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 buch/papers/parzyl/teil0.tex | 108 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
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@@ -68,18 +68,102 @@ Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
 
 \subsection{Differnetialgleichung}
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+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
+\end{equation}
+gelöst wird.
+Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+\begin{equation}
+	\nabla 
+	= 
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+\end{equation}
+Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+\begin{equation}
+	\nabla f(\sigma, \tau, z)
+	=
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+	= 
+	\lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+\begin{equation}
+	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt. 
+Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+	g''(\sigma) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\sigma^2
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	g(\sigma)
+	=
+	0,
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+	h''(\tau) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\tau^2
+	-
+	\mu 
+	\right )
+	h(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+	i''(z) 
+	+
+	\left (
+	\lambda
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	i(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+führt.
+Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+\end{equation}
+ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
 
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