From b116b6ce1b2988cddd9fff3ae4b2008062438ca2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Wed, 8 Jun 2022 20:54:01 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=EF=BB=BFasd?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/beispiel.txt | 22 +++------------------- 1 file changed, 3 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt index 12d9e9e..b8716fc 100644 --- a/buch/papers/nav/beispiel.txt +++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt @@ -5,31 +5,15 @@ Sternzeit: 7h 54m 26.593s 7.90738694h Deneb RA 20h 42m 12.14s 20.703372h -DEC 45g 21' 40.3" 45.361194 +DEC 45 21' 40.3" 45.361194 -H 50g 15' 21.7" 50.256027 +H 50g 15' 17.1" 50.254750 Azi 59g 36' 02.0" 59.600555 -Altair - -RA 19h 51' 53.39" 19.864831h -DEC 8g 55' 42.3 8.928416 - -H 45g 27' 48.1" 45.463361 -Azi 117g 16' 14.1" 117.270583 - -Arktur - -RA 14h 16' 42.14" 14.278372 -DEC 19g 03' 47.6 19.063222 - -H 47g 25' 38.8" 47.427444 -Azi 259g 09' 38.4" 259.160666 - Spica RA 13h 26m 23.44s 13.439844h -DEC -11g 16' 46.8" -11.279666 +DEC -11g 16' 46.8" 11.279666 H 18g 27' 30.0" 18.458333 Azi 240g 23' 52.5" 240.397916 -- cgit v1.2.1 From 6f3d0a8adb483394383123e2f4645bdaabba4c32 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 9 Jun 2022 19:47:33 +0200 Subject: new chapter beispiel --- buch/papers/nav/bsp.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/main.tex | 1 + 2 files changed, 82 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/nav/bsp.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex new file mode 100644 index 0000000..6f30022 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +\section{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von einem uns unbekannten Ort aus gemessen. +Diesen Punkt gilt es mit dem erlangten Wissen herauszufinden. + +\subsection{Vorgehen} + +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + 1. & Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen \\ + 2. & Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften\\ + 3. & Dreieck ABC bestimmmen\\ + 4. & Dreieck BPC bestimmen \\ + 5. & Dreieck ABP bestimmen \\ + 6. & Geographische Breite bestimmen \\ + 7. & Geographische Länge bestimmen \\ + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Ausgangslage} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ Stunden \cdot 15 = Grad\]. +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} + \begin{tabular}{l l l} + Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ + Deneb&\\ + & Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\ + & Höhe $H_{Deneb}$ & $50.256027^\circ$ \\ + Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\ + & Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\ + & Höhe $H_{Arktur}$ & $47.427444^\circ$ \\ + \end{tabular} +\end{center} +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{Deneb}&=DEC_{Deneb} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Deneb}&=RA_{Deneb} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{Arktur}&=DEC_{Arktur} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{Arktur}&=RA_{Arktur} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +BILD +\subsection{Dreieck ABC} +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align} + b=90^\circ-DEC_{Deneb} = 90^\circ - 45.361194^\circ = \underline{\underline{44.638806^\circ}}\nonumber \\ + c=90^\circ-DEC_{Arktur} = 90^\circ - 19.063222^\circ = \underline{\underline{70.936778^\circ}} \nonumber +\end{align} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel \[\alpha= RA_{Deneb} - RA_{Arktur} = 310.55058^\circ -214.17558^\circ = \underline{\underline{96.375^\circ}}.\] +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \nonumber +\end{align} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \nonumber +\end{align} + + \begin{align} + \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber +\end{align} + diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 4c52547..37bc83a 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} +\input{papers/nav/bsp.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] -- cgit v1.2.1 From 021751ecb99962fc496b3ea0e5000f94b4e056c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sat, 11 Jun 2022 12:57:40 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/bsp.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 62 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex index 6f30022..ac749c5 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -3,9 +3,8 @@ \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. -Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von einem uns unbekannten Ort aus gemessen. -Diesen Punkt gilt es mit dem erlangten Wissen herauszufinden. - +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} \begin{center} @@ -52,7 +51,7 @@ $\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. \subsection{Dreiecke definieren} Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. BILD -\subsection{Dreieck ABC} +\subsection{Dreieck $ABC$} Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: \begin{align} @@ -78,4 +77,63 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber \end{align} +\subsection{Dreieck $BPC$} +Als nächstes berechnen wir die Seiten $pb$, $pc$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align} + pb&=90^\circ - H_{Arktur} \nonumber \\ + &= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + pc &= 90^\circ - H_{Deneb} \nonumber \\ + &= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pc)-\cos(a) \cdot \cos(pb)}{\sin(a) \cdot \sin(pb)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(a) \cdot \cos(pc)}{\sin(a) \cdot \sin(pc)}\bigg] \nonumber \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +Als erster müssen wir den Winkel $\kappa$ berechnen: +\begin{align} + \kappa &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} +Danach können wir mithilfe von $\kappa$, $c$ und $pb$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align} + l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)) \nonumber \\ + &= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\ + &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber +\end{align} +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber +\end{align} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align} + \delta &= 90^\circ - l \nonumber \\ + &= 90^\circ - 54.2833404 \nonumber \\ + &= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} \nonumber +\end{align} +\begin{align} + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \nonumber \\ + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \nonumber \\ + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber +\end{align} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. +Unsere Methode scheint also zu funktionieren. + + + -- cgit v1.2.1 From fee7a11b5b0309e89aae17485c24fe250c55d548 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Sun, 12 Jun 2022 18:31:01 +0200 Subject: Abgabe --- buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf | Bin 0 -> 399907 bytes buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf | Bin 0 -> 404679 bytes buch/papers/nav/bilder/position1.pdf | Bin 0 -> 433626 bytes buch/papers/nav/bilder/position2.pdf | Bin 0 -> 310645 bytes buch/papers/nav/bilder/position3.pdf | Bin 0 -> 417713 bytes buch/papers/nav/bilder/position4.pdf | Bin 0 -> 390331 bytes buch/papers/nav/bilder/position5.pdf | Bin 0 -> 337308 bytes buch/papers/nav/bsp.tex | 70 ++++++++++++++++++++++++------- buch/papers/nav/images/position/test.tex | 2 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 13 ++---- buch/papers/nav/packages.tex | 2 +- 11 files changed, 62 insertions(+), 25 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/position1.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/position2.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/position3.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/position4.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/position5.pdf (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf new file mode 100644 index 0000000..d0fe3dc Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf new file mode 100644 index 0000000..8579ee5 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf new file mode 100644 index 0000000..ba7755f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf new file mode 100644 index 0000000..3333dd4 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf new file mode 100644 index 0000000..fae0b85 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf new file mode 100644 index 0000000..ac80c46 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf new file mode 100644 index 0000000..afe120e Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex index ac749c5..d544588 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -20,6 +20,10 @@ Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese \end{center} \subsection{Ausgangslage} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf} + \caption{Ausgangslage} +\end{wrapfigure} Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: \[ Stunden \cdot 15 = Grad\]. @@ -30,11 +34,11 @@ Dies wurde hier bereits gemacht. Deneb&\\ & Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\ & Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\ - & Höhe $H_{Deneb}$ & $50.256027^\circ$ \\ + & Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ Arktur &\\ & Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\ & Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\ - & Höhe $H_{Arktur}$ & $47.427444^\circ$ \\ + & Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\ \end{tabular} \end{center} \subsection{Koordinaten der Bildpunkte} @@ -49,9 +53,25 @@ $\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. \subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf} + \caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar} +\end{center} +\end{figure} Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. -BILD +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. + \subsection{Dreieck $ABC$} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf} + \caption{Dreieck ABC} +\end{wrapfigure} Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: \begin{align} @@ -78,43 +98,51 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber \end{align} \subsection{Dreieck $BPC$} -Als nächstes berechnen wir die Seiten $pb$, $pc$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf} + \caption{Dreieck BPC} +\end{wrapfigure} +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. \begin{align} - pb&=90^\circ - H_{Arktur} \nonumber \\ + h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\ &= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\ &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - pc &= 90^\circ - H_{Deneb} \nonumber \\ + h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\ &= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\ &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pc)-\cos(a) \cdot \cos(pb)}{\sin(a) \cdot \sin(pb)}\bigg] \nonumber \\ + \beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\ &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber \end{align} \begin{align} - \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(a) \cdot \cos(pc)}{\sin(a) \cdot \sin(pc)}\bigg] \nonumber \\ + \gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\ &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\ &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber \end{align} \subsection{Dreieck $ABP$} -Als erster müssen wir den Winkel $\kappa$ berechnen: +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} + \includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf} + \caption{Dreieck ABP} +\end{wrapfigure} +Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: \begin{align} - \kappa &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\ &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber \end{align} -Danach können wir mithilfe von $\kappa$, $c$ und $pb$ die Seite $l$ berechnen: +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: \begin{align} - l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)) \nonumber \\ + l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\ &= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\ &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber \end{align} Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align} - \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\ &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber \end{align} @@ -132,7 +160,21 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber \end{align} Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. -Unsere Methode scheint also zu funktionieren. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. diff --git a/buch/papers/nav/images/position/test.tex b/buch/papers/nav/images/position/test.tex index 8f4b341..3247ed1 100644 --- a/buch/papers/nav/images/position/test.tex +++ b/buch/papers/nav/images/position/test.