From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200 Subject: verbesserungen --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 74 ++++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 37 insertions(+), 37 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index c5ece66..13d8109 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -27,50 +27,50 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} Die Funktionen \begin{equation*} - M_{k,m}(z) = - e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; z) + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} \end{equation*} und \begin{equation*} - W_{k,m}(z) = \frac{ + W_{k,m}(x) = \frac{ \Gamma \left( -2m\right) }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) } - M_{-k, m} \left(z\right) + M_{-k, m} \left(x\right) + \frac{ \Gamma \left( 2m\right) }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) } - M_{k, -m} \left(z\right) + M_{k, -m} \left(x\right) \end{equation*} - gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen + gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2W}{d z^2} + - \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) \end{equation} als Lösung hat. Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus \begin{equation} - \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 + \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0 \label{parzyl:eq:weberDiffEq} \end{equation} resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie -\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit $w$ als Lösung haben. %Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur %eine sondern zwei Lösungen. @@ -96,41 +96,41 @@ $w$ als Lösung haben. %\end{align} In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für -\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils +\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils unterschiedlich geschrieben wird. Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung \begin{equation} - D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right) + D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right), \end{equation} welche die Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 + \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0 \end{equation} löst. -Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert +Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert \begin{equation} - D_n(z) = \frac{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} + D_n(x) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} -In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} - U(a,z) &= + U(a,x) &= \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \label{parzyl:eq:Uaz} \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \right\} @@ -142,43 +142,43 @@ mit \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} - e^{-z^2/4} + e^{-x^2/4} {}_{1} F_{1} \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, {\textstyle \frac{1}{2}} ; - {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\ + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} - z e^{-z^2/4} + x e^{-x^2/4} {}_{1} F_{1} \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, {\textstyle \frac{3}{2}} ; - {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right) \end{align} der Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 + \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} - U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ - V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} - \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. + U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ + V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind -die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. +die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} - \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} \label{parzyl:fig:dnz} \end{figure} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} - \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} \label{parzyl:fig:Vnz} \end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1