From 330b5694c49f16cd21ae30446aec261fe114d2b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 22 Jul 2022 22:54:00 +0200
Subject: aller anfang ist schwer

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 09b4024..5f5b22f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 0\label{parzyl:section:teil0}}
+\section{Elektrisches feld\label{parzyl:section:teil0}}
 \rhead{Teil 0}
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-- 
cgit v1.2.1


From 585150092dfc7fe9f3043a2dd0966e1a597e9258 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 23 Jul 2022 12:09:19 +0200
Subject: umstelung struktur

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 24 +++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 23 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 5f5b22f..ff927b7 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -3,8 +3,30 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Elektrisches feld\label{parzyl:section:teil0}}
+\section{Problem\label{parzyl:section:teil0}}
 \rhead{Teil 0}
+
+\subsection{Laplace Gleichung}
+
+\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
+\label{parzyl:subsection:finibus}}
+Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
+\begin{align}
+    x & = \sigma \tau \\
+    y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+    z & = z.
+\end{align}
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
+\begin{equation}
+    y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+\end{equation}
+und 
+\begin{equation}
+    y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+\end{equation}
+
+\subsection{Differnetialgleichung}
 Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
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From 68df1dfae4ea68c42fd97860280fac5ef3d672fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 24 Jul 2022 22:11:37 +0200
Subject: =?UTF-8?q?wenig=20isch=20besser=20als=20n=C3=BCt?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 31 ++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 30 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index ff927b7..2fc8737 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -7,7 +7,36 @@
 \rhead{Teil 0}
 
 \subsection{Laplace Gleichung}
-
+Die partielle Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \Delta f = 0
+\end{equation}
+ist als Laplace Gleichung bekannt.
+Sie ist eine spezielle Form der poisson Gleichung
+\begin{equation}
+    \Delta f = g
+\end{equation}
+mit g als beliebige Funktion.
+In der Physik hat die Laplace Gleichung in verschieden Gebieten
+verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+\begin{equation}
+     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+\label{parzyl:eq:max1}
+\end{equation}
+besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem 
+Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist.
+Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+Potentials
+\begin{equation}
+    \nabla \phi = E.
+\end{equation}
+Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+\begin{equation}
+    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+\end{equation}
+was eine Possion gleichung ist.
+An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
-- 
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From 3b98c68ff4e00bd55fd95b4affcaed3b521c32e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 13:49:54 +0200
Subject: ein bild

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 12 ++++++++++++
 1 file changed, 12 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 2fc8737..ab3056b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -55,6 +55,18 @@ und
     y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
 \end{equation}
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
+    \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein 
+    konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+    \label{fig:cordinates}
+\end{figure}
+
+Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
+Ebene gezogen werden. 
+
 \subsection{Differnetialgleichung}
 Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
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-- 
cgit v1.2.1


From 0c3ae18ee42f7b3154642175faea29e957d8bba0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 15:53:20 +0200
Subject: skalierungsfaktoren

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 59 insertions(+), 18 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index ab3056b..f6e63d4 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -43,8 +43,10 @@ Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koor
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
+    \label{parzyl:coordRelationsa}
     y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
     z & = z.
+    \label{parzyl:coordRelationse}
 \end{align}
 Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
 \begin{equation}
@@ -60,26 +62,65 @@ und
     \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
     \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein 
     konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
-    \label{fig:cordinates}
+    \label{parzyl:fig:cordinates}
 \end{figure}
 
-Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
 
-\subsection{Differnetialgleichung}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
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-
-
+Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei 
+Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind.
+Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
+kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
+    \left(dz\right)^2
+    \label{parzyl:eq:ds}
+\end{equation}
+ausgedrückt werden.
+Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
+    \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
+\label{parzyl:eq:dspara}
+\end{equation}
+gilt.
+Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
+von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
+\begin{align}
+    dx  &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + 
+        \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+    dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau +
+        \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+    dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau +
+        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = d \tilde{z} \\
+\end{align}
+substituiert.
+Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+geschrieben, resultiert
+\begin{equation}
+    \left(d s\right)^2 = 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 +
+        \left(d \tilde{z}\right)^2.
+\end{equation}
+Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren 
+\begin{align}
+    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{z} &= 1.
+\end{align}
+\subsection{Differentialgleichung}
+Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
+Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden. 
+\dots
-- 
cgit v1.2.1


From 3db5682b70a73baec580d839e5f9e1cc909bd5fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 16:39:19 +0200
Subject: Stuff added

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 108 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 96 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index ab3056b..f4e8726 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -68,18 +68,102 @@ Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
 
