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} @@ -21,12 +41,12 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. -\newpage -\subsection{Winkelangabe} -\begin{figure}[h] + +\subsection{Winkelsumme} +\begin{figure} \begin{center} - %\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} @@ -37,13 +57,15 @@ Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} \alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber \end{align} - +\subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} \epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber \end{align} beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. +\subsubsection{Flächeninnhalt} +Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen. \subsection{Sphärischer Sinussatz} In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. @@ -53,7 +75,16 @@ Das bedeutet, dass \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.} \end{align} +\subsection{Sphärischer Kosinussätze} +Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz +\begin{align} + cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber +\end{align} %Seitenkosinussatz +und den Winkelkosinussatz +\begin{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber +\end{align} \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. @@ -62,6 +93,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Se Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & - \alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber + \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber \end{align} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From b3283eb05091a88841668c39d422da53d66e1cdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 19 May 2022 14:51:50 +0200 Subject: update korrektur --- buch/papers/nav/main.tex | 5 ++--- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 ++-- 2 files changed, 4 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index de8d1d6..47764e8 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -6,14 +6,13 @@ \chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}} \lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} -\chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} +\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne} \input{papers/nav/einleitung.tex} -\input{papers/nav/sincos.tex} -\input{papers/nav/geschichte.tex} \input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index a85b119..0a498f0 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. @@ -195,4 +195,4 @@ Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Wink Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X -- cgit v1.2.1 From 0fe9bb56da147bf7986852e6f657149206d967a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 19 May 2022 17:31:23 +0200 Subject: fixes --- buch/papers/nav/Makefile.inc | 1 - buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 2 +- 2 files changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc index 24ab4ee..5e86543 100644 --- a/buch/papers/nav/Makefile.inc +++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc @@ -8,7 +8,6 @@ dependencies-nav = \ papers/nav/main.tex \ papers/nav/einleitung.tex \ papers/nav/flatearth.tex \ - papers/nav/geschichte.tex \ papers/nav/nautischesdreieck.tex \ papers/nav/sincos.tex \ papers/nav/trigo.tex \ diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 0a498f0..c1ad38a 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -195,4 +195,4 @@ Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Wink Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X$ -- cgit v1.2.1 From f0a6f930187eb0226ddd4735feba1d93667b8a58 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 19 May 2022 22:12:27 +0200 Subject: add dreieck3d9.pov --- buch/papers/nav/images/Makefile | 7 ++++ buch/papers/nav/images/common.inc | 60 +++++++++++++++++++------------ buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov | 66 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 111 insertions(+), 22 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index bbdea2f..da4defa 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -114,3 +114,10 @@ dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg pdflatex dreieck3d8.tex +dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov +dreieck3d9.jpg: dreieck3d9.png + convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg +dreieck3d9.pdf: dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg + pdflatex dreieck3d9.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index e2a1ed0..2c0ae6e 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -12,6 +12,7 @@ global_settings { #declare imagescale = 0.034; +#declare O = <0, 0, 0>; #declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); #declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); #declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); @@ -102,8 +103,8 @@ union { #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); intersection { - sphere { <0, 0, 0>, 1 + staerke } - cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } + sphere { O, 1 + staerke } + cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } } @@ -132,6 +133,35 @@ union { } #end +#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); + #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); + #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + n, 0.02, White) +// arrow(a, a + np, 0.01, Red) +// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) + intersection { + cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } + plane { np, vdot(np, a) } + plane { nq, vdot(nq, a) } + pigment { + farbe + } + finish { + metallic + specular 0.5 + } + } +#end + +#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); +// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) + #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) + ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) +#end + #declare fett = 0.015; #declare fein = 0.010; @@ -143,29 +173,15 @@ union { #declare gruen = rgb<0,0.6,0>; #declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; +#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; +#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; + +#macro kugel(farbe) sphere { <0, 0, 0>, 1 pigment { - color rgb<0.8,0.8,0.8> + color farbe } } +#end -//union { -// sphere { A, 0.02 } -// sphere { B, 0.02 } -// sphere { C, 0.02 } -// sphere { P, 0.02 } -// pigment { -// color Red -// } -//} - -//union { -// winkel(A, B, C) -// winkel(B, P, C) -// seite(B, C, 0.01) -// seite(B, P, 0.01) -// pigment { -// color rgb<0,0.6,0> -// } -//} diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov new file mode 100644 index 0000000..24d3843 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov @@ -0,0 +1,66 @@ +// +// dreiecke3d8.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +//union { +// seite(A, B, fein) +// seite(B, C, fein) +// seite(A, C, fein) +// seite(A, P, fein) +// seite(B, P, fett) +// seite(C, P, fett) +// punkt(A, fein) +// punkt(B, fett) +// punkt(C, fett) +// punkt(P, fett) +// pigment { +// color dreieckfarbe +// } +// finish { +// specular 0.95 +// metallic +// } +//} + +//dreieck(A, B, C, White) + +kugel(kugeltransparent) + +ebenerwinkel(O, C, P, 0.01, 1.001, rot) +ebenerwinkel(P, C, P, 0.01, 0.3, rot) +komplement(P, C, P, 0.01, 0.3, Yellow) + +ebenerwinkel(O, B, P, 0.01, 1.001, blau) +ebenerwinkel(P, B, P, 0.01, 0.3, blau) +komplement(P, B, P, 0.01, 0.3, Green) + +arrow(B, 1.5 * B, 0.015, White) +arrow(C, 1.5 * C, 0.015, White) +arrow(P, 1.5 * P, 0.015, White) + +union { + cylinder { O, P, 0.7 * fein } + + cylinder { P, P + 3 * B, 0.7 * fein } + cylinder { O, B + 3 * B, 0.7 * fein } + + cylinder { P, P + 3 * C, 0.7 * fein } + cylinder { O, C + 3 * C, 0.7 * fein } + + pigment { + color White + } +} + +#declare imagescale = 0.044; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + -- cgit v1.2.1 From 411fb410f790fcc1bb3da381c17119ebb5130032 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sat, 21 May 2022 18:56:21 +0200 Subject: Korrektur 21.05 --- buch/papers/nav/bilder/ephe.png | Bin 184799 -> 543515 bytes buch/papers/nav/bilder/recht.jpg | Bin 0 -> 42889 bytes buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg | Bin 0 -> 8280 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/nav/flatearth.tex | 15 +++-- buch/papers/nav/main.tex | 2 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 123 +++++++++++++++++----------------- buch/papers/nav/sincos.tex | 6 +- buch/papers/nav/trigo.tex | 66 ++++++++++-------- 9 files changed, 114 insertions(+), 100 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/recht.jpg create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png index 0aeef6f..3f99a36 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png and b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg new file mode 100644 index 0000000..3f60370 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg new file mode 100644 index 0000000..53dd784 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8d8c5c1..aafa107 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -4,6 +4,6 @@ Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. -Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index bec242e..5bfc1b7 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -9,19 +9,20 @@ \end{center} \end{figure} -Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Es gibt heutzutage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. -Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. +Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristoteles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist. +Auch der Erdschatten bei einer Mondfinsternis ist immer rund. Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. -Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + +Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. -Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. -Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 47764e8..e16dc2a 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}} +\chapter{Sphärische Navigation\label{chapter:nav}} \lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} \chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c1ad38a..c239d64 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,22 +1,14 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. - Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. -Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} -Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. + +Für die Definition gilt: \begin{center} \begin{tabular}{ c c c } Winkel && Name / Beziehung \\ @@ -31,6 +23,15 @@ Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: \end{tabular} \end{center} +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} + + \subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure} \begin{center} @@ -39,15 +40,13 @@ Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: \end{center} \end{figure} -Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. - +Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} -Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. -Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. - +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -60,31 +59,30 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. -\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y} +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. -Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren. -Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png} - \caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Nautical Almanac Mai 2002]{Nautical Almanac Mai 2002} \end{center} \end{figure} \subsubsection{Deklination} -Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. -\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +\subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. @@ -98,19 +96,28 @@ Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. +\subsubsection{Sextant} +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/sextant.jpg} + \caption[Sextant]{Sextant} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} @@ -128,15 +135,15 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{tabular} \end{center} -Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$. +Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. -Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. +Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. mit @@ -144,55 +151,49 @@ mit \begin{tabular}{ c c c } Ecke && Name \\ \hline - $\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\ - $\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\ - $\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\ - $\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$ + $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination vom Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad vom Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad vom Bildpunkt $Y$ \end{tabular} \end{center} -Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - -Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Nun haben wir die beiden Seiten $c$ und $b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. +Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} -Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. -Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort $P$. Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. -Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ -mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. -Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. - -Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$. - -Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ - +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. +Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und - \[ \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. - +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X$ +wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index bb7f1e4..d56d482 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -6,14 +6,16 @@ Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren si Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen mithilfe des Sternkataloges von Hipparchos angestellt und darauffolgend Kartenmaterial erstellt. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. + Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. - Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index cf2f242..ce367f6 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -2,33 +2,35 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: -\begin{center} - - -\begin{tabular}{ccc} - Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ - \hline - $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ - - $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ -\end{tabular} -\end{center} \subsection{Das Kugeldreieck} +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. +Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. +Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. +Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. -Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. -Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). -Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. -Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. +Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist. Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. + +Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ccc} + Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ + \hline + $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ + + $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ + \end{tabular} +\end{center} \begin{figure} \begin{center} @@ -38,9 +40,16 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha \end{figure} -\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} -Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. +\begin{figure} + + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} + \caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck} + \end{center} +\end{figure} \subsection{Winkelsumme} \begin{figure} @@ -55,8 +64,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} - \alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber \end{align} +wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. \subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} @@ -65,31 +75,31 @@ Der sphärische Exzess beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. \subsubsection{Flächeninnhalt} -Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen. +Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. \subsection{Sphärischer Sinussatz} In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. - Das bedeutet, dass \begin{align} - \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.