From a5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 08:10:05 +0200
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 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 49 +++++++++++++++++++++++++++++++++++---------
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index b02a1bf..edc6db0 100644
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+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
               - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 \end{align}
 In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
 \begin{equation}
     D_n(z) = \frac{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
@@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
 \end{equation}
 welche die Differenzialgleichung
 \begin{equation}
@@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung
 \end{equation}
 löst.
 
-Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
+\begin{align}
+    U(a,z) &= 
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+der Differenzialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0.
+    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
+beschrieben.
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
-    \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
-    - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\
-    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left(
-    \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1
-    + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2
-    \right)
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
 \end{align}
 mit
 \begin{align}
@@ -109,3 +131,10 @@ mit
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
 \end{align}
 
+Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+    U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
+    V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
-- 
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