From c32bd2a662c56007f6e0be7899ffca982bb00e80 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 20:53:48 +0200
Subject: korrekturen

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 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 115 ++++++++++++++++++++++++++++---------------
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+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
 mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
-    Die Funktion 
+    Die Funktionen
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = 
+        M_{k,m}(z) = 
     e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{2}} 
         + m - k, 1 + 2m; z)
     \end{equation*}
-    heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
+    und
+    \begin{equation*}
+        W_{k,m}(z) = \frac{
+            \Gamma \left( -2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+        }
+        M_{-k, m} \left(z\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma \left( 2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+        }
+        M_{k, -m} \left(z\right)
+    \end{equation*}
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
     von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d z^2} +
         \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
         \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
+
 \end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
     w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
 \end{equation}
 als Lösung hat.
-Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
 \begin{equation}
     \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
 \label{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \end{equation}
-resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
 \eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
 $w$ als Lösung haben.
-Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
-eine sondern zwei Lösungen.
-Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
-\begin{align}
-    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
-    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{align}
-als Lösungen.
-Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
-\begin{align}
-	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
-    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
-    {}_{1} F_{1}
-    (
-        {\textstyle \frac{1}{4}} 
-         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
-    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
-         {}_{1} F_{1}
-         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
-              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
-\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+%    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+%    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+%	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
+%    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+%         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+%    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+%         {}_{1} F_{1}
+%         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+%              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
 \begin{equation}
     D_n(z) = \frac{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
         }
@@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
 \end{equation}
-welche die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
-\end{equation}
-löst.
-
 In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
@@ -115,11 +138,22 @@ mit
     Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+            e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+            \\
     Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
+            z e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
 \end{align}
 der Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden
     V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
-TODO Plot
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
+die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-- 
cgit v1.2.1

