From 0c3ae18ee42f7b3154642175faea29e957d8bba0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 29 Jul 2022 15:53:20 +0200
Subject: skalierungsfaktoren

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 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
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@@ -43,8 +43,10 @@ Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koor
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
+    \label{parzyl:coordRelationsa}
     y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
     z & = z.
+    \label{parzyl:coordRelationse}
 \end{align}
 Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
 \begin{equation}
@@ -60,26 +62,65 @@ und
     \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
     \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein 
     konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
-    \label{fig:cordinates}
+    \label{parzyl:fig:cordinates}
 \end{figure}
 
-Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
 
-\subsection{Differnetialgleichung}
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+Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei 
+Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind.
+Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
+kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
+    \left(dz\right)^2
+    \label{parzyl:eq:ds}
+\end{equation}
+ausgedrückt werden.
+Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
+    \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
+\label{parzyl:eq:dspara}
+\end{equation}
+gilt.
+Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
+von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
+\begin{align}
+    dx  &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + 
+        \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+    dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau +
+        \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+    dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau +
+        \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = d \tilde{z} \\
+\end{align}
+substituiert.
+Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+geschrieben, resultiert
+\begin{equation}
+    \left(d s\right)^2 = 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 +
+        \left(d \tilde{z}\right)^2.
+\end{equation}
+Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren 
+\begin{align}
+    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{z} &= 1.
+\end{align}
+\subsection{Differentialgleichung}
+Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
+Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden. 
+\dots
-- 
cgit v1.2.1