} + \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \end{align} +auch beim Kugeldreieck gilt. -\subsection{Sphärischer Kosinussätze} +\subsection{Sphärische Kosinussätze} Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \begin{align} - cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber + \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz \begin{align} - \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber \end{align} \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. - +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & -- cgit v1.2.1 From 2dd23cdeef2889a5b3210e324c159ab462bb267c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:20:10 +0200 Subject: Korrektur (noch nicht fertig) --- buch/papers/nav/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/nav/flatearth.tex | 3 +- buch/papers/nav/main.tex | 1 + buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 +++++++++++++++---------------- buch/papers/nav/packages.tex | 3 +- buch/papers/nav/sincos.tex | 6 ++- buch/papers/nav/trigo.tex | 99 ++++++++++++++++++++++------------- 7 files changed, 116 insertions(+), 87 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index aafa107..8eb4481 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \section{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. -Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 5bfc1b7..3b08e8d 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -17,10 +17,9 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e16dc2a..4c52547 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -19,3 +19,4 @@ \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} + diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c239d64..36e9c99 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,49 +4,26 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -Für die Definition gilt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } - Winkel && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} - - -\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\subsection{Das Bilddreieck} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - -Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. +Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. +Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -59,8 +36,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. +Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -69,8 +46,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. -In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. +Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -83,25 +60,24 @@ In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. + Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -109,7 +85,32 @@ Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen d \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} - +\subsubsection{Eingeschaften} +Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Legende && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Eigenschaften \\ + \hline + Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ + Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ + Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ + \end{tabular} +\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 5b87303..f2e6132 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,4 +8,5 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{amsmath} \ No newline at end of file +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index d56d482..a1653e8 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -7,12 +7,14 @@ Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. -In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index ce367f6..aca8bd2 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,16 +1,13 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. -Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: - \subsection{Das Kugeldreieck} -Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. -Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. +Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. -Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. +Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). @@ -19,18 +16,6 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. - -Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ccc} - Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ - \hline - $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ - - $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ - \end{tabular} -\end{center} \begin{figure} \begin{center} @@ -41,8 +26,11 @@ Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. + Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. + \begin{figure} \begin{center} @@ -51,7 +39,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{center} \end{figure} -\subsection{Winkelsumme} +\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} \begin{figure} \begin{center} @@ -64,9 +52,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} - \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber \end{align} -wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. +wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. \subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} @@ -77,32 +65,69 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. -\subsection{Sphärischer Sinussatz} -In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass +\subsection{Seiten und Winkelberechnung} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. +Die Approximation folgt noch. +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & + \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber +\end{align} + +\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} +Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie. +So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras. +So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: +\begin{align} + \sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und} + \cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber +\end{align} +Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: +\begin{align} + a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} + a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber +\end{align} +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. + +\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich + +\begin{align} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ + \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + -a^2-b^2 &=-c^2\\ + a^2+b^2&=c^2 +\end{align} + +\subsubsection{Sphärischer Sinussatz} +Den sphärischen Sinussatz \begin{align} \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \end{align} -auch beim Kugeldreieck gilt. +kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren. -\subsection{Sphärische Kosinussätze} -Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz + +\subsubsection{Sphärische Kosinussätze} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \begin{align} \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz \begin{align} - \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber -\end{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber +\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. -\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: +Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} - \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & - \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ + \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) \end{align} + + \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 537a80724031881b7ca7e84873d8f189fe70db45 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:23:00 +0200 Subject: Revert "Korrektur (noch nicht fertig)" This reverts commit ebe0085df81f3190423e14e6a48fc9d17550e417. --- buch/papers/nav/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/nav/flatearth.tex | 3 +- buch/papers/nav/main.tex | 1 - buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 ++++++++++++++++--------------- buch/papers/nav/packages.tex | 3 +- buch/papers/nav/sincos.tex | 6 +-- buch/papers/nav/trigo.tex | 99 +++++++++++++---------------------- 7 files changed, 87 insertions(+), 116 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8eb4481..aafa107 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \section{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. -Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 3b08e8d..5bfc1b7 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -17,9 +17,10 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 4c52547..e16dc2a 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -19,4 +19,3 @@ \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} - diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36e9c99..c239d64 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,26 +4,49 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -\subsection{Das Bilddreieck} +Für die Definition gilt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} + + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. -Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + +Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -36,8 +59,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. +Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -46,8 +69,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -60,24 +83,25 @@ Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Z Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. - +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. -Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -85,32 +109,7 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Eingeschaften} -Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Legende && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Eigenschaften \\ - \hline - Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ - Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ - Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ - \end{tabular} -\end{center} + \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index f2e6132..5b87303 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,5 +8,4 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{amsmath} -\usepackage{cancel} \ No newline at end of file +\usepackage{amsmath} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index a1653e8..d56d482 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -7,14 +7,12 @@ Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. -In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. -Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. -Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index aca8bd2..ce367f6 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,13 +1,16 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: + \subsection{Das Kugeldreieck} -Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. -Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. +Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. -Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. +Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). @@ -16,6 +19,18 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. + +Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: +\begin{center} + \begin{tabular}{ccc} + Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ + \hline + $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ + + $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ + \end{tabular} +\end{center} \begin{figure} \begin{center} @@ -26,11 +41,8 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. - Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. - +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. \begin{figure} \begin{center} @@ -39,7 +51,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{center} \end{figure} -\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} +\subsection{Winkelsumme} \begin{figure} \begin{center} @@ -52,9 +64,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} - \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber \end{align} -wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. +wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. \subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} @@ -65,69 +77,32 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass -\subsection{Seiten und Winkelberechnung} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. -Die Approximation folgt noch. -Es gilt nämlich: -\begin{align} - \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & - \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber -\end{align} - -\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} -Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie. -So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras. -So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: -\begin{align} - \sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und} - \cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber -\end{align} -Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: -\begin{align} - a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} - a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber -\end{align} -Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. - -\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich - -\begin{align} - \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ - \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} - -a^2-b^2 &=-c^2\\ - a^2+b^2&=c^2 -\end{align} - -\subsubsection{Sphärischer Sinussatz} -Den sphärischen Sinussatz \begin{align} \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \end{align} -kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren. +auch beim Kugeldreieck gilt. - -\subsubsection{Sphärische Kosinussätze} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz +\subsection{Sphärische Kosinussätze} +Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \begin{align} \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz \begin{align} - \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber -\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber +\end{align} -Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: \begin{align} - \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ - \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} - a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) + \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & + \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber \end{align} - - \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 7776e5829bf5da82b6b3fc5478ed05c6c9a66d29 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 24 May 2022 16:23:21 +0200 Subject: Revert "Revert "Korrektur (noch nicht fertig)"" This reverts commit 2fd00f1b2f0d123fdb1fb1a93b5e4d361587329c. --- buch/papers/nav/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/nav/flatearth.tex | 3 +- buch/papers/nav/main.tex | 1 + buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 89 +++++++++++++++---------------- buch/papers/nav/packages.tex | 3 +- buch/papers/nav/sincos.tex | 6 ++- buch/papers/nav/trigo.tex | 99 ++++++++++++++++++++++------------- 7 files changed, 116 insertions(+), 87 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index aafa107..8eb4481 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \section{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. -Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 5bfc1b7..3b08e8d 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -17,10 +17,9 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e16dc2a..4c52547 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -19,3 +19,4 @@ \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} + diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index c239d64..36e9c99 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -4,49 +4,26 @@ Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. -Für die Definition gilt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } - Winkel && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} - -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} - - -\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\subsection{Das Bilddreieck} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} - -Wie man in der Abbildung 21.4 sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. + Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. +Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. +Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} @@ -59,8 +36,8 @@ Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Kapitel 21.6 