From 8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:25:46 +0200
Subject: schaffe

---
 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 54 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e140796..a52665b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen.
 Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
 Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \begin{align}
-    w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
-    w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
 \end{align}
 als Lösungen.
-
-Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen
+Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
 \begin{align}
 	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
-    w_1 &= e^{-z^2/4} \,
+    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{4}} 
          - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
-    w_2 & = z e^{-z^2/4} \,
+    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
          {}_{1} F_{1}
          ({\textstyle \frac{3}{4}} 
-              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 \end{align}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
+Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(z) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+\end{equation}
+welche die Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+
+Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+\end{equation}
+\begin{align}
+    U(a,z) &= 
+    \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+    - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
+    \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
+    + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
+    \right)
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+
-- 
cgit v1.2.1

