From 299310434e22f22ab43cfb423f91cb164cf2bab7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sun, 7 Aug 2022 12:39:33 +0200 Subject: verbesserungen --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++- 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index f297189..239f8c7 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -13,7 +13,10 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{equation*} W_{k,m}(z) = e^{-z/2} z^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung von -- cgit v1.2.1 From f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Mon, 8 Aug 2022 17:36:16 +0200 Subject: Chlini Schritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 32 +++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 25 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 239f8c7..02ce0f2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution -in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit +Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} @@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung - von + von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} - -Lösung Folgt\dots - - +Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +als Lösung hat. +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +\begin{equation} + \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 +\label{parzyl:eq:weberDiffEq} +\end{equation} +resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +$w$ als Lösung haben. +Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +eine sondern zwei Lösungen. +Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +Somit ist +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. -- cgit v1.2.1 From fffae23e55eae8484953d699b22f19406b1b408c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 10 Aug 2022 23:05:30 +0200 Subject: mikroschritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +++++++++++++++++++----- 1 file changed, 19 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 02ce0f2..a3e9626 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -42,8 +42,22 @@ $w$ als Lösung haben. Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit ist -\begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{equation} -eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. +Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +\begin{align} + w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{align} +als Lösungen. + +Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +\begin{align} + w_1 &= e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{4}} + - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ + w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ({\textstyle \frac{3}{4}} + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) +\end{align} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200 Subject: Added Part 3 --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a3e9626..e140796 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -51,6 +51,7 @@ als Lösungen. Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen \begin{align} + \label{parzyl:eq:solution_dgl} w_1 &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( @@ -60,4 +61,4 @@ Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) -\end{align} \ No newline at end of file +\end{align} -- cgit v1.2.1 From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200 Subject: Updated stuff --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..cb929d6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} +\rhead{Lösung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} -- cgit v1.2.1 From 8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Tue, 16 Aug 2022 22:25:46 +0200 Subject: schaffe --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 54 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..a52665b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} \begin{align} - w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) \end{align} als Lösungen. - -Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen \begin{align} \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1 &= e^{-z^2/4} \, + w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{4}} - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. +Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +\begin{equation} + D_n(z) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + + + \frac{ + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). +\end{equation} +welche die Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 +\end{equation} +löst. + +Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. +\end{equation} +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( + \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 + \right) +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} + -- cgit v1.2.1 From a5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:10:05 +0200 Subject: =?UTF-8?q?l=C3=B6sungssachen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 49 +++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 39 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index b02a1bf..edc6db0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung \begin{equation} D_n(z) = \frac{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} @@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} welche die Differenzialgleichung \begin{equation} @@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung \end{equation} löst. -Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} +der Differenzialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} +beschrieben. \begin{align} U(a,z) &= - \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 - \right) + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} \end{align} mit \begin{align} @@ -109,3 +131,10 @@ mit {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} +Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +ausgedrückt werden +\begin{align} + U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ + V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. +\end{align} -- cgit v1.2.1 From 1e358f56c6ad619ff5a2259ff9043af1ee8f274f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:21:27 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 21 +++++++++++++++++++-- 1 file changed, 19 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index edc6db0..154ee71 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,6 +6,22 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} + +\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. +Die Lösung ist somit +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )}. +\end{equation} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} @@ -78,7 +94,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} -welche die Differenzialgleichung +welche die Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 \end{equation} @@ -105,7 +121,7 @@ mit {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} -der Differenzialgleichung +der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} @@ -138,3 +154,4 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} +TODO Plot \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 2cc8141db9b3cb5e7cfa27cf6187fdf0c23f7240 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:26:46 +0200 Subject: fehlerverbesserungen --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 154ee71..83aa00e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -22,8 +22,8 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu}z \right )}. \end{equation} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit -Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} +mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} -- cgit v1.2.1 From 3e8ec5a6aea34b07f0c18aac6fa69ee21bdf89c1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:34:26 +0200 Subject: mehr fehler --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +----------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 23 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 83aa00e..a56d94b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -125,29 +125,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. -\begin{align} - U(a,z) &= - \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 - \right\} -\end{align} -mit -\begin{align} - Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ - Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 -\end{align} - -Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ -- cgit v1.2.1 From fb7badcc5d1353ad11fff486b634d25a7b26b38b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 15:44:00 +0200 Subject: les bildeurs --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 ++++++++++++++-- 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a56d94b..673fa7f 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -88,7 +88,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } @@ -132,4 +132,16 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot \ No newline at end of file +TODO Plot +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:dnz} +\end{figure} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:Vnz} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1