From 299310434e22f22ab43cfb423f91cb164cf2bab7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 7 Aug 2022 12:39:33 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index f297189..239f8c7 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -13,7 +13,10 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
     \begin{equation*}
         W_{k,m}(z) = 
     e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
-    {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z)
+    {}_{1} F_{1}
+    (
+        {\textstyle \frac{1}{2}} 
+        + m - k, 1 + 2m; z)
     \end{equation*}
     heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
     von
-- 
cgit v1.2.1


From f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Mon, 8 Aug 2022 17:36:16 +0200
Subject: Chlini Schritt

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 32 +++++++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 25 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 239f8c7..02ce0f2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
-in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
+Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
 \begin{definition}
     Die Funktion 
     \begin{equation*}
@@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
         + m - k, 1 + 2m; z)
     \end{equation*}
     heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
-    von
+    von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d z^2} +
         \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
 \end{definition}
-
-Lösung Folgt\dots
-
-
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+    w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+eine sondern zwei Lösungen.
+Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+Somit ist 
+\begin{equation}
+    w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{equation}
+eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}.
-- 
cgit v1.2.1


From fffae23e55eae8484953d699b22f19406b1b408c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 10 Aug 2022 23:05:30 +0200
Subject: mikroschritt

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 19 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 02ce0f2..a3e9626 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -42,8 +42,22 @@ $w$ als Lösung haben.
 Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
 eine sondern zwei Lösungen.
 Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit ist 
-\begin{equation}
-    w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{equation}
-eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}.
+Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\begin{align}
+    w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+    w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{align}
+als Lösungen.
+
+Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
+\begin{align}
+    w_1 &= e^{-z^2/4} \,
+    {}_{1} F_{1}
+    (
+        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+    w_2 & = z e^{-z^2/4} \,
+         {}_{1} F_{1}
+         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+\end{align}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200
Subject: Added Part 3

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 3 ++-
 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a3e9626..e140796 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -51,6 +51,7 @@ als Lösungen.
 
 Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
 \begin{align}
+	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
     w_1 &= e^{-z^2/4} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
@@ -60,4 +61,4 @@ Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
          {}_{1} F_{1}
          ({\textstyle \frac{3}{4}} 
               - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
-\end{align}
\ No newline at end of file
+\end{align}
-- 
cgit v1.2.1


From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200
Subject: Updated stuff

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e140796..cb929d6 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 %
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
+\rhead{Lösung}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
 Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
 \begin{definition}
-- 
cgit v1.2.1


From 8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:25:46 +0200
Subject: schaffe

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 54 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e140796..a52665b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen.
 Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
 Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \begin{align}
-    w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
-    w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
 \end{align}
 als Lösungen.
-
-Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
+Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
 \begin{align}
 	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
-    w_1 &= e^{-z^2/4} \,
+    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{4}} 
          - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
-    w_2 & = z e^{-z^2/4} \,
+    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
          {}_{1} F_{1}
          ({\textstyle \frac{3}{4}} 
-              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 \end{align}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
+Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(z) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+\end{equation}
+welche die Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+
+Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+\end{equation}
+\begin{align}
+    U(a,z) &= 
+    \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+    - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
+    \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+    + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
+    \right)
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+
-- 
cgit v1.2.1


From a5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:10:05 +0200
Subject: =?UTF-8?q?l=C3=B6sungssachen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 49 +++++++++++++++++++++++++++++++++++---------
 1 file changed, 39 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index b02a1bf..edc6db0 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
               - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 \end{align}
 In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
 \begin{equation}
     D_n(z) = \frac{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
@@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
 \end{equation}
 welche die Differenzialgleichung
 \begin{equation}
@@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung
 \end{equation}
 löst.
 
-Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
+\begin{align}
+    U(a,z) &= 
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+der Differenzialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
+beschrieben.
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
-    \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
-    - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
-    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
-    \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
-    + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
-    \right)
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
 \end{align}
 mit
 \begin{align}
@@ -109,3 +131,10 @@ mit
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
 \end{align}
 
+Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+    U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
+    V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
-- 
cgit v1.2.1


From 1e358f56c6ad619ff5a2259ff9043af1ee8f274f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:21:27 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 21 +++++++++++++++++++--
 1 file changed, 19 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index edc6db0..154ee71 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,6 +6,22 @@
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
 \rhead{Lösung}
+
+\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
+Die Lösung ist somit
+\begin{equation}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}.
+\end{equation}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
 Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
 \begin{definition}
@@ -78,7 +94,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
         }
         M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
 \end{equation}
-welche die Differenzialgleichung
+welche die Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
 \end{equation}
@@ -105,7 +121,7 @@ mit
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
 \end{align}
-der Differenzialgleichung
+der Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
@@ -138,3 +154,4 @@ ausgedrückt werden
     V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
+TODO Plot
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 2cc8141db9b3cb5e7cfa27cf6187fdf0c23f7240 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:26:46 +0200
Subject: fehlerverbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 154ee71..83aa00e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -22,8 +22,8 @@ Die Lösung ist somit
 		\sqrt{\lambda + \mu}z
 		\right )}.
 \end{equation}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit
-Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden.
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
+mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
     Die Funktion 
     \begin{equation*}
-- 
cgit v1.2.1


From 3e8ec5a6aea34b07f0c18aac6fa69ee21bdf89c1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:34:26 +0200
Subject: mehr fehler

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +-----------------------
 1 file changed, 1 insertion(+), 23 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 83aa00e..a56d94b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -125,29 +125,7 @@ der Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
-beschrieben.
-\begin{align}
-    U(a,z) &= 
-    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
-    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
-    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
-    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
-    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
-    \right\}
-\end{align}
-mit
-\begin{align}
-    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
-            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
-            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
-    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
-            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
-            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
-\end{align}
-
-Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
 ausgedrückt werden
 \begin{align}
     U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
-- 
cgit v1.2.1


