From 299310434e22f22ab43cfb423f91cb164cf2bab7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 7 Aug 2022 12:39:33 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 19 +++++++++----------
 1 file changed, 9 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4b251db..119f805 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -19,16 +19,16 @@ Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
 \begin{equation}
     \Delta f = g
 \end{equation}
-mit g als beliebige Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten
+mit $g$ als beliebiger Funktion.
+In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
 verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
 Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
 \begin{equation}
      \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
 \label{parzyl:eq:max1}
 \end{equation}
-besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem 
-Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist.
+besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
+Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
 Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
 Potentials
 \begin{equation}
@@ -38,8 +38,8 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
 \begin{equation}
     \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
 \end{equation}
-was eine Possion-Gleichung ist.
-An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
+was eine Poisson-Gleichung ist.
+An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
@@ -51,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt
     z & = z.
     \label{parzyl:coordRelationse}
 \end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
 \begin{equation}
     y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
 \end{equation}
@@ -67,7 +67,6 @@ und
     konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
     \label{parzyl:fig:cordinates}
 \end{figure}
-
 Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
@@ -106,7 +105,7 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
     dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + 
         \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
         \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
-        = d \tilde{z} \\
+        = d \tilde{z}
 \end{align}
 substituiert.
 Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
@@ -120,7 +119,7 @@ geschrieben, resultiert
 Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren 
 \begin{align}
     h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
-    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
     h_{z} &= 1.
 \end{align}
 \subsection{Differentialgleichung}
-- 
cgit v1.2.1


From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200
Subject: Added Part 3

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 119f805..1f23d6e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -220,7 +220,7 @@ und
 	0
 \end{equation}
 führt.
-Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
+Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
 \begin{equation}
 	i(z) 
 	= 
-- 
cgit v1.2.1


From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200
Subject: Updated stuff

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 52 insertions(+), 29 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 1f23d6e..3b14287 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -4,42 +4,65 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
-parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-\subsection{Laplace Gleichung}
-Die partielle Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \Delta f = 0
-\end{equation}
-ist als Laplace-Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung 
 \begin{equation}
-    \Delta f = g
+	\nabla f = \lambda f
 \end{equation}
-mit $g$ als beliebiger Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
-verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
-Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
-     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
-\label{parzyl:eq:max1}
+	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
+	=
+	0 
 \end{equation}
-besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
-Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
-Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
-Potentials
+mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
-    \nabla \phi = E.
-\end{equation}
-Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation} 
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
 \begin{equation}
-    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
 \end{equation}
-was eine Poisson-Gleichung ist.
-An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
+
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+%\begin{equation}
+%     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+%    \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+%    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
-- 
cgit v1.2.1


From 1e358f56c6ad619ff5a2259ff9043af1ee8f274f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:21:27 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 18 ++----------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 3b14287..2844a6e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -238,26 +238,12 @@ und
 	+
 	\mu 
 	\right )
-	i(\tau)
+	i(z)
 	=
 	0
 \end{equation}
 führt.
-Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
-\begin{equation}
-	i(z) 
-	= 
-	A\cos{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-	+
-	B\sin{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-\end{equation}
-ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 2cc8141db9b3cb5e7cfa27cf6187fdf0c23f7240 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:26:46 +0200
Subject: fehlerverbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 4 +---
 1 file changed, 1 insertion(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 2844a6e..4a6f8f4 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -97,8 +97,6 @@ Ebene gezogen werden.
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
 
-\dots
-
 Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
 kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
 \begin{equation}
@@ -107,7 +105,7 @@ kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
     \label{parzyl:eq:ds}
 \end{equation}
 ausgedrückt werden.
-Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
     \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
-- 
cgit v1.2.1


From c32bd2a662c56007f6e0be7899ffca982bb00e80 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 20:53:48 +0200
Subject: korrekturen

---
 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4a6f8f4..f24a5c1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -65,7 +65,7 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
 %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
-- 
cgit v1.2.1


From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200
Subject: verbesserungen

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 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 32 ++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 18 insertions(+), 14 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil0.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index f24a5c1..8be936d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -9,15 +9,18 @@
 %Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
 %In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
 %parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. 
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, 
+die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
 
 \subsection{Helmholtz-Gleichung}
 Die partielle Differentialgleichung 
 \begin{equation}
-	\nabla f = \lambda f
+	\Delta f = \lambda f
 \end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. 
+Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
 	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
 	=
@@ -27,7 +30,8 @@ mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
 	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
 \end{equation} 
-in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, 
+welcher zeitunabhängig ist
 \begin{equation}
 	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
 \end{equation}
@@ -65,7 +69,8 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
 %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, 
+bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
@@ -97,15 +102,15 @@ Ebene gezogen werden.
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
 
-Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
-kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem mit
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
     \left(dz\right)^2
     \label{parzyl:eq:ds}
 \end{equation}
 ausgedrückt werden.
-Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
     \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
@@ -145,16 +150,16 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
 \end{align}
 \subsection{Differentialgleichung}
 Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
-Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren
 mitgerechnet werden.
-Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+Der Laplace Operator wird dadurch zu
 \begin{equation}
     \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} 
         \left( 
             \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
             \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
         \right)
-        + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+        + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
     \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
 \end{equation}
 \subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
@@ -201,8 +206,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd
 \begin{equation}
 	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
 \end{equation}
-gesetzt. 
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
 \begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
 	g''(\sigma) 
 	- 
-- 
cgit v1.2.1