erklärt. \subsection{Ecke $P$ und $A$} Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. -Der Vorteil ander Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. +Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. \subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. @@ -69,8 +46,8 @@ Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mo Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. -In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. +Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -83,25 +60,24 @@ In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns. \subsubsection{Rektaszension und Sternzeit} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. + Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich \[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] -Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann, insbesondere den Winkelabstand zu einem Gestirn vom Horizont. Man nutze ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} \begin{center} @@ -109,7 +85,32 @@ Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen d \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} - +\subsubsection{Eingeschaften} +Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Legende && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} +\begin{center} + \begin{tabular}{ l c l } + Eigenschaften \\ + \hline + Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ + Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ + Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ + Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ + \end{tabular} +\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 5b87303..f2e6132 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,4 +8,5 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{amsmath} \ No newline at end of file +\usepackage{amsmath} +\usepackage{cancel} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index d56d482..a1653e8 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -7,12 +7,14 @@ Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. -In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index ce367f6..aca8bd2 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,16 +1,13 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. -Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: - \subsection{Das Kugeldreieck} -Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie "Grosskreisebene" und "Grosskreisbögen" verstehen. -Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. +Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. -Grosskreisbögen sind die Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel, welche auch "Seiten" eines Kugeldreiecks gennant werden. +Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). @@ -19,18 +16,6 @@ Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ d Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersches Dreieck. - -Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, wobei folgend $a$ eine Seite beschreibt: -\begin{center} - \begin{tabular}{ccc} - Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ - \hline - $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ - - $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ - \end{tabular} -\end{center} \begin{figure} \begin{center} @@ -41,8 +26,11 @@ Es gibt einen Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie, \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. + Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. + \begin{figure} \begin{center} @@ -51,7 +39,7 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{center} \end{figure} -\subsection{Winkelsumme} +\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} \begin{figure} \begin{center} @@ -64,9 +52,9 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} - \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber \end{align} -wobei F der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. +wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist. \subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} @@ -77,32 +65,69 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt \[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. -\subsection{Sphärischer Sinussatz} -In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass +\subsection{Seiten und Winkelberechnung} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. +Die Approximation folgt noch. +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & + \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber +\end{align} + +\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} +Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie. +So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras. +So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: +\begin{align} + \sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und} + \cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber +\end{align} +Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: +\begin{align} + a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} + a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber +\end{align} +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. + +\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich + +\begin{align} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ + \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + -a^2-b^2 &=-c^2\\ + a^2+b^2&=c^2 +\end{align} + +\subsubsection{Sphärischer Sinussatz} +Den sphärischen Sinussatz \begin{align} \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \end{align} -auch beim Kugeldreieck gilt. +kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren. -\subsection{Sphärische Kosinussätze} -Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz + +\subsubsection{Sphärische Kosinussätze} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \begin{align} \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz \begin{align} - \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c. \nonumber -\end{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber +\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. -\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: +Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} - \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & - \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ + \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) \end{align} + + \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 2fad6877aa1883714a060e1204e6d4d3566541d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 19:02:25 +0200 Subject: add example --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 24 ++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 24 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/beispiel.txt (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt new file mode 100644 index 0000000..c63525b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -0,0 +1,24 @@ +Datum: 28. 5. 2022 +Zeit: 15:29:49 UTC +Sternzeit: 7h 54m 26.593s + +Deneb + +RA 20h 42m 12.14s 10.703372h +DEC 45 21' 40.3" 45.361194 + +H 50g 15' 17.1" 50.254750h +Azi 59g 36' 02.0" 59.600555 + +Spica + +RA 13h 26m 23.44s 13.439844h +DEC -11g 16' 46.8" 11.279666 + +H 18g 27' 30.0" 18.458333 +Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 + +Position: + +l = 140.228920 E +b = 35.734946 N -- cgit v1.2.1 From 082afe0e8250519008c73b947922be22afda3fd5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 28 May 2022 19:14:50 +0200 Subject: beispiel korrektur --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index c63525b..853ae4e 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -20,5 +20,5 @@ Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 Position: -l = 140.228920 E -b = 35.734946 N +l = 140 14' 00.01" E 140.233336 E +b = 35 43' 00.02" N 35.716672 N -- cgit v1.2.1 From 0b6917dcba521381f259dbaeed718ac1407eeefd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 May 2022 07:48:27 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Sternzeit=20dezimal=20erg=C3=A4nzt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index 853ae4e..94466ce 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -1,6 +1,6 @@ Datum: 28. 5. 2022 Zeit: 15:29:49 UTC -Sternzeit: 7h 54m 26.593s +Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h Deneb -- cgit v1.2.1 From 8eb7793b2100ff83caa1ab8898dcab572d0d995f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 31 May 2022 07:55:04 +0200 Subject: ra korrigiert --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index 94466ce..70e3ce2 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -4,7 +4,7 @@ Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h Deneb -RA 20h 42m 12.14s 10.703372h +RA 20h 42m 12.14s 20.703372h DEC 45 21' 40.3" 45.361194 H 50g 15' 17.1" 50.254750h -- cgit v1.2.1 From a5f6eeefeab2d84d51b94f780387be6e5264f0ca Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 7 Jun 2022 15:30:25 +0200 Subject: synch --- buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg | Bin 8280 -> 244565 bytes buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 28 +--------------------------- buch/papers/nav/trigo.tex | 14 +++++++------- 3 files changed, 8 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg index 53dd784..472e61f 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg and b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg differ diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36e9c99..d8a14af 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -39,7 +39,7 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach. -\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$} +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. @@ -85,32 +85,6 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Eingeschaften} -Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften: -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Legende && Name / Beziehung \\ - \hline - $\alpha$ && Rektaszension \\ - $\delta$ && Deklination \\ - $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ - $\phi$ && Geographische Breite\\ - $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ - $a$ && Azimut\\ - $h$ && Höhe - \end{tabular} -\end{center} -\begin{center} - \begin{tabular}{ l c l } - Eigenschaften \\ - \hline - Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$ \\ - Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\ - Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn= && $\pi-\alpha$\\ - Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\ - \end{tabular} -\end{center} \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index aca8bd2..fa53189 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -87,20 +87,21 @@ So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärisch Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene: \begin{align} a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} - a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber + \frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber \end{align} Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich \begin{align} \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\ - \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ a^2+b^2&=c^2 \end{align} +Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras. \subsubsection{Sphärischer Sinussatz} Den sphärischen Sinussatz @@ -116,7 +117,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz \cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber \end{align} %Seitenkosinussatz und den Winkelkosinussatz - \begin{align} \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber \end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist. @@ -124,8 +124,8 @@ und den Winkelkosinussatz Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\ - \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\ a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) \end{align} -- cgit v1.2.1 From fe2c26ed9605f3576abedfd8f0e2068e0c2d40e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 8 Jun 2022 18:50:57 +0200 Subject: add additional measurements --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 22 +++++++++++++++++++--- 1 file changed, 19 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index 70e3ce2..12d9e9e 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -5,15 +5,31 @@ Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h Deneb RA 20h 42m 12.14s 20.703372h -DEC 45 21' 40.3" 45.361194 +DEC 45g 21' 40.3" 45.361194 -H 50g 15' 17.1" 50.254750h +H 50g 15' 21.7" 50.256027 Azi 59g 36' 02.0" 59.600555 +Altair + +RA 19h 51' 53.39" 19.864831h +DEC 8g 55' 42.3 8.928416 + +H 45g 27' 48.1" 45.463361 +Azi 117g 16' 14.1" 117.270583 + +Arktur + +RA 14h 16' 42.14" 14.278372 +DEC 19g 03' 47.6 19.063222 + +H 47g 25' 38.8" 47.427444 +Azi 259g 09' 38.4" 259.160666 + Spica RA 13h 26m 23.44s 13.439844h -DEC -11g 16' 46.8" 11.279666 +DEC -11g 16' 46.8" -11.279666 H 18g 27' 30.0" 18.458333 Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 -- cgit v1.2.1 From b116b6ce1b2988cddd9fff3ae4b2008062438ca2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Wed, 8 Jun 2022 20:54:01 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=EF=BB=BFasd?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 22 +++------------------- 1 file changed, 3 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index 12d9e9e..b8716fc 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -5,31 +5,15 @@ Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h Deneb RA 20h 42m 12.14s 20.703372h -DEC 45g 21' 40.3" 45.361194 +DEC 45 21' 40.3" 45.361194 -H 50g 15' 21.7" 50.256027 +H 50g 15' 17.1" 50.254750 Azi 59g 36' 02.0" 59.600555 -Altair - -RA 19h 51' 53.39" 19.864831h -DEC 8g 55' 42.3 8.928416 - -H 45g 27' 48.1" 45.463361 -Azi 117g 16' 14.1" 117.270583 - -Arktur - -RA 14h 16' 42.14" 14.278372 -DEC 19g 03' 47.6 19.063222 - -H 47g 25' 38.8" 47.427444 -Azi 259g 09' 38.4" 259.160666 - Spica RA 13h 26m 23.44s 13.439844h -DEC -11g 16' 46.8" -11.279666 +DEC -11g 16' 46.8" 11.279666 H 18g 27' 30.0" 18.458333 Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 -- cgit v1.2.1 From 6f3d0a8adb483394383123e2f4645bdaabba4c32 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 9 Jun 2022 19:47:33 +0200 Subject: new chapter beispiel --- buch/papers/nav/bsp.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/main.tex | 1 + 2 files changed, 82 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/bsp.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex new file mode 100644 index 0000000..6f30022 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +\section{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von einem uns unbekannten Ort aus gemessen. +Diesen Punkt gilt es mit dem erlangten Wissen herauszufinden. + +\subsection{Vorgehen} + +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + 1. & Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen \\ + 2. & Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften\\ + 3. & Dreieck ABC bestimmmen\\ + 4. & Dreieck BPC bestimmen \\ + 5. & Dreieck ABP bestimmen \\ + 6. & Geographische Breite bestimmen \\ + 7. & Geographische Länge bestimmen \\ + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Ausgangslage} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ Stunden \cdot 15 = Grad\]. +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ + Deneb&\\ + & Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\ + & Höhe $H_{Deneb}$ & $50.256027^\circ$ \\ + Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\ + & Höhe $H_{Arktur}$ & $47.427444^\circ$ \\ + \end{tabular} +\end{center} +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{Deneb}&=DEC_{Deneb} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Deneb}&=RA_{Deneb} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{Arktur}&=DEC_{Arktur} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Arktur}&=RA_{Arktur} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +BILD +\subsection{Dreieck ABC} +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align} + b=90^\circ-DEC_{Deneb} = 90^\circ - 45.361194^\circ = \underline{\underline{44.638806^\circ}}\nonumber \\ + c=90^\circ-DEC_{Arktur} = 90^\circ - 19.063222^\circ = \underline{\underline{70.936778^\circ}} \nonumber +\end{align} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel \[\alpha= RA_{Deneb} - RA_{Arktur} = 310.55058^\circ -214.17558^\circ = \underline{\underline{96.375^\circ}}.\] +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \nonumber +\end{align} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \nonumber +\end{align} + + \begin{align} + \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber +\end{align} + diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 4c52547..37bc83a 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} +\input{papers/nav/bsp.