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \usepackage{wrapfig} \begin{document} -\begin{wrapfigure}{R}{5.2cm} +\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm} \includegraphics{position1-small.pdf} \end{wrapfigure} Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d8a14af..44153bd 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -97,7 +97,6 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig \end{center} \end{figure} - \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} @@ -140,12 +139,9 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\] -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. -Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. -Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -167,8 +163,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. -Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index f2e6132..bedaccd 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -9,4 +9,4 @@ %\usepackage{packagename} \usepackage{amsmath} -\usepackage{cancel} \ No newline at end of file +\usepackage{cancel} -- cgit v1.2.1 From 3e54ff2bd5eb2c718ad37faacb03a774d312a1d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 4 Jul 2022 19:35:36 +0200 Subject: images updated, nav/bsp.tex -> nav/bsp2.tex --- buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf | Bin 399907 -> 399925 bytes buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf | Bin 404679 -> 404688 bytes buch/papers/nav/bsp2.tex | 235 ++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf | Bin 399907 -> 399925 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex | 4 +- buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf | Bin 404679 -> 404688 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex | 4 +- buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf | Bin 401946 -> 401946 bytes buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex | 16 +- buch/papers/nav/main.tex | 2 +- 10 files changed, 248 insertions(+), 13 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bsp2.tex (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf index d0fe3dc..1f91809 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf index 8579ee5..4b28f2f 100644 Binary files a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf and b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex new file mode 100644 index 0000000..fe8f423 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\section{Beispielrechnung} + +\subsection{Einführung} +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +\subsection{Vorgehen} + +\begin{compactenum} +\item +Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen +\item +Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften +\item +Dreieck ABC bestimmmen +\item +Dreieck BPC bestimmen +\item +Dreieck ABP bestimmen +\item +Geographische Breite bestimmen +\item +Geographische Länge bestimmen +\end{compactenum} + +\subsection{Ausgangslage} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm} +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: +\[ +\text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. +\] +Dies wurde hier bereits gemacht. +\begin{center} +\begin{tabular}{l l >{$}l<{$}} +Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\ +Deneb &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Deneb}}$ & 310.55058^\circ\\ + & Deklination $DEC_{\text{Deneb}}$ & \phantom{0}45.361194^\circ \\ + & Höhe $h_c$ & \phantom{0}50.256027^\circ \\ +Arktur &\\ + & Rektaszension $RA_{\text{Arktur}}$& 214.17558^\circ \\ + & Deklination $DEC_{\text{Arktur}}$ & \phantom{0}19.063222^\circ \\ + & Höhe $h_b$ & \phantom{0}47.427444^\circ \\ +\end{tabular} +\end{center} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}}% +} +\medskip + +\subsection{Koordinaten der Bildpunkte} +Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. +$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge. +\begin{align} +\delta_{\text{Deneb}}&=DEC_{\text{Deneb}} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Deneb}}&=RA_{\text{Deneb}} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}} \nonumber \\ +\delta_{\text{Arktur}}&=DEC_{\text{Arktur}} = \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ +\lambda_{\text{Arktur}}&=RA_{\text{Arktur}} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}} \nonumber +\end{align} + + +\subsection{Dreiecke definieren} +\begin{figure} +\hbox{% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}% +\hfill% +\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}} +\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar +\label{nav:beispiele}} +\end{figure} +Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen. +Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. +Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. +In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht. +Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. +Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ +(vgl. Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch +anders vorgehen. + +\subsection{Dreieck $ABC$} +\vspace*{-3mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die +Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align*} +b +&= +90^\circ-DEC_{\text{Deneb}} += +90^\circ - 45.361194^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{44.638806^\circ}} +\\ +c +&= +90^\circ-DEC_{\text{Arktur}} += +90^\circ - 19.063222^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{70.936778^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}% +} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel +\begin{align*} +\alpha +&= +RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} += +310.55058^\circ -214.17558^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{96.375^\circ}}. +\end{align*} +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align*} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} +\end{align*} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align*} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} +\\ +\gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} +\end{align*} + + + +\subsection{Dreieck $BPC$} +\vspace*{-4mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align*} +h_b&=90^\circ - h_b + = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} +\\ + h_c &= 90^\circ - h_c + = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% +} +\begin{align*} +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} +\\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +\vspace*{-2mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: +\begin{align*} + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align*} +l +&= +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +&= +\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ +&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}% +} + +\medskip + +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align*} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align*} +\delta &= 90^\circ - l & + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \\ +&= 90^\circ - 54.2833404 & + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ +&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} +\end{align*} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. + + + + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf index d0fe3dc..1f91809 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex index 5666ba6..0dfae2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele1.