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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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 \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
-parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-\subsection{Laplace Gleichung}
-Die partielle Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \Delta f = 0
-\end{equation}
-ist als Laplace-Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung 
 \begin{equation}
-    \Delta f = g
+	\nabla f = \lambda f
 \end{equation}
-mit $g$ als beliebiger Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
-verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
-Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
-     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
-\label{parzyl:eq:max1}
+	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
+	=
+	0 
 \end{equation}
-besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
-Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
-Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
-Potentials
+mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
-    \nabla \phi = E.
-\end{equation}
-Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation} 
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
 \begin{equation}
-    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
 \end{equation}
-was eine Poisson-Gleichung ist.
-An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
+
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+%\begin{equation}
+%     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+%    \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+%    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
-- 
cgit v1.2.1