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] -- cgit v1.2.1 From 332ac4d8384eb8afee67e290e7660bffa9887263 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 10 Jun 2022 15:50:16 +0200 Subject: add position subdirectory --- buch/papers/nav/images/Makefile | 27 +- buch/papers/nav/images/common.inc | 156 +----------- buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf | Bin 90451 -> 85369 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov | 3 + buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf | Bin 69523 -> 64256 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf | Bin 82512 -> 77179 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf | Bin 85037 -> 84768 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf | Bin 70045 -> 64209 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov | 2 + buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg | Bin 93432 -> 90015 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf | Bin 107370 -> 103952 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov | 1 + buch/papers/nav/images/macros.inc | 343 ++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/position/Makefile | 54 ++++ buch/papers/nav/images/position/common.inc | 37 +++ buch/papers/nav/images/position/common.tex | 32 +++ buch/papers/nav/images/position/position1.pdf | Bin 0 -> 107297 bytes buch/papers/nav/images/position/position1.pov | 71 ++++++ buch/papers/nav/images/position/position1.tex | 55 +++++ buch/papers/nav/images/position/position2.pdf | Bin 0 -> 90563 bytes buch/papers/nav/images/position/position2.pov | 70 ++++++ buch/papers/nav/images/position/position2.tex | 53 ++++ buch/papers/nav/images/position/position3.pdf | Bin 0 -> 85020 bytes buch/papers/nav/images/position/position3.pov | 48 ++++ buch/papers/nav/images/position/position3.tex | 51 ++++ buch/papers/nav/images/position/position4.pdf | Bin 0 -> 86376 bytes buch/papers/nav/images/position/position4.pov | 69 ++++++ buch/papers/nav/images/position/position4.tex | 50 ++++ buch/papers/nav/images/position/position5.pdf | Bin 0 -> 91680 bytes buch/papers/nav/images/position/position5.pov | 69 ++++++ buch/papers/nav/images/position/position5.tex | 50 ++++ 36 files changed, 1087 insertions(+), 164 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/macros.inc create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/Makefile create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/common.inc create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/common.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position1.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position1.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position1.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position2.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position2.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position2.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position3.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position3.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position3.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position4.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position4.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position4.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position5.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position5.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position5.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index da4defa..39bfbcf 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -51,73 +51,80 @@ DREIECKE3D = \ dreieck3d5.pdf \ dreieck3d6.pdf \ dreieck3d7.pdf \ - dreieck3d8.pdf + dreieck3d8.pdf dreiecke3d: $(DREIECKE3D) POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 #POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 -dreieck3d1.png: dreieck3d1.pov common.inc +dreieck3d1.png: dreieck3d1.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d1.png dreieck3d1.pov dreieck3d1.jpg: dreieck3d1.png convert dreieck3d1.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d1.jpg dreieck3d1.pdf: dreieck3d1.tex dreieck3d1.jpg pdflatex dreieck3d1.tex -dreieck3d2.png: dreieck3d2.pov common.inc +dreieck3d2.png: dreieck3d2.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d2.png dreieck3d2.pov dreieck3d2.jpg: dreieck3d2.png convert dreieck3d2.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d2.jpg dreieck3d2.pdf: dreieck3d2.tex dreieck3d2.jpg pdflatex dreieck3d2.tex -dreieck3d3.png: dreieck3d3.pov common.inc +dreieck3d3.png: dreieck3d3.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d3.png dreieck3d3.pov dreieck3d3.jpg: dreieck3d3.png convert dreieck3d3.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d3.jpg dreieck3d3.pdf: dreieck3d3.tex dreieck3d3.jpg pdflatex dreieck3d3.tex -dreieck3d4.png: dreieck3d4.pov common.inc +dreieck3d4.png: dreieck3d4.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d4.png dreieck3d4.pov dreieck3d4.jpg: dreieck3d4.png convert dreieck3d4.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d4.jpg dreieck3d4.pdf: dreieck3d4.tex dreieck3d4.jpg pdflatex dreieck3d4.tex -dreieck3d5.png: dreieck3d5.pov common.inc +dreieck3d5.png: dreieck3d5.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d5.png dreieck3d5.pov dreieck3d5.jpg: dreieck3d5.png convert dreieck3d5.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d5.jpg dreieck3d5.pdf: dreieck3d5.tex dreieck3d5.jpg pdflatex dreieck3d5.tex -dreieck3d6.png: dreieck3d6.pov common.inc +dreieck3d6.png: dreieck3d6.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d6.png dreieck3d6.pov dreieck3d6.jpg: dreieck3d6.png convert dreieck3d6.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d6.jpg dreieck3d6.pdf: dreieck3d6.tex dreieck3d6.jpg pdflatex dreieck3d6.tex -dreieck3d7.png: dreieck3d7.pov common.inc +dreieck3d7.png: dreieck3d7.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d7.png dreieck3d7.pov dreieck3d7.jpg: dreieck3d7.png convert dreieck3d7.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d7.jpg dreieck3d7.pdf: dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg pdflatex dreieck3d7.tex -dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc +dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg pdflatex dreieck3d8.tex -dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc +dreieck3d9.png: dreieck3d9.pov common.inc macros.inc povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov dreieck3d9.jpg: dreieck3d9.png convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg dreieck3d9.pdf: dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg pdflatex dreieck3d9.tex +dreieck3d10.png: dreieck3d10.pov common.inc macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d10.png dreieck3d10.pov +dreieck3d10.jpg: dreieck3d10.png + convert dreieck3d10.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d10.jpg +dreieck3d10.pdf: dreieck3d10.tex dreieck3d10.jpg macros.inc + pdflatex dreieck3d10.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index 2c0ae6e..7b861de 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -5,6 +5,7 @@ // #version 3.7; #include "colors.inc" +#include "macros.inc" global_settings { assumed_gamma 1 @@ -12,12 +13,6 @@ global_settings { #declare imagescale = 0.034; -#declare O = <0, 0, 0>; -#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); -#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); -#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); -#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>); - camera { location <40, 20, -20> look_at <0, 0.24, -0.20> @@ -26,7 +21,7 @@ camera { } light_source { - <10, 10, -40> color White + <30, 10, -40> color White area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 adaptive 1 jitter @@ -38,150 +33,3 @@ sky_sphere { } } -// -// draw an arrow from to with thickness with -// color -// -#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) -#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); -#declare arrowlength = vlength(to - from); -union { - sphere { - from, 1.1 * arrowthickness - } - cylinder { - from, - from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, - arrowthickness - } - cone { - from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, - 2 * arrowthickness, - to, - 0 - } - pigment { - color c - } - finish { - specular 0.9 - metallic - } -} -#end - -#macro grosskreis(normale, staerke) -union { - #declare v1 = vcross(normale, ); - #declare v1 = vnormalize(v1); - #declare v2 = vnormalize(vcross(v1, normale)); - #declare phisteps = 100; - #declare phistep = pi / phisteps; - #declare phi = 0; - #declare p1 = v1; - #while (phi < 2 * pi - phistep/2) - sphere { p1, staerke } - #declare phi = phi + phistep; - #declare p2 = v1 * cos(phi) + v2 * sin(phi); - cylinder { p1, p2, staerke } - #declare p1 = p2; - #end -} -#end - -#macro seite(p, q, staerke) - #declare n = vcross(p, q); - intersection { - grosskreis(n, staerke) - plane { -vcross(n, q) * vdot(vcross(n, q), p), 0 } - plane { -vcross(n, p) * vdot(vcross(n, p), q), 0 } - } -#end - -#macro winkel(w, p, q, staerke, r) - #declare n = vnormalize(w); - #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); - #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); - intersection { - sphere { O, 1 + staerke } - cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } - plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } - plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } - } -#end - -#macro punkt(p, staerke) - sphere { p, 1.5 * staerke } -#end - -#macro dreieck(p, q, r, farbe) - #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); - #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); - #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); - intersection { - plane { n1, 0 } - plane { n2, 0 } - plane { n3, 0 } - sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } - pigment { - color farbe - } - finish { - metallic - specular 0.4 - } - } -#end - -#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) - #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); - #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); - #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); -// arrow(a, a + n, 0.02, White) -// arrow(a, a + np, 0.01, Red) -// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) - intersection { - cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } - plane { np, vdot(np, a) } - plane { nq, vdot(nq, a) } - pigment { - farbe - } - finish { - metallic - specular 0.5 - } - } -#end - -#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) - #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); -// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) - #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); -// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) - ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) -#end - -#declare fett = 0.015; -#declare fein = 0.010; - -#declare klein = 0.3; -#declare gross = 0.4; - -#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; -#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; -#declare gruen = rgb<0,0.6,0>; -#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; - -#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; -#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; - -#macro kugel(farbe) -sphere { - <0, 0, 0>, 1 - pigment { - color farbe - } -} -#end - diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf index 015bce7..fecaece 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov index e491075..336161c 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov @@ -3,8 +3,11 @@ // // (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule // +#version 3.7; #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf index 6b3f09d..28af5fe 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov index c0625ce..9e57d22 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf index 7d79455..4fc4fc1 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov index b6f64d5..bde780b 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(B, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf index e1ea757..0d57fc2 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov index b6f17e3..08f266b 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugelfarbe) + union { seite(A, B, fein) seite(A, C, fein) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf index 0c86d36..a5dd0ae 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov index 188f181..1aac0dc 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fein) seite(A, C, fein) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov index 191a1e7..6bbd1a9 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, B, fett) seite(A, C, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov index aae5c6c..45dc5d6 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov @@ -5,6 +5,8 @@ // #include "common.inc" +kugel(kugeldunkel) + union { seite(A, C, fett) seite(A, P, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg index 52bd25e..f24ea33 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf index 9d630aa..da3b110 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov index 9e9921a..dae7f67 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov @@ -93,4 +93,5 @@ object { dreieck(A, B, C, White) +kugel(kugeldunkel) diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.inc b/buch/papers/nav/images/macros.inc new file mode 100644 index 0000000..2def6fd --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/macros.inc @@ -0,0 +1,343 @@ +// +// macros.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +// +// Dimensions +// +#declare fett = 0.015; +#declare fein = 0.010; + +#declare klein = 0.3; +#declare gross = 0.4; + +// +// colors +// +#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; +#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; +#declare gruen = rgb<0,0.6,0>; +#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>; + +#declare bekannt = rgb<0.2,0.6,1>; +#declare unbekannt = rgb<1.0,0.6,0.8>; + +#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>; +#declare kugeldunkel = rgb<0.4,0.4,0.4>; +#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; + +#declare gitterfarbe = rgb<0.2,0.6,1>; + +// +// Points Points +// +#declare O = <0, 0, 0>; +#declare Nordpol = vnormalize(< 0, 1, 0>); +#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>); +#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>); +#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>); +#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>); + +// +// \brief convert spherical coordinates to recctangular coordinates +// +// \param phi +// \param theta +// +#macro kugelpunkt(phi, theta) + < sin(theta) * cos(phi - pi), cos(theta), sin(theta) * sin(phi - pi) > +#end + +#declare Sakura = kugelpunkt(radians(140.2325498), radians(90 - 35.71548014)); +#declare Deneb = kugelpunkt(radians(191.9397759), radians(90 - 45.361194)); +#declare Spica = kugelpunkt(radians(82.9868559), radians(90 - (-11.279666))); +#declare Altair = kugelpunkt(radians(179.3616609), radians(90 - 8.928416)); +#declare Arktur = kugelpunkt(radians(95.5647759), radians(90 - 19.063222)); + +// +// draw an arrow from to with thickness with +// color +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +#declare ntsteps = 100; + +// +// \brief Draw a circle +// +// \param b1 basis vector for a coordinate system of the plane containing +// the circle +// \param b2 the other basis vector +// \param o center of the circle +// \param thick diameter of the circular tube +// +#macro kreis(b1, b2, o, thick, maxwinkel) + #declare tpstep = pi / ntsteps; + #declare tp = tpstep; + #declare p1 = b1 + o; + sphere { p1, thick } + #declare tpstep = pi/ntsteps; + #while (tp < (maxwinkel - tpstep/2)) + #declare p2 = cos(tp) * b1 + sin(tp) * b2 + o; + cylinder { p1, p2, thick } + sphere { p2, thick } + #declare p1 = p2; + #declare tp = tp + tpstep; + #end + #if ((tp - tpstep) < maxwinkel) + #declare p2 = cos(maxwinkel) * b1 + sin(maxwinkel) * b2 + o; + cylinder { p1, p2, thick } + sphere { p2, thick } + #end +#end + +// +// \brief Draw a great circle +// +// \param normale the normal of the plane containing the great circle +// \param thick diameter +// +#macro grosskreis(normale, thick) + #declare other = < normale.y, -normale.x, normale.z >; + #declare b1 = vnormalize(vcross(other, normale)); + #declare b2 = vnormalize(vcross(normale, b1)); + kreis(b1, b2, <0,0,0>, thick, 2*pi) +#end + +// +// \brief Draw a circle of latitude +// +// \param theta latitude +// \param thick diameter +// +#macro breitenkreis(theta, thick) + #declare