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf index 8579ee5..4b28f2f 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex index c9b70bd..04c1e4d 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele2.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf index a7189dd..049ccdf 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf and b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex index b7b3dac..81dc037 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex @@ -44,36 +44,36 @@ \def\labeldSpica{ \coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dSpica)+(-1.8,0.08)$) + ($(dSpica)+(-1.8,0.13)$) rectangle - ($(dSpica)+(-0.06,0.55)$); + ($(dSpica)+(-0.06,0.60)$); \node at (dSpica) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$}; } \def\labeldAltair{ \coordinate (dAltair) at (2.0,2.1); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dAltair)+(0.10,0.05)$) + ($(dAltair)+(0.10,0.10)$) rectangle - ($(dAltair)+(1.8,0.5)$); + ($(dAltair)+(2.0,0.60)$); \node at (dAltair) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$}; } \def\labeldArktur{ \coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dArktur)+(-1.8,0.05)$) + ($(dArktur)+(-1.8,0.10)$) rectangle - ($(dArktur)+(-0.06,0.5)$); + ($(dArktur)+(-0.06,0.55)$); \node at (dArktur) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; } \def\labeldDeneb{ \coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dDeneb)+(0.05,0.5)$) + ($(dDeneb)+(0.05,0.60)$) rectangle - ($(dDeneb)+(1.87,0.05)$); + ($(dDeneb)+(1.87,0.10)$); \node at (dDeneb) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; } diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 37bc83a..f993559 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} -\input{papers/nav/bsp.tex} +\input{papers/nav/bsp2.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] -- cgit v1.2.1 From fb34a6ec01db936f85fc977ceee02dcc8525f208 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 4 Jul 2022 19:59:45 +0200 Subject: missing \text{} --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index fe8f423..fde44b8 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -207,7 +207,7 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink \begin{align*} \delta &= 90^\circ - l & - \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \\ + \lambda &= \lambda_{\text{Arktur}} + \omega \\ &= 90^\circ - 54.2833404 & &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ &= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & -- cgit v1.2.1 From 3fbbafce1a5d906a12c1f8035fa2e16f6c187de0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 5 Jul 2022 15:31:16 +0200 Subject: abschluss --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 50 +++++++++++++-------------- buch/papers/nav/flatearth.tex | 3 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 63 ++++++++++++++++++----------------- buch/papers/nav/references.bib | 6 ++++ buch/papers/nav/sincos.tex | 10 +++--- buch/papers/nav/trigo.tex | 45 +++++++++++++------------ 6 files changed, 94 insertions(+), 83 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index fde44b8..23380eb 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -1,12 +1,12 @@ \section{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} -In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. +In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage. -Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. -Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen. +Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. +Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} - +Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -27,7 +27,7 @@ Geographische Länge bestimmen \subsection{Ausgangslage} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm} -Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben. +Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben. Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden: \[ \text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}. @@ -125,17 +125,17 @@ RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: \begin{align*} a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ - &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\ &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \end{align*} Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \begin{align*} \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \\ \gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \end{align*} @@ -145,13 +145,13 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: \vspace*{-4mm} \hbox to\textwidth{% \begin{minipage}{8.4cm}% -Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. \begin{align*} -h_b&=90^\circ - h_b +h_B&=90^\circ - pbb = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \\ - h_c &= 90^\circ - h_c + h_C &= 90^\circ - pc = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \end{align*} @@ -160,12 +160,12 @@ h_b&=90^\circ - h_b \raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% } \begin{align*} -\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \\ -\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ - &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\ &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \end{align*} @@ -178,15 +178,15 @@ Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} -Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen: \begin{align*} l &= -\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) - + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B) + + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\ &= -\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ -&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\ +&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\ &= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \end{align*} \end{minipage}% @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ - &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} @@ -216,11 +216,11 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. \subsection{Fazit} -Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. Allerdings gab es zwei interessante Probleme. -Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. -Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. @@ -228,7 +228,7 @@ Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. -Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. +Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index 3b08e8d..d1d5a9b 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -6,6 +6,7 @@ \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \label{merc} \end{center} \end{figure} @@ -17,7 +18,7 @@ Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung \ref{merc} dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 44153bd..36674ee 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -2,9 +2,9 @@ \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann. +Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann. Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. @@ -13,21 +13,24 @@ Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astrono \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} + \label{naut} \end{center} \end{figure} Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren. Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. +Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt. \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +\label{sta} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt. +Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d1} \end{center} \end{figure} @@ -44,10 +47,11 @@ Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. se Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. -Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5. +Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}. \subsection{Ephemeriden} -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. -Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. +\label{ephe} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. +Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit. \begin{figure} \begin{center} @@ -63,20 +67,19 @@ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen. +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\] +\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\] Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist. Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. \subsubsection{Sextant} -Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. +Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \begin{figure} @@ -85,22 +88,24 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See. \caption[Sextant]{Sextant} \end{center} \end{figure} -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p} +Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe. Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. -Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. +Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \label{d2} \end{center} \end{figure} \subsubsection{Dreieck $ABC$} \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $A$ && Nordpol \\ @@ -111,18 +116,15 @@ Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trig Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$. -Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - -Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$. -Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - -Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$. -Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\begin{enumerate} + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + \item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. +\end{enumerate} mit \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ l l l } Ecke && Name \\ \hline $\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\ @@ -141,7 +143,7 @@ Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sin Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] -Schlussendlich haben wir die Seiten $a$ $b$ und $c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. +Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. \subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. @@ -150,12 +152,11 @@ Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen. Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\] mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. \subsubsection{Dreieck $ABP$} -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. +Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$. Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\] und @@ -163,7 +164,7 @@ und \delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. \] -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. -Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}.\bigg]\] berechnen und schlussentlich dann -\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. +Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge +\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\] wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist. diff --git a/buch/papers/nav/references.bib b/buch/papers/nav/references.bib index 236323b..10dbf66 100644 --- a/buch/papers/nav/references.bib +++ b/buch/papers/nav/references.bib @@ -32,4 +32,10 @@ pages = {607--627}, url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@online{nav:winkel, + editor={Unbekannt}, + title = {Sphärische Trigonometrie}, + year={2022} + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie} +} diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index a1653e8..f82a057 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,18 +2,18 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} -Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach,sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. +Die Definition der trigonometrischen Funktionen aus Griechenland ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. -Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. -Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt. Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index fa53189..c96aaa5 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -7,46 +7,48 @@ Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Sch Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel. -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). - Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist. Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). + \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} + \label{kugel} \end{center} \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann. +Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} - \caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck} + \includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg} + \caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck} + \label{recht} \end{center} \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} -\begin{figure} +%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! - \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} - \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} - \end{center} -\end{figure} +% \begin{center} +% \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} +% \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} +% \end{center} +%\end{figure} Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. @@ -64,12 +66,13 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\]. +\cite{nav:winkel} \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht. -Die Approximation folgt noch. +Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. +Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann. Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & @@ -94,14 +97,14 @@ Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden i \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich -\begin{align} +\begin{align*} \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ a^2+b^2&=c^2 -\end{align} -Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras. +\end{align*} +Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. \subsubsection{Sphärischer Sinussatz} Den sphärischen Sinussatz -- cgit v1.2.1 From 7fb8462834ce37e6a468e42b4729c51fc821ffe9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 18:09:40 +0200 Subject: fix typo in nav/references.bib --- buch/papers/nav/references.bib | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/references.bib b/buch/papers/nav/references.bib index 10dbf66..c67aaac 100644 --- a/buch/papers/nav/references.bib +++ b/buch/papers/nav/references.bib @@ -35,7 +35,7 @@ @online{nav:winkel, editor={Unbekannt}, title = {Sphärische Trigonometrie}, - year={2022} + year={2022}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie} } -- cgit v1.2.1 From a58f08028c11d87c3d45e10648fbb7e1e0f080b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 19:37:34 +0200 Subject: minor fixes --- buch/papers/nav/bsp.tex | 1 + buch/papers/nav/bsp2.tex | 1 + 2 files changed, 2 insertions(+) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex index d544588..ff01828 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index 23380eb..8ca214f 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Beispielrechnung} +\rhead{Beispielrechnung} \subsection{Einführung} In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. -- cgit v1.2.1 From ac98ecfb4f0142b418cd501045ac797da564f059 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Fri, 15 Jul 2022 20:38:18 +0200 Subject: finito --- buch/papers/nav/bsp2.tex | 4 ++-- buch/papers/nav/einleitung.tex | 1 + buch/papers/nav/flatearth.tex | 2 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 +++- buch/papers/nav/sincos.tex | 7 ++++--- buch/papers/nav/trigo.tex | 28 ++++++++++++++++------------ 6 files changed, 27 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/nav') diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index 8ca214f..8d9083b 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Ar Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} -Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. +Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} - \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8eb4481..c778d5c 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \section{Einleitung} +\rhead{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index d1d5a9b..9745cdc 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - +\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36674ee..32d1b8b 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Das Nautische Dreieck} +\rhead{Das nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. @@ -115,6 +116,7 @@ Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometr \end{center} Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt: \begin{enumerate} \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. @@ -141,7 +143,7 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\]. Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index f82a057..b64d100 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,12 +2,13 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach,sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index c96aaa5..483b612 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,5 +1,7 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} +\rhead{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. @@ -14,7 +16,7 @@ Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Ausse Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). \begin{figure} @@ -27,7 +29,7 @@ $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskre \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. @@ -42,6 +44,7 @@ Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} +\label{trigo} %\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! % \begin{center} @@ -66,9 +69,9 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\] -\cite{nav:winkel} +In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden. \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. @@ -76,7 +79,7 @@ Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & - \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber \end{align} \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} @@ -92,17 +95,18 @@ Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Eben a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} \frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber \end{align} -Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich \begin{align*} - \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c), \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. + \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ - a^2+b^2&=c^2 + a^2+b^2&=c^2. \end{align*} Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. @@ -127,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\ - a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha). \end{align} -- cgit v1.2.1