From fb7badcc5d1353ad11fff486b634d25a7b26b38b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 15:44:00 +0200
Subject: les bildeurs

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 ++++++++++++++--
 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a56d94b..673fa7f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -88,7 +88,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
         M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
         +
         \frac{
-            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
@@ -132,4 +132,16 @@ ausgedrückt werden
     V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
-TODO Plot
\ No newline at end of file
+TODO Plot
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+    \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \label{parzyl:fig:dnz}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+    \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \label{parzyl:fig:Vnz}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From c32bd2a662c56007f6e0be7899ffca982bb00e80 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 20:53:48 +0200
Subject: korrekturen

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 115 ++++++++++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 75 insertions(+), 40 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 673fa7f..a4253b8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
 mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
-    Die Funktion 
+    Die Funktionen
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = 
+        M_{k,m}(z) = 
     e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{2}} 
         + m - k, 1 + 2m; z)
     \end{equation*}
-    heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
+    und
+    \begin{equation*}
+        W_{k,m}(z) = \frac{
+            \Gamma \left( -2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+        }
+        M_{-k, m} \left(z\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma \left( 2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+        }
+        M_{k, -m} \left(z\right)
+    \end{equation*}
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
     von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d z^2} +
         \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
         \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
+
 \end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
     w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
 \end{equation}
 als Lösung hat.
-Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
 \begin{equation}
     \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
 \label{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \end{equation}
-resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
 \eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
 $w$ als Lösung haben.
-Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
-eine sondern zwei Lösungen.
-Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
-\begin{align}
-    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
-    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{align}
-als Lösungen.
-Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
-\begin{align}
-	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
-    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
-    {}_{1} F_{1}
-    (
-        {\textstyle \frac{1}{4}} 
-         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
-    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
-         {}_{1} F_{1}
-         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
-              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
-\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+%    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+%    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+%	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
+%    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+%         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+%    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+%         {}_{1} F_{1}
+%         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+%              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
 \begin{equation}
     D_n(z) = \frac{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
         }
@@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
 \end{equation}
-welche die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
-\end{equation}
-löst.
-
 In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
@@ -115,11 +138,22 @@ mit
     Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+            e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+            \\
     Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
+            z e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
 \end{align}
 der Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden
     V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
-TODO Plot
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
+die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-- 
cgit v1.2.1


From a8b82aafff82dbff739714d7009419a0015eebcf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 23:41:00 +0200
Subject: =?UTF-8?q?n=C3=B6d=20ganz?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 +++++++++-------
 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a4253b8..c5ece66 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -112,7 +112,7 @@ Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
     D_n(z) = \frac{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
         }
         M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
         +
@@ -127,11 +127,14 @@ In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
     \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
-    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
+    \label{parzyl:eq:Uaz}
+    \\
     V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
     \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
     \right\}
+    \label{parzyl:eq:Vaz}
 \end{align}
 mit
 \begin{align}
@@ -143,9 +146,8 @@ mit
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
-            \\
-    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\
+        Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
@@ -167,11 +169,11 @@ ausgedrückt werden
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
 In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
-die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-    \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
     \label{parzyl:fig:dnz}
 \end{figure}
 \begin{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 74 ++++++++++++++++++++++----------------------
 1 file changed, 37 insertions(+), 37 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index c5ece66..13d8109 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -27,50 +27,50 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
     Die Funktionen
     \begin{equation*}
-        M_{k,m}(z) = 
-    e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
+        M_{k,m}(x) = 
+    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{2}} 
-        + m - k, 1 + 2m; z)
+        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
     \end{equation*}
     und
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = \frac{
+        W_{k,m}(x) = \frac{
             \Gamma \left( -2m\right)
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
         }
-        M_{-k, m} \left(z\right)
+        M_{-k, m} \left(x\right)
         +
         \frac{
             \Gamma \left( 2m\right)
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
         }
-        M_{k, -m} \left(z\right)
+        M_{k, -m} \left(x\right)
     \end{equation*}
-    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
     von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
-        \frac{d^2W}{d z^2} +
-        \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+        \frac{d^2W}{d x^2} +
+        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
         \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
 
 \end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
-    w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+    w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
 \end{equation}
 als Lösung hat.
 Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+    \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
 \label{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \end{equation}
 resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
-\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
 $w$ als Lösung haben.
 %Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
 %eine sondern zwei Lösungen.
@@ -96,41 +96,41 @@ $w$ als Lösung haben.
 %\end{align}
 
 In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
-\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
 unterschiedlich geschrieben wird.
 Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
 \begin{equation}
-    D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+    D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
 \end{equation}
 welche die Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+    \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
 \end{equation}
 löst.
-Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
 \begin{equation}
-    D_n(z) = \frac{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+    D_n(x) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
         +
         \frac{
-            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
 \end{equation}
-In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ 
 \begin{align}
-    U(a,z) &= 
+    U(a,x) &= 
     \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
     \label{parzyl:eq:Uaz}
     \\
-    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
     \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
     \right\}
@@ -142,43 +142,43 @@ mit
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
-            e^{-z^2/4} 
+            e^{-x^2/4} 
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
         Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
-            z e^{-z^2/4} 
+            x e^{-x^2/4} 
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
 \end{align}
 der Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
+    \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
 beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
 ausgedrückt werden
 \begin{align}
-    U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
-    V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
-    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+    U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+    V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
 In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
-die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-    \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+    \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
     \label{parzyl:fig:dnz}
 \end{figure}
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
-    \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+    \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
     \label{parzyl:fig:Vnz}
 \end{figure}
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