b1 = sin(theta) * kugelpunkt(0, pi/2); + #declare b2 = sin(theta) * kugelpunkt(pi/2, pi/2); + #declare o = < 0, cos(theta), 0 >; + kreis(b1, b2, o, thick, 2*pi) +#end + +// +// \brief Draw the great circle connecting the two points +// +// \param p first point +// \param q second point +// \param staerke diameter +// + +#macro seite(p, q, staerke) + #declare s1 = vnormalize(p); + #declare s2 = vnormalize(q); + #declare w = acos(vdot(s1, s2)); + #declare n = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare s2 = vnormalize(vcross(n, s1)); + kreis(s1, s2, O, staerke, w) +#end + +// +// \brief Draw an angle +// +// \param w the edge where the angle is located +// \param p point on the first leg +// \param q point on the second leg +// \param r diameter of the angle +// +#macro winkel(w, p, q, staerke, r) + #declare n = vnormalize(w); + #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); + #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); + intersection { + sphere { O, 1 + staerke } + cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } + plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } + plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } + } +#end + +// +// \brief Draw a point on the sphere as a circle +// +// \param p the point +// \param staerke the diameter of the point +// +#macro punkt(p, staerke) + sphere { p, 1.5 * staerke } +#end + +// +// \brief Draw a circle as a part of the differently colored cutout from +// the sphere +// +// \param p first point of the triangle +// \param q second point of the triangle +// \param r third point of the triangle +// \param farbe color +// +#macro dreieck(p, q, r, farbe) + #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); + #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); + intersection { + plane { n1, 0 } + plane { n2, 0 } + plane { n3, 0 } + sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } + pigment { + color farbe + } + finish { + metallic + specular 0.4 + } + } +#end + +// +// \brief +// +// \param a axis of the angle +// \param p first leg +// \param q second leg +// \param s thickness of the angle disk +// \param r radius of the angle disk +// \param farbe color +// +#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); + #declare np = vnormalize(-vcross(p, n)); + #declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + n, 0.02, White) +// arrow(a, a + np, 0.01, Red) +// arrow(a, a + nq, 0.01, Blue) + intersection { + cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r } + plane { np, vdot(np, a) } + plane { nq, vdot(nq, a) } + pigment { + farbe + } + finish { + metallic + specular 0.5 + } + } +#end + +// +// \brief Show the complement angle +// +// +#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe) + #declare n = vnormalize(-vcross(p, q)); +// arrow(a, a + n, 0.015, Orange) + #declare m = vnormalize(-vcross(q, n)); +// arrow(a, a + m, 0.015, Pink) + ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe) +#end + +// +// \brief Show a coordinate grid on the sphere +// +// \param farbe the color of the grid +// \param thick the line thickness +// +#macro koordinatennetz(farbe, netzschritte, thick) +union { + // circles of latitude + #declare theta = pi/(2*netzschritte); + #declare thetastep = pi/(2*netzschritte); + #while (theta < pi - thetastep/2) + breitenkreis(theta, thick) + #declare theta = theta + thetastep; + #end + // cirles of longitude + #declare phi = 0; + #declare phistep = pi/(2*netzschritte); + #while (phi < pi-phistep/2) + grosskreis(kugelpunkt(phi, pi/2), thick) + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +// +// \brief Display a color of given color +// +// \param farbe the color +// +#macro kugel(farbe) +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + color farbe + } +} +#end + +// +// \brief Display the earth +// +#macro erde() +sphere { + <0, 0, 0>, 1 + pigment { + image_map { + png "2k_earth_daymap.png" gamma 1.0 + map_type 1 + } + } +} +#end + +// +// achse +// +#macro achse(durchmesser, farbe) + cylinder { + < 0, -1.2, 0 >, <0, 1.2, 0 >, durchmesser + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + } +#end diff --git a/buch/papers/nav/images/position/Makefile b/buch/papers/nav/images/position/Makefile new file mode 100644 index 0000000..280e59c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/Makefile @@ -0,0 +1,54 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# +all: position + +POSITION = \ + position1.pdf \ + position2.pdf \ + position3.pdf \ + position4.pdf \ + position5.pdf + +position: $(POSITION) + +POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 +#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 + +position1.png: position1.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition1.png position1.pov +position1.jpg: position1.png + convert position1.png -density 300 -units PixelsPerInch position1.jpg +position1.pdf: position1.tex common.tex position1.jpg + pdflatex position1.tex + +position2.png: position2.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition2.png position2.pov +position2.jpg: position2.png + convert position2.png -density 300 -units PixelsPerInch position2.jpg +position2.pdf: position2.tex common.tex position2.jpg + pdflatex position2.tex + +position3.png: position3.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition3.png position3.pov +position3.jpg: position3.png + convert position3.png -density 300 -units PixelsPerInch position3.jpg +position3.pdf: position3.tex common.tex position3.jpg + pdflatex position3.tex + +position4.png: position4.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition4.png position4.pov +position4.jpg: position4.png + convert position4.png -density 300 -units PixelsPerInch position4.jpg +position4.pdf: position4.tex common.tex position4.jpg + pdflatex position4.tex + +position5.png: position5.pov common.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition5.png position5.pov +position5.jpg: position5.png + convert position5.png -density 300 -units PixelsPerInch position5.jpg +position5.pdf: position5.tex common.tex position5.jpg + pdflatex position5.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.inc b/buch/papers/nav/images/position/common.inc new file mode 100644 index 0000000..b50b8d6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.inc @@ -0,0 +1,37 @@ +// +// common.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" +#include "../macros.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +kugel(kugeldunkel) +achse(fein, White) diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.tex b/buch/papers/nav/images/position/common.tex new file mode 100644 index 0000000..d72a981 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} +\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};} +\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};} +\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};} + +\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};} +\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};} +\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};} + +\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_b$};} +\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_c$};} +\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};} + +\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};} +\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};} +\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};} +\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};} + +\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};} +\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};} +\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};} +\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};} + +\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};} +\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf new file mode 100644 index 0000000..1bd9a69 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pov b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov new file mode 100644 index 0000000..a79a9f1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov @@ -0,0 +1,71 @@ +// +// position1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +union { + seite(B, C, fett) + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, P, fett) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + +union { + seite(A, B, fett) + seite(A, C, fett) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, P, C, fett, klein) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex new file mode 100644 index 0000000..d6c21c3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +% +% dreieck3d1.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC +\labelP + +\labelc +\labela +\labelb +\labell + +\labelhb +\labelhc + +\labelalpha +\labelomega + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf new file mode 100644 index 0000000..6015ba1 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pov b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov new file mode 100644 index 0000000..2abcd94 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov @@ -0,0 +1,70 @@ +// +// position3.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, B, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, B, fett) + seite(A, C, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(B, C, fett) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + winkel(B, C, A, fein, gross) + winkel(C, A, B, fein, gross) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex new file mode 100644 index 0000000..339592c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% position2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC + +\labelc +\labela +\labelb + +\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm] +\labelalpha +\end{scope} +\labelbeta +\labelgamma + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf new file mode 100644 index 0000000..dea8c28 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pov b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov new file mode 100644 index 0000000..f6823eb --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov @@ -0,0 +1,48 @@ +// +// position3.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(B, P, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(B, C, fett) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + winkel(B, P, C, fein, gross) + winkel(C, B, P, fein, gross) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.tex b/buch/papers/nav/images/position/position3.tex new file mode 100644 index 0000000..d5480da --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% dreieck3d1.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position3.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelB +\labelC +\labelP + +\labela + +\labelhb +\labelhc + +\labelbetaone +\labelgammaone + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf new file mode 100644 index 0000000..59cd05c Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pov b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov new file mode 100644 index 0000000..80628f9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov @@ -0,0 +1,69 @@ +// +// position4.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, B, P, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +union { + seite(A, P, fett) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + + +union { + seite(A, B, fett) + seite(B, P, fett) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, A, fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, P, fein, gross) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4.tex new file mode 100644 index 0000000..27c1757 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% position4.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position4.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelP + +\labelc +\labell +\labelhb + +\labelomegalinks +\labelbetatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf new file mode 100644 index 0000000..5960392 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pov b/buch/papers/nav/images/position/position5.pov new file mode 100644 index 0000000..7ed33c5 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position5.pov @@ -0,0 +1,69 @@ +// +// position5.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "common.inc" + +dreieck(A, P, C, kugelfarbe) + +union { + punkt(A, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + 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+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position5.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelC +\labelP + +\labelb +\labell +\labelhc + +\labelomegarechts +\labelgammatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + -- cgit v1.2.1 From d9a3a1717553c1287fdbefbf2bf4a1de03c88851 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 10 Jun 2022 17:17:20 +0200 Subject: neue Bilder --- buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png | Bin 0 -> 1473323 bytes .../nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png | Bin 0 -> 1473323 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile | 30 ++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf | Bin 0 -> 399907 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov | 12 ++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex | 49 +++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf | Bin 0 -> 404679 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov | 12 ++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex | 50 +++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc | 50 +++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex | 79 +++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc | 41 +++++++++++ buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov | 46 ++++++++++++ buch/papers/nav/images/macros.inc | 4 +- .../papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png | Bin 0 -> 1473323 bytes buch/papers/nav/images/position/common.inc | 4 +- buch/papers/nav/images/position/common.tex | 4 +- buch/papers/nav/images/position/position1.pdf | Bin 107297 -> 433631 bytes buch/papers/nav/images/position/position2.pdf | Bin 90563 -> 310650 bytes buch/papers/nav/images/position/position3.pdf | Bin 85020 -> 417714 bytes buch/papers/nav/images/position/position4.pdf | Bin 86376 -> 390348 bytes buch/papers/nav/images/position/position5.pdf | Bin 91680 -> 337310 bytes 22 files changed, 377 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png new file mode 100644 index 0000000..4d55da8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png new file mode 100644 index 0000000..4d55da8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile new file mode 100644 index 0000000..6e95379 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile @@ -0,0 +1,30 @@ +# +# Makefile to build images +# +# (c) 2022 +# +all: beispiele + +POSITION = \ + beispiele1.pdf \ + beispiele2.pdf + +beispiele: $(POSITION) + +POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080 +#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480 + +beispiele1.png: beispiele1.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele1.png beispiele1.pov +beispiele1.jpg: beispiele1.png + convert beispiele1.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele1.jpg +beispiele1.pdf: beispiele1.tex common.tex beispiele1.jpg + pdflatex beispiele1.tex + +beispiele2.png: beispiele2.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele2.png beispiele2.pov +beispiele2.jpg: beispiele2.png + convert beispiele2.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele2.jpg +beispiele2.pdf: beispiele2.tex common.tex beispiele2.jpg + pdflatex beispiele2.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf new file mode 100644 index 0000000..d0fe3dc Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov new file mode 100644 index 0000000..7fb3de2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Arktur; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex new file mode 100644 index 0000000..5666ba6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% beispiele1.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelDeneb +\labelArktur +\labelhDeneb +\labelhArktur +\labellone +\labeldDeneb +\labeldArktur + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf new file mode 100644 index 0000000..8579ee5 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov new file mode 100644 index 0000000..b69f0f9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Altair; +#declare Stern2 = Spica; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex new file mode 100644 index 0000000..c9b70bd --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% beispiele2.