 \subsection{Differnetialgleichung}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
+\end{equation}
+gelöst wird.
+Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+\begin{equation}
+	\nabla 
+	= 
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+\end{equation}
+Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+\begin{equation}
+	\nabla f(\sigma, \tau, z)
+	=
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+	= 
+	\lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+\begin{equation}
+	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt. 
+Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+	g''(\sigma) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\sigma^2
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	g(\sigma)
+	=
+	0,
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+	h''(\tau) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\tau^2
+	-
+	\mu 
+	\right )
+	h(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+	i''(z) 
+	+
+	\left (
+	\lambda
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	i(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+führt.
+Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+\end{equation}
+ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
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-- 
cgit v1.2.1


From 81b33c456132ec906ca12f48c78cca83fe1c6437 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 16:44:28 +0200
Subject: mehr sachen

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index f6e63d4..650428f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -113,7 +113,7 @@ geschrieben, resultiert
         \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 +
         \left(d \tilde{z}\right)^2.
 \end{equation}
-Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren 
+Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren 
 \begin{align}
     h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
     h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
-- 
cgit v1.2.1


From 8c6b72db5c5f9bc5aa59526cb033f22b1dc25627 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 18:20:55 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 110 +++++++++++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 63 insertions(+), 47 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index a77398d..4b251db 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -3,21 +3,24 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Problem\label{parzyl:section:teil0}}
+\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
 \rhead{Teil 0}
-
+Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
+parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
 \subsection{Laplace Gleichung}
 Die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \Delta f = 0
 \end{equation}
-ist als Laplace Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der poisson Gleichung
+ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
 \begin{equation}
     \Delta f = g
 \end{equation}
 mit g als beliebige Funktion.
-In der Physik hat die Laplace Gleichung in verschieden Gebieten
+In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten
 verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
 Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
 \begin{equation}
@@ -35,11 +38,11 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
 \begin{equation}
     \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
 \end{equation}
-was eine Possion gleichung ist.
+was eine Possion-Gleichung ist.
 An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
@@ -48,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt
     z & = z.
     \label{parzyl:coordRelationse}
 \end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln
 \begin{equation}
     y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
 \end{equation}
@@ -68,10 +71,12 @@ und
 Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
+
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
-Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei 
-Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind.
+
+\dots
+
 Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
 kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
 \begin{equation}
@@ -90,21 +95,21 @@ gilt.
 Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
 von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
 \begin{align}
-    dx  &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + 
-        \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + 
-        \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+    dx  &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + 
+        \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
         = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
-    dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + 
-        \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau +
-        \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+    dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
+        \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
         = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
-    dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + 
-        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau +
-        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+    dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
+        \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
         = d \tilde{z} \\
 \end{align}
 substituiert.
-Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
 geschrieben, resultiert
 \begin{equation}
     \left(d s\right)^2 = 
@@ -120,11 +125,22 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
 \end{align}
 \subsection{Differentialgleichung}
 Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
-Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
-mitgerechnet werden. 
-\dots
-\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
-Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden.
+Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+\begin{equation}
+    \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} 
+        \left( 
+            \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
+            \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
+        \right)
+        + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+    \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
+\end{equation}
+\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen
+%, wie bereits erwähnt, 
+dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung
 \begin{equation}
 	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
 \end{equation}
@@ -133,22 +149,22 @@ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
 	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
 \end{equation}
 gelöst wird.
-Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
-\begin{equation}
-	\nabla 
-	= 
-	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
-	\left ( 
-	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
-	\right )
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
-\end{equation}
-Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
-\begin{equation}
-	\nabla f(\sigma, \tau, z)
+%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+%\begin{equation}
+%	\Delta 
+%	= 
+%	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+%	\left ( 
+%	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
+%	+ 
+%	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+%	\right )
+%	+ 
+%	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+%\end{equation}
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma, \tau, z)
 	=
 	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
 	\left ( 
@@ -159,7 +175,7 @@ Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
 	+ 
 	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
 	= 
-	\lambda f(\sigma,\tau,z)
+	\lambda f(\sigma,\tau,z).
 \end{equation}
 Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
 \begin{equation}
@@ -167,7 +183,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd
 \end{equation}
 gesetzt. 
 Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
 	g''(\sigma) 
 	- 
 	\left (
@@ -179,7 +195,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
 	=
 	0,
 \end{equation}
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2}
 	h''(\tau) 
 	- 
 	\left (
@@ -192,7 +208,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
 	0
 \end{equation}
 und
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3}
 	i''(z) 
 	+
 	\left (
@@ -205,7 +221,7 @@ und
 	0
 \end{equation}
 führt.
-Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
 \begin{equation}
 	i(z) 
 	= 
@@ -219,7 +235,7 @@ Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
 		\sqrt{\lambda + \mu}z
 		\right )}
 \end{equation}
-ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
 
 
 
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