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelAltair +\labelSpica +\labelhAltair +\labelhSpica +\labelltwo +\labeldAltair +\labeldSpica + + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc new file mode 100644 index 0000000..51fbd1f --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc @@ -0,0 +1,50 @@ +// +// common.inc -- 3d Darstellung +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" +#include "../macros.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <30, 10, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +erde(0) +achse(fein, White) +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) + +union { + punkt(Sakura, fett) + pigment { + color rot + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex new file mode 100644 index 0000000..b7b3dac --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} + +\def\labelSpica{ + \node at (-3.6,-2.8) {Spica}; +} +\def\labelAltair{ + \node at (3.0,-2.3) {Altair}; +} +\def\labelArktur{ + \node at (-3.3,-0.7) {Arktur}; +} +\def\labelDeneb{ + \node at (3.4,0.9) {Deneb}; +} + +\def\labelP{\node at (0,-0.2) {$P$};} + +\def\labellone{\node at (0.1,1.9) {$l$};} +\def\labelltwo{\node at (0.1,2.0) {$l$};} + +\def\labelhSpica{ + \coordinate (Spica) at (-1.8,-0.3); + \node at (Spica) {$h_{\text{Spica}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhAltair{ + \coordinate (Altair) at (1.1,-1.0); + \node at (Altair) {$h_{\text{Altair}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhArktur{ + \coordinate (Arktur) at (-1.3,-0.3); + \node at (Arktur) {$h_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; +} +\def\labelhDeneb{ + \coordinate (Deneb) at (1.6,0.45); + \node at (Deneb) {$h_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; +} + +\def\labeldSpica{ + \coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dSpica)+(-1.8,0.08)$) + rectangle + ($(dSpica)+(-0.06,0.55)$); + \node at (dSpica) [above left] + {$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldAltair{ + \coordinate (dAltair) at (2.0,2.1); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dAltair)+(0.10,0.05)$) + rectangle + ($(dAltair)+(1.8,0.5)$); + \node at (dAltair) [above right] + {$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldArktur{ + \coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dArktur)+(-1.8,0.05)$) + rectangle + ($(dArktur)+(-0.06,0.5)$); + \node at (dArktur) [above left] + {$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; +} +\def\labeldDeneb{ + \coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8); + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($(dDeneb)+(0.05,0.5)$) + rectangle + ($(dDeneb)+(1.87,0.05)$); + \node at (dDeneb) [above right] + {$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; +} diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc new file mode 100644 index 0000000..2f6084e --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc @@ -0,0 +1,41 @@ +union { + punkt(A, fett) + punkt(Stern1, fein) + punkt(Stern2, fein) + seite(Stern1, Stern2, fein) + pigment { + color kugelfarbe + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + +union { + seite(A, Stern1, fein) + seite(A, Stern2, fein) + seite(Stern1, Sakura, fein) + seite(Stern2, Sakura, fein) + winkel(A, Stern1, Stern2, 0.5*fein, gross) + pigment { + color bekannt + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + +union { + seite(A, Sakura, fein) + winkel(A, Sakura, Stern1, 0.5*fett, klein) + pigment { + color unbekannt + } + finish { + metallic + specular 0.9 + } +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov new file mode 100644 index 0000000..2dd7c79 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov @@ -0,0 +1,46 @@ +// +// dreiecke3d10.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +erde() + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Spica; + +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) + +union { + seite(A, Stern1, 0.5*fein) + seite(A, Stern2, 0.5*fein) + seite(A, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern1, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern2, Sakura, 0.5*fein) + seite(Stern1, Stern2, 0.5*fein) + + punkt(A, fein) + punkt(Sakura, fett) + punkt(Deneb, fein) + punkt(Spica, fein) + punkt(Altair, fein) + punkt(Arktur, fein) + pigment { + color Red + } +} + +//arrow(<-1.3,0,0>, <1.3,0,0>, fein, White) +arrow(<0,-1.3,0>, <0,1.3,0>, fein, White) +//arrow(<0,0,-1.3>, <0,0,1.3>, fein, White) + +#declare imagescale = 0.044; + +camera { + location <40, 20, -20> + look_at <0, 0.24, -0.20> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.inc b/buch/papers/nav/images/macros.inc index 2def6fd..20cb2ff 100644 --- a/buch/papers/nav/images/macros.inc +++ b/buch/papers/nav/images/macros.inc @@ -31,6 +31,7 @@ #declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>; #declare gitterfarbe = rgb<0.2,0.6,1>; +#declare gitterfarbe = rgb<1.0,0.8,0>; // // Points Points @@ -314,7 +315,7 @@ sphere { // // \brief Display the earth // -#macro erde() +#macro erde(winkel) sphere { <0, 0, 0>, 1 pigment { @@ -323,6 +324,7 @@ sphere { map_type 1 } } + rotate <0,winkel,0> } #end diff --git a/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png new file mode 100644 index 0000000..4d55da8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.inc b/buch/papers/nav/images/position/common.inc index b50b8d6..56e2836 100644 --- a/buch/papers/nav/images/position/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.inc @@ -33,5 +33,7 @@ sky_sphere { } } -kugel(kugeldunkel) +//kugel(kugeldunkel) +erde(-100) +koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001) achse(fein, White) diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.tex b/buch/papers/nav/images/position/common.tex index d72a981..9430608 100644 --- a/buch/papers/nav/images/position/common.tex +++ b/buch/papers/nav/images/position/common.tex @@ -13,8 +13,8 @@ \def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};} \def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};} -\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_b$};} -\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_c$};} +\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};} +\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};} \def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};} \def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};} diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf index 1bd9a69..fc4f760 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf and b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf index 6015ba1..dbd2ea9 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf and b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf index dea8c28..2c940d2 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf and b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf index 59cd05c..8eeeaac 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf and b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf index 5960392..05a64cb 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf and b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf differ -- cgit v1.2.1 From eae6dffd6439f8ea5e5377e0e316b8da7f8df980 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 10 Jun 2022 17:31:19 +0200 Subject: another image --- buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile | 10 ++++- buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf | Bin 0 -> 401946 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov | 12 ++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex | 49 ++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 70 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile index 6e95379..9546c8e 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile @@ -7,7 +7,8 @@ all: beispiele POSITION = \ beispiele1.pdf \ - beispiele2.pdf + beispiele2.pdf \ + beispiele3.pdf beispiele: $(POSITION) @@ -28,3 +29,10 @@ beispiele2.jpg: beispiele2.png beispiele2.pdf: beispiele2.tex common.tex beispiele2.jpg pdflatex beispiele2.tex +beispiele3.png: beispiele3.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele3.png beispiele3.pov +beispiele3.jpg: beispiele3.png + convert beispiele3.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele3.jpg +beispiele3.pdf: beispiele3.tex common.tex beispiele3.jpg + pdflatex beispiele3.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf new file mode 100644 index 0000000..a7189dd Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov new file mode 100644 index 0000000..af9a468 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov @@ -0,0 +1,12 @@ +// +// beispiele1.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +#declare Stern1 = Deneb; +#declare Stern2 = Altair; + +#include "geometrie.inc" + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex new file mode 100644 index 0000000..2573199 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% beispiele3.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele3.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelP +\labelDeneb +\labelAltair +\labelhDeneb +\labelhAltair +\labellone +%\labeldDeneb +%\labeldAltair + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + -- cgit v1.2.1 From 021751ecb99962fc496b3ea0e5000f94b4e056c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sat, 11 Jun 2022 12:57:40 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/bsp.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 62 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex index 6f30022..ac749c5 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -3,9 +3,8 @@ \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. -Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von einem uns unbekannten Ort aus gemessen. -Diesen Punkt gilt es mit dem erlangten Wissen herauszufinden. - +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} \begin{center} @@ -52,7 +51,7 @@ $\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. \subsection{Dreiecke definieren} Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. BILD -\subsection{Dreieck ABC} +\subsection{Dreieck $ABC$} Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: \begin{align} @@ -78,4 +77,63 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber \end{align} +\subsection{Dreieck $BPC$} +Als nächstes berechnen wir die Seiten $pb$, $pc$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align} + pb&=90^\circ - H_{Arktur} \nonumber \\ + &= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + pc &= 90^\circ - H_{Deneb} \nonumber \\ + &= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pc)-\cos(a) \cdot \cos(pb)}{\sin(a) \cdot \sin(pb)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(a) \cdot \cos(pc)}{\sin(a) \cdot \sin(pc)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +Als erster müssen wir den Winkel $\kappa$ berechnen: +\begin{align} + \kappa &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} +Danach können wir mithilfe von $\kappa$, $c$ und $pb$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align} + l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber +\end{align} +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align} + \delta &= 90^\circ - l \nonumber \\ + &= 90^\circ - 54.2833404 \nonumber \\ + &= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \nonumber \\ + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber +\end{align} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. +Unsere Methode scheint also zu funktionieren. + + + -- cgit v1.2.1 From 8d317ba95f733584dd51abb331506c9cacedf1ed Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 11 Jun 2022 14:18:48 +0200 Subject: flow --- buch/papers/nav/images/position/Makefile | 25 +++- buch/papers/nav/images/position/common-small.tex | 32 +++++ .../papers/nav/images/position/position1-small.pdf | Bin 0 -> 433626 bytes .../papers/nav/images/position/position1-small.tex | 55 +++++++++ .../papers/nav/images/position/position2-small.pdf | Bin 0 -> 310645 bytes .../papers/nav/images/position/position2-small.tex | 53 ++++++++ .../papers/nav/images/position/position3-small.pdf | Bin 0 -> 417713 bytes .../papers/nav/images/position/position3-small.tex | 51 ++++++++ .../papers/nav/images/position/position4-small.pdf | Bin 0 -> 390331 bytes .../papers/nav/images/position/position4-small.tex | 50 ++++++++ .../papers/nav/images/position/position5-small.pdf | Bin 0 -> 337308 bytes .../papers/nav/images/position/position5-small.tex | 50 ++++++++ buch/papers/nav/images/position/test.tex | 135 +++++++++++++++++++++ 13 files changed, 446 insertions(+), 5 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/common-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex create mode 100644 buch/papers/nav/images/position/test.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/images/position/Makefile b/buch/papers/nav/images/position/Makefile index 280e59c..eed2e56 100644 --- a/buch/papers/nav/images/position/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/position/Makefile @@ -6,11 +6,11 @@ all: position POSITION = \ - position1.pdf \ - position2.pdf \ - position3.pdf \ - position4.pdf \ - position5.pdf + position1.pdf position1-small.pdf \ + position2.pdf position2-small.pdf \ + position3.pdf position3-small.pdf \ + position4.pdf position4-small.pdf \ + position5.pdf position5-small.pdf position: $(POSITION) @@ -52,3 +52,18 @@ position5.jpg: position5.png position5.pdf: position5.tex common.tex position5.jpg pdflatex position5.tex +position1-small.pdf: position1-small.tex common.tex position1.jpg + pdflatex position1-small.tex +position2-small.pdf: position2-small.tex common.tex position2.jpg + pdflatex position2-small.tex +position3-small.pdf: position3-small.tex common.tex position3.jpg + pdflatex position3-small.tex +position4-small.pdf: position4-small.tex common.tex position4.jpg + pdflatex position4-small.tex +position5-small.pdf: position5-small.tex common.tex position5.jpg + pdflatex position5-small.tex + +test: test.pdf + +test.pdf: test.tex $(POSITION) + pdflatex test.tex diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex new file mode 100644 index 0000000..9430608 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +% +% common.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};} +\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};} +\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};} +\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};} + +\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};} +\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};} +\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};} + +\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};} +\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};} +\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};} + +\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};} +\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};} +\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};} +\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};} + +\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};} +\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};} +\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};} +\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};} + +\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};} +\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf new file mode 100644 index 0000000..ba7755f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex new file mode 100644 index 0000000..05fad44 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +% +% position1-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position1.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC +\labelP + +\labelc +\labela +\labelb +\labell + +\labelhb +\labelhc + +\labelalpha +\labelomega + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf new file mode 100644 index 0000000..3333dd4 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex new file mode 100644 index 0000000..e5c33cf --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +% +% position2-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position2.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelC + +\labelc +\labela +\labelb + +\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm] +\labelalpha +\end{scope} +\labelbeta +\labelgamma + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf new file mode 100644 index 0000000..fae0b85 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex new file mode 100644 index 0000000..4f7b0e9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% position3-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position3.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelB +\labelC +\labelP + +\labela + +\labelhb +\labelhc + +\labelbetaone +\labelgammaone + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf new file mode 100644 index 0000000..ac80c46 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex new file mode 100644 index 0000000..e06523b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% position4-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position4.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelB +\labelP + +\labelc +\labell +\labelhb + +\labelomegalinks +\labelbetatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf new file mode 100644 index 0000000..afe120e Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex new file mode 100644 index 0000000..0a0e229 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% position5-small.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\input{common-small.tex} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position5.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\labelA +\labelC +\labelP + +\labelb +\labell +\labelhc + +\labelomegarechts +\labelgammatwo + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/nav/images/position/test.tex b/buch/papers/nav/images/position/test.tex new file mode 100644 index 0000000..8f4b341 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/position/test.tex @@ -0,0 +1,135 @@ +% +% test.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{etex} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{wrapfig} +\begin{document} + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position1-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. +Aenean +commodo ligula eget dolor. +Aenean massa. +Cum sociis natoque penatibus +et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. +Donec quam +felis, ultricies nec, pellentesque eu, pretium quis, sem. +Nulla +consequat massa quis enim. +Donec pede justo, fringilla vel, aliquet +nec, vulputate eget, arcu. +In enim justo, rhoncus ut, imperdiet a, +venenatis vitae, justo. +Nullam dictum felis eu pede mollis pretium. +Integer tincidunt. +Cras dapibus. +Vivamus elementum semper nisi. +Aenean vulputate eleifend tellus. +Aenean leo ligula, porttitor eu, +consequat vitae, eleifend ac, enim. +Aliquam lorem ante, dapibus in, +viverra quis, feugiat a, tellus. + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position2-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Maecenas tempus, tellus eget condimentum rhoncus, sem quam semper +libero, sit amet adipiscing sem neque sed ipsum. Nam quam nunc, +blandit vel, luctus pulvinar, hendrerit id, lorem. Maecenas nec +odio et ante tincidunt tempus. Donec vitae sapien ut libero venenatis +faucibus. Nullam quis ante. Etiam sit amet orci eget eros faucibus +tincidunt. Duis leo. Sed fringilla mauris sit amet nibh. Donec +sodales sagittis magna. Sed consequat, leo eget bibendum sodales, +augue velit cursus nunc, quis gravida magna mi a libero. Fusce +vulputate eleifend sapien. Vestibulum purus quam, scelerisque ut, +mollis sed, nonummy id, metus. Nullam accumsan lorem in dui. Cras +ultricies mi eu turpis hendrerit fringilla. Vestibulum ante ipsum +primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; + +\pagebreak + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position3-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Integer ante arcu, accumsan a, consectetuer eget, posuere ut, mauris. +Praesent adipiscing. Phasellus ullamcorper ipsum rutrum nunc. Nunc +nonummy metus. Vestibulum volutpat pretium libero. Cras id dui. +Aenean ut eros et nisl sagittis vestibulum. Nullam nulla eros, +ultricies sit amet, nonummy id, imperdiet feugiat, pede. Sed lectus. +Donec mollis hendrerit risus. Phasellus nec sem in justo pellentesque +facilisis. Etiam imperdiet imperdiet orci. Nunc nec neque. Phasellus +leo dolor, tempus non, auctor et, hendrerit quis, nisi. Curabitur +ligula sapien, tincidunt non, euismod vitae, posuere imperdiet, +leo. Maecenas malesuada. Praesent congue erat at massa. Sed cursus +turpis vitae tortor. Donec posuere vulputate arcu. Phasellus accumsan +cursus velit. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus +et ultrices posuere cubilia Curae; Sed aliquam, nisi quis porttitor +congue, elit erat euismod orci, ac placerat dolor lectus quis orci. +Phasellus consectetuer vestibulum elit. + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position4-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Aenean tellus metus, bibendum sed, posuere ac, mattis non, nunc. +Vestibulum fringilla pede sit amet augue. In turpis. Pellentesque +posuere. Praesent turpis. Aenean posuere, tortor sed cursus feugiat, +nunc augue blandit nunc, eu sollicitudin urna dolor sagittis lacus. +Donec elit libero, sodales nec, volutpat a, suscipit non, turpis. +Nullam sagittis. Suspendisse pulvinar, augue ac venenatis condimentum, +sem libero volutpat nibh, nec pellentesque velit pede quis nunc. +Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices +posuere cubilia Curae; Fusce id purus. Ut varius tincidunt libero. +Phasellus dolor. Maecenas vestibulum mollis diam. Pellentesque ut +neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et +malesuada fames ac turpis egestas. In dui magna, posuere eget, +vestibulum et, tempor auctor, justo. In ac felis quis tortor malesuada +pretium. Pellentesque auctor neque nec urna. + +\pagebreak + +\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\includegraphics{position5-small.pdf} +\end{wrapfigure} +Proin sapien ipsum, porta a, auctor quis, euismod ut, mi. Aenean +viverra rhoncus pede. Pellentesque habitant morbi tristique senectus +et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Ut non enim eleifend +felis pretium feugiat. Vivamus quis mi. Phasellus a est. Phasellus +magna. In hac habitasse platea dictumst. Curabitur at lacus ac velit +ornare lobortis. Curabitur a felis in nunc fringilla tristique. +Morbi mattis ullamcorper velit. Phasellus gravida semper nisi. +Nullam vel sem. Pellentesque libero tortor, tincidunt et, tincidunt +eget, semper nec, quam. Sed hendrerit. Morbi ac felis. Nunc egestas, +augue at pellentesque laoreet, felis eros vehicula leo, at malesuada +velit leo quis pede. Donec interdum, metus et hendrerit aliquet, +dolor diam sagittis ligula, eget egestas libero turpis vel mi. Nunc +nulla. Fusce risus nisl, viverra et, tempor et, pretium in, sapien. +Donec venenatis vulputate lorem. Morbi nec metus. Phasellus blandit +leo ut odio. Maecenas ullamcorper, dui et placerat feugiat, eros +pede varius nisi, condimentum viverra felis nunc et lorem. Sed magna +purus, fermentum eu, tincidunt eu, varius ut, felis. In auctor +lobortis lacus. Quisque libero metus, condimentum nec, tempor a, +commodo mollis, magna. Vestibulum ullamcorper mauris at ligula. +Fusce fermentum. Nullam cursus lacinia erat. Praesent blandit laoreet +nibh. Fusce convallis metus id felis luctus adipiscing. Pellentesque +egestas, neque sit amet convallis pulvinar, justo nulla eleifend +augue, ac auctor orci leo non est. Quisque id mi. Ut tincidunt +tincidunt erat. 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Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: \[ Stunden \cdot 15 = Grad\]. @@ -30,11 +34,11 @@ Dies wurde hier bereits gemacht. Deneb&\\ & Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\ & Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\ - & Höhe $H_{Deneb}$ & $50.256027^\circ$ \\ + & Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ Arktur &\\ & Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\ & Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\ - & Höhe $H_{Arktur}$ & $47.427444^\circ$ \\ + & Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\ \end{tabular} \end{center} \subsection{Koordinaten der Bildpunkte} @@ -49,9 +53,25 @@ $\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. \subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf} + \caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar} +\end{center} +\end{figure} Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. -BILD +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. + \subsection{Dreieck $ABC$} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf} + \caption{Dreieck ABC} +\end{wrapfigure} Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: \begin{align} @@ -78,43 +98,51 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber \end{align} \subsection{Dreieck $BPC$} -Als nächstes berechnen wir die Seiten $pb$, $pc$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf} + \caption{Dreieck BPC} +\end{wrapfigure} +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. \begin{align} - pb&=90^\circ - H_{Arktur} \nonumber \\ + h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\ &= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\ &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - pc &= 90^\circ - H_{Deneb} \nonumber \\ + h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\ &= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\ &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pc)-\cos(a) \cdot \cos(pb)}{\sin(a) \cdot \sin(pb)}\bigg] \nonumber \\ + \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\ &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(a) \cdot \cos(pc)}{\sin(a) \cdot \sin(pc)}\bigg] \nonumber \\ + \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\ &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber \end{align} \subsection{Dreieck $ABP$} -Als erster müssen wir den Winkel $\kappa$ berechnen: +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf} + \caption{Dreieck ABP} +\end{wrapfigure} +Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: \begin{align} - \kappa &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber \end{align} -Danach können wir mithilfe von $\kappa$, $c$ und $pb$ die Seite $l$ berechnen: +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: \begin{align} - l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)) \nonumber \\ + l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\ &= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\ &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber \end{align} Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align} - \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber \end{align} @@ -132,7 +160,21 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber \end{align} Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. -Unsere Methode scheint also zu funktionieren. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. diff --git a/buch/papers/nav/images/position/test.tex b/buch/papers/nav/images/position/test.tex index 8f4b341..3247ed1 100644 --- a/buch/papers/nav/images/position/test.tex +++ b/buch/papers/nav/images/position/test.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \usepackage{wrapfig} \begin{document} -\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} \includegraphics{position1-small.pdf} \end{wrapfigure} Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d8a14af..44153bd 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -97,7 +97,6 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{center} \end{figure} - \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} @@ -140,12 +139,9 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. -Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -167,8 +163,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. -Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index f2e6132..bedaccd 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -9,4 +9,4 @@ %\usepackage{packagename} \usepackage{amsmath} -\usepackage{cancel} \ No newline at end of file +\usepackage{cancel} -- cgit v1.2.1 From 3e54ff2bd5eb2c718ad37faacb03a774d312a1d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 4 Jul 2022 19:35:36 +0200 Subject: images updated, nav/bsp.tex -> nav/bsp2.tex --- buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf | Bin 399907 -> 399925 bytes buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf | Bin 404679 -> 404688 bytes buch/papers/nav/bsp2.tex | 235 ++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf | Bin 399907 -> 399925 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex | 4 +- buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf | Bin 404679 -> 404688 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex | 4 +- buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf | Bin 401946 -> 401946 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex | 16 +- buch/papers/nav/main.tex | 2 +- 10 files changed, 248 insertions(+), 13 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bsp2.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf index d0fe3dc..1f91809 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf index 8579ee5..4b28f2f 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex new file mode 100644 index 0000000..fe8f423 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\section{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +\subsection{Vorgehen} + +\begin{compactenum} +\item +Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen +\item +Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften +\item +Dreieck ABC bestimmmen +\item +Dreieck BPC bestimmen +\item +Dreieck ABP bestimmen +\item +Geographische Breite bestimmen +\item +Geographische Länge bestimmen +\end{compactenum} + +\subsection{Ausgangslage} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ +\text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. +\] +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} +\begin{tabular}{l l >{$}l<{$}} +Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ +Deneb &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Deneb}}$ & 310.55058^\circ\\ + & Deklination $DEC_{\text{Deneb}}$ & \phantom{0}45.361194^\circ \\ + & Höhe $h_c$ & \phantom{0}50.256027^\circ \\ +Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Arktur}}$& 214.17558^\circ \\ + & Deklination $DEC_{\text{Arktur}}$ & \phantom{0}19.063222^\circ \\ + & Höhe $h_b$ & \phantom{0}47.427444^\circ \\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}}% +} +\medskip + +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{\text{Deneb}}&=DEC_{\text{Deneb}} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Deneb}}&=RA_{\text{Deneb}} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{\text{Arktur}}&=DEC_{\text{Arktur}} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Arktur}}&=RA_{\text{Arktur}} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} +\hbox{% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}% +\hfill% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}} +\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar +\label{nav:beispiele}} +\end{figure} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ +(vgl. Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch +anders vorgehen. + +\subsection{Dreieck $ABC$} +\vspace*{-3mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die +Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align*} +b +&= +90^\circ-DEC_{\text{Deneb}} += +90^\circ - 45.361194^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{44.638806^\circ}} +\\ +c +&= +90^\circ-DEC_{\text{Arktur}} += +90^\circ - 19.063222^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{70.936778^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}% +} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel +\begin{align*} +\alpha +&= +RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} += +310.55058^\circ -214.17558^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{96.375^\circ}}. +\end{align*} +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align*} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} +\end{align*} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align*} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} +\\ +\gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} +\end{align*} + + + +\subsection{Dreieck $BPC$} +\vspace*{-4mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align*} +h_b&=90^\circ - h_b + = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} +\\ + h_c &= 90^\circ - h_c + = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% +} +\begin{align*} +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} +\\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +\vspace*{-2mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: +\begin{align*} + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align*} +l +&= +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +&= +\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ +&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}% +} + +\medskip + +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align*} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align*} +\delta &= 90^\circ - l & + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \\ +&= 90^\circ - 54.2833404 & + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ +&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} +\end{align*} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. + + + + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf index d0fe3dc..1f91809 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex index 5666ba6..0dfae2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele1.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf index 8579ee5..4b28f2f 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex index c9b70bd..04c1e4d 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele2.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf index a7189dd..049ccdf 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex index b7b3dac..81dc037 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex @@ -44,36 +44,36 @@ \def\labeldSpica{ \coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dSpica)+(-1.8,0.08)$) + ($(dSpica)+(-1.8,0.13)$) rectangle - ($(dSpica)+(-0.06,0.55)$); + ($(dSpica)+(-0.06,0.60)$); \node at (dSpica) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$}; } \def\labeldAltair{ \coordinate (dAltair) at (2.0,2.1); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dAltair)+(0.10,0.05)$) + ($(dAltair)+(0.10,0.10)$) rectangle - ($(dAltair)+(1.8,0.5)$); + ($(dAltair)+(2.0,0.60)$); \node at (dAltair) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$}; } \def\labeldArktur{ \coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dArktur)+(-1.8,0.05)$) + ($(dArktur)+(-1.8,0.10)$) rectangle - ($(dArktur)+(-0.06,0.5)$); + ($(dArktur)+(-0.06,0.55)$); \node at (dArktur) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; } \def\labeldDeneb{ \coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dDeneb)+(0.05,0.5)$) + ($(dDeneb)+(0.05,0.60)$) rectangle - ($(dDeneb)+(1.87,0.05)$); + ($(dDeneb)+(1.87,0.10)$); \node at (dDeneb) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; } diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 37bc83a..f993559 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} -\input{papers/nav/bsp.tex} +\input{papers/nav/bsp2.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] -- cgit v1.2.1 From fb34a6ec01db936f85fc977ceee02dcc8525f208 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 4 Jul 2022 19:59:45 +0200 Subject: missing \text{} --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index fe8f423..fde44b8 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -207,7 +207,7 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink \begin{align*} \delta &= 90^\circ - l & - \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \\ + \lambda &= \lambda_{\text{Arktur}} + \omega \\ &= 90^\circ - 54.2833404 & &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ &= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & -- cgit v1.2.1 From 3fbbafce1a5d906a12c1f8035fa2e16f6c187de0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 5 Jul 2022 15:31:16 +0200 Subject: abschluss --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 50 +++++++++++++-------------- buch/papers/nav/flatearth.tex | 3 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 63 ++++++++++++++++++----------------- buch/papers/nav/references.bib | 6 ++++ buch/papers/nav/sincos.tex | 10 +++--- buch/papers/nav/trigo.tex | 45 +++++++++++++------------ 6 files changed, 94 insertions(+), 83 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index fde44b8..23380eb 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -1,12 +1,12 @@ \section{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} -In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. -Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. -Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} - +Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -27,7 +27,7 @@ Geographische Länge bestimmen \subsection{Ausgangslage} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm} -Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben. Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: \[ \text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. @@ -125,17 +125,17 @@ RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: \begin{align*} a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ - &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\ &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \end{align*} Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \begin{align*} \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \\ \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \end{align*} @@ -145,13 +145,13 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \vspace*{-4mm} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm}% -Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. \begin{align*} -h_b&=90^\circ - h_b +h_B&=90^\circ - pbb = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \\ - h_c &= 90^\circ - h_c + h_C &= 90^\circ - pc = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \end{align*} @@ -160,12 +160,12 @@ h_b&=90^\circ - h_b \raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% } \begin{align*} -\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \\ -\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \end{align*} @@ -178,15 +178,15 @@ Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} -Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen: \begin{align*} l &= -\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) - + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B) + + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\ &= -\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ -&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\ +&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\ &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \end{align*} \end{minipage}% @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ - &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} @@ -216,11 +216,11 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. \subsection{Fazit} -Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. Allerdings gab es zwei interessante Probleme. -Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. -Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. @@ -228,7 +228,7 @@ Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. -Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. +Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 3b08e8d..d1d5a9b 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -6,6 +6,7 @@ \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \label{merc} \end{center} \end{figure} @@ -17,7 +18,7 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung \ref{merc} dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 44153bd..36674ee 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -2,9 +2,9 @@ \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. @@ -13,21 +13,24 @@ Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astrono \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} + \label{naut} \end{center} \end{figure} Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. +Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +\label{sta} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d1} \end{center} \end{figure} @@ -44,10 +47,11 @@ Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. se Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. -Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +\label{ephe} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. +Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -63,20 +67,19 @@ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen. +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] +\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\] Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} @@ -85,22 +88,24 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p} +Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe. Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. +Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d2} \end{center} \end{figure} \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $A$ && Nordpol \\ @@ -111,18 +116,15 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. -Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. -Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - -Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. -Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\begin{enumerate} + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + \item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\end{enumerate} mit \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ @@ -141,7 +143,7 @@ Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sin Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -150,12 +152,11 @@ Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und @@ -163,7 +164,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann -\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge +\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/references.bib b/buch/papers/nav/references.bib index 236323b..10dbf66 100644 --- a/buch/papers/nav/references.bib +++ b/buch/papers/nav/references.bib @@ -32,4 +32,10 @@ pages = {607--627}, url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@online{nav:winkel, + editor={Unbekannt}, + title = {Sphärische Trigonometrie}, + year={2022} + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie} +} diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index a1653e8..f82a057 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,18 +2,18 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} -Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach,sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen aus Griechenland ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. -Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. -Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index fa53189..c96aaa5 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -7,46 +7,48 @@ Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Sch Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). - Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist. Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). + \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} + \label{kugel} \end{center} \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. +Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} - \caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck} + \includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} + \caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck} + \label{recht} \end{center} \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} -\begin{figure} +%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! - \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} - \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} - \end{center} -\end{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} +% \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} +% \end{center} +%\end{figure} Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. @@ -64,12 +66,13 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\]. +\cite{nav:winkel} \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. -Die Approximation folgt noch. +Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. +Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann. Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & @@ -94,14 +97,14 @@ Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden i \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich -\begin{align} +\begin{align*} \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ a^2+b^2&=c^2 -\end{align} -Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras. +\end{align*} +Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. \subsubsection{Sphärischer Sinussatz} Den sphärischen Sinussatz -- cgit v1.2.1 From 7fb8462834ce37e6a468e42b4729c51fc821ffe9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 18:09:40 +0200 Subject: fix typo in nav/references.bib --- buch/papers/nav/references.bib | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/references.bib b/buch/papers/nav/references.bib index 10dbf66..c67aaac 100644 --- a/buch/papers/nav/references.bib +++ b/buch/papers/nav/references.bib @@ -35,7 +35,7 @@ @online{nav:winkel, editor={Unbekannt}, title = {Sphärische Trigonometrie}, - year={2022} + year={2022}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie} } -- cgit v1.2.1 From a58f08028c11d87c3d45e10648fbb7e1e0f080b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 19:37:34 +0200 Subject: minor fixes --- buch/papers/nav/bsp.tex | 1 + buch/papers/nav/bsp2.tex | 1 + 2 files changed, 2 insertions(+) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex index d544588..ff01828 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index 23380eb..8ca214f 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. -- cgit v1.2.1 From ac98ecfb4f0142b418cd501045ac797da564f059 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Fri, 15 Jul 2022 20:38:18 +0200 Subject: finito --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 4 ++-- buch/papers/nav/einleitung.tex | 1 + buch/papers/nav/flatearth.tex | 2 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 +++- buch/papers/nav/sincos.tex | 7 ++++--- buch/papers/nav/trigo.tex | 28 ++++++++++++++++------------ 6 files changed, 27 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index 8ca214f..8d9083b 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Ar Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} -Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. +Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} - \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8eb4481..c778d5c 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \section{Einleitung} +\rhead{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index d1d5a9b..9745cdc 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - +\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36674ee..32d1b8b 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Das Nautische Dreieck} +\rhead{Das nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. @@ -115,6 +116,7 @@ Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometr \end{center} Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt: \begin{enumerate} \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. @@ -141,7 +143,7 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\]. Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index f82a057..b64d100 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,12 +2,13 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach,sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index c96aaa5..483b612 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,5 +1,7 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} +\rhead{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. @@ -14,7 +16,7 @@ Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Ausse Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). \begin{figure} @@ -27,7 +29,7 @@ $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskre \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. @@ -42,6 +44,7 @@ Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} +\label{trigo} %\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! % \begin{center} @@ -66,9 +69,9 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\] -\cite{nav:winkel} +In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden. \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. @@ -76,7 +79,7 @@ Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & - \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber \end{align} \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} @@ -92,17 +95,18 @@ Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Eben a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} \frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber \end{align} -Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich \begin{align*} - \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c), \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. + \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ - a^2+b^2&=c^2 + a^2+b^2&=c^2. \end{align*} Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. @@ -127,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\ - a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha). \end{align} -- cgit v1.2.1